甘肃省武威市凉州区第十五中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2024-2025学年甘肃省武威十五中八年级（上）第一次月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.下列说法错误的是(    ) A. 是的算术平方根 B. 是的一个平方根 C. 的平方根是 D. 的平方根与算术平方根都是 3.在，，，，，，，，中，无理数的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.估计的值在(    ) A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 5.若一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长的平方是(    ) A. B. C. D. 或 6.下列说法中正确的是(    ) A. 实数是负数 B. C. 一定是正数 D. 实数的绝对值是 7.与数轴上的点一一对应的是 (    ) A. 有理数 B. 实数 C. 无理数 D. 自然数 8.如图，图中的小方格都是边长为的正方形，则三角形的形状是(    ) A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 9.如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.已知三角形的两边长分别为和，则下列长度不能作为第三边的是(    ) A. B. C. D. 11.以下列各组线段为边能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. 三线段之比为：： D. ，， 12.如图所示，画的一边上的高，下列画法正确的是(    ) A. B. C. D. 13.如图，在中，，分别平分，，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，给出下列结论：其中错误的是(    ) A. B. C. D. 14.过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是(    ) A. B. C. D. 15.如图，七边形中，，的延长线相交于点，若图中、、、的外角和为，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 16.的绝对值是______． 17.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为          ． 18.若，，为的三条边，且满足，则是______三角形． 19.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨：甲先出发，他以的速度向正东行走，后乙出发，他以的速度向正北行走，上午：，甲、乙二人相距是______． 20.如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点的表示的数为          ． 21.已知，，为的三边，化简： ______． 22.如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，若阴影部分的面积为，则的面积为______． 23.如图，王师傅在院子的门板上钉了一个加固板阴影，这样做的数学依据是三角形的______． 24.如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数           ． 25.过七边形的一个顶点有______条对角线． 26.若一个多边形的内角和为，则这个多边形______边形． 27.如图，的两条高，相交于点，若≌，，，则的面积为______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 28.一架梯子长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米． 这个梯子的顶端距地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子底部在水平方向滑动了米吗？为什么？ 四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 29.本小题分 计算： ； ； ； ． 30.本小题分 如图，一个圆桶，底面周长为，高为，有一只小虫从底部点处爬到上底处的最短路径长为多少？ 31.本小题分 已知：的平方根是，的算术平方根是，求的算术平方根． 32.本小题分 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 33.本小题分 如图，在的网格中，每个小正方形边长都是，的顶点都在小正方形的顶点上． 请在图中画出边上的高； 请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； 直接写出中的面积． 34.本小题分 一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个内角是多少度？ 35.本小题分 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． 当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； 当为的角平分线时，若，，求的度数． 36.本小题分 如图，≌，，，，． 试说明：； 求的长度． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、； B、； C、； D、． 根据勾股定理，，能组成直角三角形，故选C． 欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要满足勾股定理的逆定理即可． 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 2.【答案】  【解析】解：、因为，所以本说法正确； B、因为，所以是的一个平方根说法正确； C、因为，所以本说法错误； D、因为，，所以本说法正确； 故选：． 利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． 此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．根据无理数的定义求解即可． 【解答】解：，，是无理数，共个． 故选B． 4.【答案】  【解析】解；， ． ． 故选：． 由可知，然后可估计的取值范围． 本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：分两种情况： 当和为两条直角边长时， 由勾股定理得：第三边长的平方斜边长的平方； 当为斜边长时， 第三边长的平方； 综上所述：第三边长的平方是或； 故选：． 分两种情况：当和为两条直角边长时；当为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可． 本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键，注意分类讨论． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是实数的性质、绝对值的性质，算术平方根的性质，正确理解性质是解题的关键． 分别根据平方运算的特点，平方根的性质和绝对值的性质进行逐一分析即可． 【解答】 解：、实数在时不是负数，故此选项说法错误； B、根据算术平方根的性质可知，故此选项说法正确； C、不一定是正数，在时不成立，故此选项说法错误； D、实数的绝对值不一定是，在为负数时不成立，故此选项说法错误． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：与数轴上的点一一对应的是实数． 故选：． 根据实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的点都表示一个实数，进行填空． 此题考查了实数和数轴上的点之间的一一对应关系． 8.【答案】  【解析】解：在、、中， 根据勾股定理即可得到：， ， ， 是等腰直角三角形． 故选B． 根据勾股定理即可求得的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断． 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，是基础题． 9.【答案】  【解析】解：当筷子与杯底垂直时最大，． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示：，则， 故． 故的取值范围是． 故选：． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 10.【答案】  【解析】解：根据三角形的三边关系， 三角形的两边长分别为和， 第三边的长， ， 四个选项中只有选项正确，符合题意， 故选：． 三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 本题主要考查了三角形的三边关系，关键掌握构成三角形的条件． 11.【答案】  【解析】解：，不能组成三角形， 不符合题意； ，不能组成三角形， 不符合题意； 三线段之比为：：， 设三线段长分别为，，， 则，不能组成三角形， 不符合题意； ，能构成三角形， 符合题意； 故选：． 根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：、、不垂直，所以不是的边上的高，故A错误； B、、不垂直，所以不是的边上的高，故B错误； C、于，所以是的边上的高，故C正确； D、、不垂直，所以不是的边上的高，故D错误． 故选：． 根据三角形的高线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟记高线的定义及图形是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， 则， ，故A正确，不符合题意； B.：平分，平分， 则，， 则， 故选项C、不符合题意，选项B符合题意． 故选：． 根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得：，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项BCD． 本题考查的是三角形外角的定义和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 14.【答案】  【解析】解：从边形的一个顶点作对角线，把这个边形分成三角形的个数是， 过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是个， 故选：． 多边形有条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．据此解答即可． 本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形内角和， ， ， 故选：． 由外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得． 本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得、、、的和是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：的绝对值是． 故答案为：． 根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身． 17.【答案】  【解析】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须， 解得：， 故答案为：． 根据二次根式有意义的条件得出，求出即可． 本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键． 18.【答案】直角  【解析】解：， ，，， 解得：，，． ，， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 首先根据，求出，，的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为时，则每一个非负数都等于． 19.【答案】  【解析】解：如图， 甲从上午：到上午：一共走了小时，走了千米，即乙从上午：到上午：一共走了小时，走了千米，即千米． 在中，， 千米， 因此，上午：时，甲、乙两人相距千米． 答：上午：甲、乙两人相距千米． 要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离． 此题考查的是解直角三角形，关键是掌握勾股定理． 20.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用和数轴上两点间的距离，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方． 首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数． 【解答】 解：， 则， 因为点表示， 所以点表示． 21.【答案】  【解析】解：的三边长分别是、、， 必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，， ． 故答案为：． 三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 22.【答案】  【解析】解：点为的中点， ， 点为的中点， ，， ， 点为的中点， ， 阴影部分的面积为， ， ． 故答案为：． 点是的中点，可以得到等底等高，所以，点是的中点，可以得到等底等高，等底等高，，最后由，即可得答案． 本题考查三角形中线的性质，进而得到面积的关系，能够根据图形分析找出等量关系是解题的关键． 23.【答案】稳定性  【解析】解：这样做的数学依据是三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 24.【答案】  【解析】解：平分，平分， ，， 在中，， ， 平分，平分， ，， ， 在中， ． 又， ． ， ， ． 故答案为：． 利用角平分线的定义，可得出，，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 25.【答案】  【解析】解：过七边形的一个顶点有条对角线， 故答案为： 根据多边形的对角线解答即可． 此题考查多边形的对角线问题，关键是根据多边形的一个顶点有条对角线． 26.【答案】  【解析】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 首先设这个多边形的边数为，由边形的内角和等于，即可得方程，解此方程即可求得答案． 此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用． 27.【答案】  【解析】解：≌，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 28.【答案】解：由题意，得，得 米． 由，得 米． 米． 答：梯子底部在水平方向不是滑动了米，而是米．  【解析】应用勾股定理求出的高度，以及的距离即可解答． 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 29.【答案】解： ； ； ； ．  【解析】先把各个二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； 利用平方差公式进行运算，再进行加减运算即可； 利用二次根式的除法运算法制进行计算即可； 先利用二次根式的性质和开立方化简各项，再进行加减运算，即可解题． 本题主要考查了二次根式的性质，平方差公式，二次根式的除法，开立方，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 30.【答案】解：由题意，得， 如图，在中，由勾股定理，得 ． 答：小虫从底部点处爬到上底处的最短路径长为．  【解析】画出圆桶的平面展开图，利用勾股定理求解即可． 本题考查的是平面展开最短路径问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 31.【答案】解：由题意得，，， 解得，， 所以，， ， 的算术平方根是．  【解析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出、的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答． 本题考查了算术平方根和平方根的定义，是基础题，熟记概念并列式求出、的值是解题的关键． 32.【答案】解：两直角边，， 在中，由勾股定理可知， 现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，则，， ， 设，， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得． 即的长为．  【解析】先由勾股定理求再用勾股定理从中建立等量关系列出方程即可求的长． 此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清其中的等量关系． 33.【答案】解：如图所示，线段即为所求； 如图所示，线段即为所求； 的面积．  【解析】根据三角形的高线的定义作图即可； 确定边的中点，连接即可； 根据三角形的面积公式求解即可 本题主要考查了作图的应用和设计，三角形的中线和高以及三角形的面积，掌握网格线的特点，三角形的中线是解答本题的关键． 34.【答案】解：因为， 多边形的内角和为的整数倍， 所以这个内角为．  【解析】利用，利用多边形的内角和定理可判断加上一个角后为度的整数倍，从而得到这个内角为． 本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于度． 35.【答案】解：为边上的中线， ， 为边上的高，， ， ． 在中， ，， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ．  【解析】本题灵活考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键． 利用三角形中线定义及三角形面积求出长； 利用三角形内角和先求，再用外角性质和直角三角形性质求出． 36.【答案】解：≌，，， ， ， ，， ． ，且，，， ， ， 的长度是．  【解析】由全等三角形的性质得，则，所以； 由，且，，，得，则． 此题重点考查全等三角形的性质、等式的性质、一元一次方程的解法等知识，证明，再推导出是解题的关键． 第8页，共9页 第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $