精品解析：四川省成都市武侯区西川中学2024--2025学年八年级上学期9月第一次月考数学试题

成都西川中学八年级第一次月考数学真卷 （满分：150分 时间：120分钟） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 有理数25的平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，他们互为相反数即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴有理数25的平方根是， 故选：D． 2. 下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（ ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 12，18，22 D. 12，35，36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案 【详解】解：A、 ，不符合题意； B、 符合题意； C、 ，不符合题意； D、，不符合题意． 故选B 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此求解即可． 【详解】解：A、∵，故不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、∵，故不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、是最简二次根式，此选项符合题意； D、，故不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是理解什么是最简二次根式． 4. 在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理分别求解 再证明从而可得答案. 【详解】解：如图，连接 由勾股定理得： 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键. 5. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，解答即可． 【详解】解：A、不是二元一次方程，只含有一个未知数，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、不是二元一次方程，未知项的次数为2，不符合题意； D、不是二元一次方程，未知项的次数为2，不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，掌握二元一次方程的概念是解题的关键． 6. 《九重算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其中卷八方程［七］中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊共值金10两；2头牛，5只羊共值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用．根据题意可列出程组． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由题意得： ； 故选：A． 7. 如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ） A. 65 B. 45 C. 55 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为，根据勾股定理得，再根据圆的面积公式可表示出，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为， 根据勾股定理得：， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　） A. 5尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设水池里水的深度是x尺， 由题意得，， 解得：， 答：水池里水的深度是12尺． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 16的算术平方根是_____；﹣27的立方根是_____． 【答案】 ①. 4， ②. -3 【解析】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义列出式子，求出即可. 【详解】=16,-4<0,4>0,所以16的算术平方根为4；=-27，所以﹣27的立方根是-3. 【点睛】题主要考查对平方根、立方根、算术平方根的理解和掌握，能理解平方根、立方根、算术平方根得含义是解此题的关键. 10. 在实数范围内要使成立，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简公式可得，从而可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为：． 11. 满足的所有整数x的和是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， 又， ， 满足的所有整数有，，，， 它们和为， 故答案为：． 12. 已知关于x，y的二元一次方程3mx-y=-1有一组解是，则m的值是 ___． 【答案】-1 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程3mx-y=-1中得：3m+2=-1， 解得：m=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为，若点E恰好是的中点，则线段的长为________________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理建立方程可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为8， ∴， ∵点E恰好是的中点， ∴， 设，由折叠的性质可得， ∴在Rt△ECH中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出过程） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式的加减法，二次根式的乘法，分母有理化等，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式进行展开，以及分母有理化，然后从左到右进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 15. 解方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用平方根解方程，解题关键是熟知解方程组的基本方法步骤． （1）利用平方根解方程即可． （2）方程组先整理，再加减消元法消去x求出y，再将y代入方程求出x即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：原方程组整理得：， 得：， 解得． 把代入①得：， 解得． ∴方程组的解是． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8． 【解析】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行化简，在代入求值即可； 【详解】解：原式， ， 把，代入， 原式， ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，准确利用平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 17. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？ 【答案】爆破公路段有危险，需要暂时封锁． 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长，再由面积公式求得CD的长，并比较，即可得出公路AB上是否有危险． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，由勾股定理，得： ，所以 由，得，解得， 因为，所以爆破公路段有危险，需要暂时封锁． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积，解题的关键是利用直角三角形的面积列出方程求出CD的长． 18. 已知． （1）求的值； （2）若为的小数部分，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）17 （2） （3）2021 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，无理数的估算，二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，接着算得以及，然后代入中算得答案； （2）由，估算出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可； （3）先算出，将化简成，然后代入和，算得答案即可． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， 的整数部分是4，小数部分是， 为的小数部分， ； 【小问3详解】 解：， ， ． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式及二次根式，先将配方为，再代入x的值即可计算，也可直接代入x的值，然后直接计算即可． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：4． 20. 用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算， 二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据定义，代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 21. 如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 22. 如图，∠AOB＝30°，M，Q在OA上，P，N在OB上，OM＝1，ON＝，则MP+PQ+QN的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′， 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°， ∴在Rt△M′ON′中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 23. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，当是直角三角形时，求的长为 ________． 【答案】1或7##7或1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质．根据题意分情况求解是解题的关键． 如图1，作于F，则，由勾股定理得，，由题意知，当是直角三角形时，，分①在上，②D在上，两种情况求解即可． 【详解】解：如图1，作于F， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由题意知，当是直角三角形时，，分①在上，②D在上，两种情况求解： ①当点D在上时，如图1，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； ②当点D在上时，如图2，， ∴． ∴． ∴． ∴， 综上所述，的长为1或7． 故答案为：1或7． 二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出过程） 24. 某水果商从批发市场用12000元购进了枇杷和水蜜桃各300千克，枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多20元．枇杷的售价为每千克40元，水蜜桃的售价为每千克15元（利润售价进价） （1）枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克多少元？（请用二元一次方程组解答） （2）该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了枇杷和水蜜桃各300千克，进价不变，但在运输过程中枇杷损耗了15%．若枇杷的售价不变，且想要第二次所获利润等于第一次所获利润的80%，水蜜桃的售价应调整为每千克多少元？ 【答案】（1）30；10 （2）18 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程： （1）设枇杷的进价为元／千克，水蜜桃的进价为元／千克．根据总花费为12000元和枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多20元即可列出二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设水蜜桃的售价应调整为元／千克，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 设枇杷的进价为元／千克，水蜜桃的进价为元／千克． 依题意，得，解得 故枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克30元和每千克10元； 【小问2详解】 设水蜜桃的售价应调整为元／千克． 依题意得：， 解得． 故水蜜桃的售价应调整为每千克18元． 25. 在中，，点是的中点，点是射线上一点，过点作于点，连接． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，过点作交于点，求证：； （3）如图2，在（1）的条件下，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：连接，延长交于点，如图所示： ，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先在中，利用勾股定理，求得，然后利用求得答案； （2）连接，根据是等腰直角三角形，可证，，推出，接着证明，从而证明，最后利用全等三角形对应边相等，得证； （3）不妨设，那么，然后在中求得，利用，求得，接着利用求得，最后解得即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：不妨设， 由（2）可知，，， ， ， ， 中，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 26. 如图，在中． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，，为外的一点，连接，且，过点作交的延长线于点，请写出之间的数量关系，并给出证明； （3）如图3，，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）6 （2） 解：， 证明：在上截取，连接，如图所示： ， ， ，，， ，即， 在和中，， ， ，即， ，则， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ，即， 又， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于点，先证明为等腰直角三角形，然后利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，分别证明和得到，，再根据勾股定理求得，进而可证得结论； （3）延长到，使，连接，可证，得到，那么，作关于的对称点，连接，则，，连接，则，当三点共线时，最小，且等于的长，推导出的最小值为的值，取的中点，连接，，过点作于点，根据直角三角形的斜边上的中线性质和勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 的面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长到，使，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 作关于的对称点，连接，则， ， 连接，则， 当三点共线时，最小，且等于的长， 的最小值为的值， 连接，由轴对称的性质可得，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取的中点，连接，，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、最短路径、勾股定理等知识，有一定的难度，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用，学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都西川中学八年级第一次月考数学真卷 （满分：150分 时间：120分钟） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 有理数25的平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 2. 下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（ ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 12，18，22 D. 12，35，36 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　　）． A. B. C. D. 4. 在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九重算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其中卷八方程［七］中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊共值金10两；2头牛，5只羊共值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ） A. 65 B. 45 C. 55 D. 35 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　） A. 5尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 16的算术平方根是_____；﹣27的立方根是_____． 10. 在实数范围内要使成立，则的取值范围是_______． 11. 满足的所有整数x的和是__________． 12. 已知关于x，y的二元一次方程3mx-y=-1有一组解是，则m的值是 ___． 13. 如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为，若点E恰好是的中点，则线段的长为________________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出过程） 14. 计算： （1） （2） 15. 解方程（组）： （1） （2） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？ 18. 已知． （1）求的值； （2）若为的小数部分，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为_______． 20. 用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么_______． 21. 如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是_____． 22. 如图，∠AOB＝30°，M，Q在OA上，P，N在OB上，OM＝1，ON＝，则MP+PQ+QN的最小值是______________． 23. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，当是直角三角形时，求的长为 ________． 二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出过程） 24. 某水果商从批发市场用12000元购进了枇杷和水蜜桃各300千克，枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多20元．枇杷的售价为每千克40元，水蜜桃的售价为每千克15元（利润售价进价） （1）枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克多少元？（请用二元一次方程组解答） （2）该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了枇杷和水蜜桃各300千克，进价不变，但在运输过程中枇杷损耗了15%．若枇杷的售价不变，且想要第二次所获利润等于第一次所获利润的80%，水蜜桃的售价应调整为每千克多少元？ 25. 在中，，点是的中点，点是射线上一点，过点作于点，连接． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，过点作交于点，求证：； （3）如图2，在（1）的条件下，请直接写出的值． 26. 如图，在中． （1）如图1，若，求的面积； （2）如图2，，为外的一点，连接，且，过点作交的延长线于点，请写出之间的数量关系，并给出证明； （3）如图3，，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $