专题02 集合11类核心题型对点练【期中大突破】-2025-2026学年高一上学期期中数学复习（人教A版必修第一册）

专题02 集合11类核心题型对点练大突破 目录 核心题型对点练一：判断元素与集合，集合与集合的关系 1 核心题型对点练二：同一集合（集合相等）问题 4 核心题型对点练三：根据元素与集合的关系求参数 7 核心题型对点练四：根据集合元素个数求参数 10 核心题型对点练五：求子集、真子集的个数 13 核心题型对点练六：根据集合的包含关系求参数 15 核心题型对点练七：并、交、补综合运算 18 核心题型对点练八：根据并集、交集、补集运算结果求参数 21 核心题型对点练九：韦恩图的应用 24 核心题型对点练十：容斥原理的应用 29 核心题型对点练十一：集合新定义题 32 核心题型对点练一：判断元素与集合，集合与集合的关系 1．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 2．设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得. 【详解】由题意得， 即是的奇数倍构成的集合， ， 即是的整数倍构成的集合， 所以. 故选：. 3．（多选）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC：取特值举例说明即可；对于D：假设成立，可设，分，和三种情况分析说明错误，即可判断. 【详解】对于选项A：若，此时令，满足，A正确； 对于选项B：若，此时令或，满足，B正确； 对于选项C：若，此时令，满足，C正确； 对于选项D：若，即，可知， 因为，可设， 若，则， 因为关于直线对称， 当或时，， 当且时，， 即，； 若，则， 因为关于直线对称， 当时，， 当时，， 即，； 若，则， 即，； 综上所述：不存在，使得，故D错误． 故选：ABC. 4．（多选）如下四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系以及空集的定义判断即可. 【详解】元素与集合的关系以及集合间的基本关系可知 正确，错误，正确，错误， 故选：AC. 5．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得； （2）先由①②得，进而可得； （3）先证，可得，，进而得，再结合可证. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. （2）证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. （3）证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 核心题型对点练二：同一集合（集合相等）问题 1．下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 2．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 3．下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 4．已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比 【详解】解：∵是单元素集，集合中的元素是， ， ， ，集合中的元素是点， . ∴. 故选：D. 5．判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】 正确 错误 错误 错误 【分析】（1）根据集合元素的无序性可知两个集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确； （2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误； （3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误； （4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误. 核心题型对点练三：根据元素与集合的关系求参数 1．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 2．已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 【答案】/ 【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得； 【详解】因为集合，且 所以或 （1）当时，此时，符合题意. （2）当时，解得或 当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去； 当时，符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 故答案为： 3．设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据，建立不等式求解即可求解. 【详解】由题意，， 则或 解得或. 故答案为： 4．集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 【答案】(1)3； (2)； (3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一） 【分析】（1）按照给定条件，把2代入依次计算作答. （2）按照给定条件，把3代入依次计算，确定集合A中含有的元素作答. （3）令集合A中元素为4，再代入依次计算确定其它元素作答. 【详解】（1）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少有3个元素. （2）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的元素是. （3）令，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的其它元素是. 5．设关于的不等式的解集为 . (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用分类讨论的数学思想即可求出,（2）利用分类讨论解出关于的不等式即可得到的取值范围 【详解】（1）因为关于的不等式解集为, 故，所以原不等式可化为. 当时，不等式解集为. 当时，解不等式为即解集为 当时，解不等式为即解集为 综上所述：时解集为，时解集为，时解集为 （2）因为，所以故 当时，解得. 当时，解得 . 综上所述：的取值范围为 核心题型对点练四：根据集合元素个数求参数 1．（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 2．若集合的所有子集个数是，则的值是 【答案】或 【分析】首先将题目等价转换为方程只有一个解，从而对分类讨论即可求解. 【详解】由题意只含有一个元素，当且仅当方程只有一个解， 情形一：当时，方程变为了，此时方程只有一个解满足题意； 情形二：当时，若一元二次方程只有一个解， 则只能， 解得. 综上所述，满足题意的的值是或. 故答案为：或. 3．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可） 【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解. 【详解】依题意可得，解得， 则． 所以集合的8个整数元素为, 所以，解得． 故答案为：7（答案不唯一）. 4．已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 【答案】 【分析】由题意，方程有唯一解，由于分母，所以先讨论与时分式可约分的情况，此时只有唯一解，符合题意；再讨论时，将方程转化为有唯一解，即求解值. 【详解】由题意，集合是单元素集， 即方程有唯一解， ， 当时，原式等于，符合题意； 当时，原式等于，符合题意； 当时，方程转化为有唯一解， ，得， 所以的取值集合为. 故答案为： 5．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 6．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 核心题型对点练五：求子集、真子集的个数 1．已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意利用列举法写出集合的元素，进而写出交集，利用公式，可得答案. 【详解】因为， 所以， 故其非空真子集的个数为． 故选：B. 2．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 3．若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【详解】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6 4．已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 【答案】 【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案. 【详解】易知集合，； 因为可得， 又，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含； 满足条件的集合的个数即为求集合的真子集的个数， 所以满足条件的集合个数为个. 故答案为： 5．已知集合，，则所有满足条件的集合C的个数为 个. 【答案】8 【分析】化简集合A，根据包含关系，由集合子集的个数公式求解. 【详解】由，可知， 满足的集合C的个数即为集合的子集个数，共有个. 故答案为：8 核心题型对点练六：根据集合的包含关系求参数 1．若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【分析】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【详解】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 故选：C． 2．已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真子集列出不等式即可求解. 【详解】因为，，且MN， 所以， 故选：A 3．已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 4．已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 5．已知，若，求a的取值范围． 【答案】或. 【分析】分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得. 【详解】①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； ③若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得； 综上所述，或. 6．已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意，分为空集和不为空集两种情况分类讨论，即可解题. 【详解】当时，如图所示.    ∴或，解这两个不等式组得； 当时，由，得； 综上可得，实数的取值范围是. 核心题型对点练七：并、交、补综合运算 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出集合，再应用交集定义求解. 【详解】，， 则. 故选：C. 2．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 3．全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则， 所以， 故选：C 4．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的补集和并集的运算法则进行求解即可. 【详解】，，， ，. 故选：C. 5．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 6．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 核心题型对点练八：根据并集、交集、补集运算结果求参数 1．已知集合，若，求实数的值. 【答案】或 【分析】先求集合，分类求出集合，再利用给定交集运算的结果求解.. 【详解】由，解得或，所以， 又方程，即，解得或， 又因为，所以， 当时，即时，，满足题意， 当时，由得， 综上所述，或. 2．已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合交集的结果，建立不等式组，解得答案； （2）先求出集合的补集，根据包含关系，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）因为或，且， 所以或，解得或， 则实数m的取值范围为：或. 3．已知集合． (1)求的子集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义即可求出答案. （2）根据题干分两种情况分类讨论并列式计算. 【详解】（1）由题意得，则，的子集为． （2）当时，，得； 当时，，得或． 故的取值范围为． 4．已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出当时，再根据交集的定义求出即可； （2）先将转化成，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以或， 又因为， 所以. （2）由可得. 所以当时，有，解得； 当时，有，解得. 综上，所以的取值范围为. 5．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据补集的运算法则即可求解； （2）根据集合的包含关系，解不等式组即可求解； （3）由可得，分和两种情况讨论实数的取值范围，最后综合讨论结果即可求解. 【详解】（1）∵全集，集合， ∴或. （2）∵，，， ∴，解得，即实数的取值范围为. （3）∵，∴. 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，，即实数的取值范围为. 6．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，然后根据交集的定义计算； （2）先判断出，然后分，求解. 【详解】（1）由题意，当时，则，， 所以； （2）因为，所以， ①当，即时，解得，此时满足题意； ②当，即时，解得， 因为，所以，则有， 综上：或. 核心题型对点练九：韦恩图的应用 1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【详解】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 2．已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 3．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，得到集合中的元素，根据阴影部分表示的含义求解. 【详解】对于方程， 当时，，解得， 当时，，即，恒成立， 当时，，解得， ∴. 由题意得，，. 图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合，为. 故选：D. 4．玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（   ） A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 【答案】C 【分析】设同时提交三种作品的有人，画出韦恩图，求解即可. 【详解】设同时提交三种作品的有人，集合为提交了楷书作品的人， 集合为提交了隶书作品的人，集合为提交了行书作品的人，如图所示， 则， 解得， 故选：C. 5．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 6．学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（    ） A．5名 B．4名 C．3名 D．2名 【答案】B 【分析】画出韦恩图，根据题意列出方程，求出三个小组都参加的人数，即可得解. 【详解】设三个小组都参加的人数为，只参加音乐科学的人数为，只参加音乐体育的人数为，只参加体育科学的人数为，作出韦恩图，如图， 由题意，， 即， 因为有12名学生只参加了2个兴趣小组，所以， 代入解得，即三个兴趣小组都参加的有5人， 所以参加兴趣小组的一共有人， 所以不参加所有兴趣小组的有人. 故选：B 7．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加游泳一项比赛的有 人，只参加田径一项比赛的有多少 人. 【答案】 9 2 【分析】结合韦恩图，利用容斥原理列式求解. 【详解】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， ， 由容斥原理得，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9；2 核心题型对点练十：容斥原理的应用 1．有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 2．为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（    ）人 A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合， 依题意，， 而，由容斥原理得， 解得，所以只去了一个地方的有(人). 故选：C 3．在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 【答案】180 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】依题意，， 而，， 所以 . 故答案为：180 4．贵阳市清华中学9月份举办了秋季运动会，田赛设置跳高、跳远和掷铅球三个项目.已知高一年级参加跳高的有60人，参加跳远的有81人，参加掷铅球的有44人，三项都参加的有16人，参加两项的有48人，三项都不参加的有970人.则高一年级共有 人. 【答案】 【分析】利用韦恩图可求高一年级的总人数. 【详解】设为参加跳高的学生的集合，为参加跳远的学生的集合， 为参加掷铅球的学生的集合，由题设有中元素的个数为， 而中扣除中的元素后余下元素的个数为， 结合韦恩图可得总人数为：， 故答案为：. 5．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 【答案】46 【分析】根据题意，把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图和容斥原理可知，当取最大值时最大，验证可得最终结果. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合， 选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则， 由 ， 可得， 当且仅当时，最大，此时． 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件． 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人． 故答案为：46． 核心题型对点练十一：集合新定义题 1．对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出和，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为． 故选：D 2．（多选）集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由二次函数的性质求出集合，再由定义求与. 【详解】， ， ，. 故选：BCD 3．（多选）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 4．对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，根据定义有，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】设，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值是4. 故答案为：4. 5．对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】根据的定义求解即可. 【详解】（1）因为，，根据已知有：. （2）因为，所以. （3）从以上解题过程中可以看出，中元素的个数与集合和集合中的元素个数有关， 即集合中的任何一个元素与集合中的一个元素对应后，得到中的一个新元素. 若集合中有个元素，集合中有个元素，则中有个元素， 故有个元素，B有个元素，中有个元素. 6．给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足： （i），； （ii）对任意x，，只要，就有．问： (1)直接判断是否为减0集，是否为减1集； (2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； (3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P是“减0集”，不是“减1集” (2)不存在，理由见解析 (3)存在“减1集”； 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）根据所给定义，假设,即可得到,即可得到1个“减1集”，依次类推即可. 【详解】（1）因为，，， 所以是“减0集”， 同理因为，，， 所以不是“减1集”. （2）假设存在“减2集”， 则，那么， 分以下两种情形来讨论： 情形一：当时，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是4， 所以集合中除1以外的最小元素为6， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾. 情形二：当时，则或， （因为若为负整数，则，即此时）， 若，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是3， 所以集合中除1以外的最小元素为5， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾； 若，有， 不妨设，， 且此时集合中除1以外的最小元素为， 但是，所以, 而这与集合是“减2集”矛盾. 综上所述：不存在集合是“减2集”. （3）假设存在是“减1集”，. 假设，则中除了元素1以外，必然还含有其他元素. 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 因此可以有, 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集， 又当时，，但， 所以A中元素应该小于7， 因此减1集可以有. 【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况和证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解. 7．若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”. (1)试判断集合是否为“闭集”，并说明理由； (2)设集合是“闭集”，求证：若，则； (3)若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明详见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）根据“闭集”的性质进行判断. （2）根据“闭集”的性质证得结论成立. （3）根据“闭集”的性质进行判断. 【详解】（1），，但， 所以集合不是“闭集”. （2）依题意，集合是“闭集”， 所以 （3）依题意集合是一个“闭集”， 所以 若，则； 若，则； 若且，则， 所以. 所以命题“若，则”是真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合11类核心题型对点练大突破 目录 核心题型对点练一：判断元素与集合，集合与集合的关系 1 核心题型对点练二：同一集合（集合相等）问题 2 核心题型对点练三：根据元素与集合的关系求参数 3 核心题型对点练四：根据集合元素个数求参数 4 核心题型对点练五：求子集、真子集的个数 5 核心题型对点练六：根据集合的包含关系求参数 5 核心题型对点练七：并、交、补综合运算 7 核心题型对点练八：根据并集、交集、补集运算结果求参数 8 核心题型对点练九：韦恩图的应用 10 核心题型对点练十：容斥原理的应用 11 核心题型对点练十一：集合新定义题 12 核心题型对点练一：判断元素与集合，集合与集合的关系 1．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 2．设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）如下四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D． 5．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 核心题型对点练二：同一集合（集合相等）问题 1．下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 3．下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 4．已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 核心题型对点练三：根据元素与集合的关系求参数 1．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 2．已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 3．设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是 4．集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 5．设关于的不等式的解集为 . (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 核心题型对点练四：根据集合元素个数求参数 1．（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 2．若集合的所有子集个数是，则的值是 3．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 4．已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 5．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 6．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 核心题型对点练五：求子集、真子集的个数 1．已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 3．若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 4．已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 5．已知集合，，则所有满足条件的集合C的个数为 个. 核心题型对点练六：根据集合的包含关系求参数 1．若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 2．已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，，，且，求m的取值范围． 4．已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 5．已知，若，求a的取值范围． 6．已知集合，，若，求实数的取值范围. 核心题型对点练七：并、交、补综合运算 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 3．全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 6．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 核心题型对点练八：根据并集、交集、补集运算结果求参数 1．已知集合，若，求实数的值. 2．已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 3．已知集合． (1)求的子集； (2)若，求的取值范围． 4．已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 5．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 6．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 核心题型对点练九：韦恩图的应用 1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 4．玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（   ） A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 5．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 6．学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（    ） A．5名 B．4名 C．3名 D．2名 7．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加游泳一项比赛的有 人，只参加田径一项比赛的有多少 人. 核心题型对点练十：容斥原理的应用 1．有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 2．为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（    ）人 A．24 B．26 C．28 D．30 3．在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 4．贵阳市清华中学9月份举办了秋季运动会，田赛设置跳高、跳远和掷铅球三个项目.已知高一年级参加跳高的有60人，参加跳远的有81人，参加掷铅球的有44人，三项都参加的有16人，参加两项的有48人，三项都不参加的有970人.则高一年级共有 人. 5．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 核心题型对点练十一：集合新定义题 1．对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 2．（多选）集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 4．对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是 . 5．对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 6．给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足： （i），； （ii）对任意x，，只要，就有．问： (1)直接判断是否为减0集，是否为减1集； (2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； (3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由． 7．若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”. (1)试判断集合是否为“闭集”，并说明理由； (2)设集合是“闭集”，求证：若，则； (3)若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $