精品解析：湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高三下学期临门一搏数学试卷

湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一搏 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 平面向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ） A. 2000 B. 3000 C. 4000 D. 5000 4. 若，则（ ） A. B. 7 C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 8. 已知函数，且点满足，，若记点构成的图形为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 已知，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 最小的10个正零点之和为 C. 是的一个周期 D. 在处的切线方程为 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ） A. ， B. 记为的前n项和，则为 C. 记为数列的前n项和，则 D. 数列的前n项和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是__________. 13. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为________． 14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________.（用数字作答） 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令. （1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由; （2）求面积的最小值. 16. 已知函数（）. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 18. 近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 19. 如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. （1）若平面，证明：是的三等分点； （2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一搏 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，阴影部分表示的是，由此求得的取值范围. 【详解】或， 根据图象可知阴影部分表示的是， 因为，， 所以或. 故选：A 2. 平面向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解. 【详解】，由于，所以，解得， 故选：A 3. 某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ） A. 2000 B. 3000 C. 4000 D. 5000 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得． 【详解】由题易知均值， 由正态曲线的对称性可知 ， 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为． 故选：D． 4. 若，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可. 【详解】因为， 整理得， 所以， 又. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对、化简后可得具体的值，对有. 【详解】，故． 故选：D. 6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义、离心率公式以及勾股定理即可得解. 【详解】 因为，则， 因为，所以，解得，即椭圆的离心率为． 故选：A. 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 【答案】C 【解析】 【分析】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案. 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 8. 已知函数，且点满足，，若记点构成的图形为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将图形直观化，可得到区域是一个圆的去掉一个三角形，再分别计算面积即可. 【详解】 将函数表达式代入条件可得， 即. 所以区域即为圆的内部位于轴上方的部分， 即该圆的去掉一个底为，高为的三角形，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将问题直观化，数形结合方可直接解决问题. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 已知，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数的四则运算和复数模长公式验证各选项即可. 【详解】令， 对A，， 则不一定成立，故A选项错误； 对B，，故B选项正确； 对C，，故C选项正确； 对D，，故D选项正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 最小的10个正零点之和为 C. 是的一个周期 D. 在处的切线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断A；令，求出对应最小的10个正零点的和可判断B；利用周期定义可判断C；求出，求出在处的切线方程可判断D． 【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，令，得，即， 所以或或或， 即，当时，对应最小的10个正零点为 ， 它们的和为，故B正确； 对于C，由于，故C正确； 对于D，，，，所以在处的切线方程为，故D正确． 故选：BCD. 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ） A. ， B. 记为的前n项和，则为 C. 记为数列的前n项和，则 D. 数列的前n项和为 【答案】AB 【解析】 【分析】A.首先由正三角形求得点和的坐标，代入曲线，即可求解；B. 由为边长为的等边三角形，求得的坐标；C.将坐标代入曲线，判断C；D.根据C的结果，利用公式，即可求通项公式. 【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则， 因为点在曲线上，可得，解得或（舍）， 又由题意可知为边长为的等边三角形，则， 则，可得，解得或（舍），故A正确； B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确； C.由点在曲线上，则，整理得， 由，可知，故C错误； D.当时，可得， 所以， 可化为， 因为，则，所以， 又因为，符合上式，故， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以，故D错误. 故选：AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】首先算出第六十百分位数，然后写出二项式的通项，再令，最后得到常数项即可. 【详解】因为， 所以第六十百分位数为8，所以， 又二项式的通项为， 令， 所以常数项为， 故答案为：7. 13. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，设外接球的半径为，则，然后结合圆台的性质求出母线长，从而可求出圆台的侧面积，进而可求出圆台的侧面积与球的表面积之比. 【详解】如图，设圆台的外接球半径为，则由题意可得， 过点作于点，则， 所以， 因为， 所以， 所以圆台的侧面积, 因为球的表面积为， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为 . 故答案为： 14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________.（用数字作答） 【答案】28 【解析】 【分析】分类讨论四个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可． 【详解】显然均为不超过5的自然数，下面进行讨论： 最大数为5的情况： ①，此时共有种情况. 最大数为4的情况： ②，此时共有种情况. ③，此时共有种情况. 当最大数为3时，，没有满足题意的情况. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是. 故答案为：28． 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令. （1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由; （2）求面积的最小值. 【答案】（1）是正三角形，； （2）. 【解析】 【分析】（1）过作，过作，利用直角三角形边角关系求出，则等边三角形建立方程求解即得. （2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 过作，过作，垂足分别为，如图， 由，，得， 在中，，在中，， 由是正三角形，则，即， 整理得，又，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 而， 由，得，则当，即时，取最大值， 所以时，取得最小值. 16. 已知函数（）. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，解不等式，即可； （2）令，根据即可得出，再检验的合理性即可. 【小问1详解】 当时，，则且， 由，得或；，得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题知，令，则， 因当时，恒成立，且， 则必有，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，a的取值范围为. 17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明：[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知 ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]： 由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 18. 近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 【答案】（1）大约有71人 （2）(ⅰ) X 0 1 2 P ； (ⅱ) 第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为， 当时， ， 得：， 由①得： ，其中 是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由聚点数列的定义知：， 当时，， 所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点. 【解析】 【分析】(1)根据线性回归方程系数公式求解出回归直线方程，再将代入计算即可； (2)先求出数列通项公式，再根据聚点数列的定义证明即可. 【小问1详解】 解：，． ， ． ， ． 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人． 【小问2详解】 解：(ⅰ)的可能取值为． ； ； ； 所以的分布列为： X 0 1 2 P ． (ⅱ)略 19. 如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. （1）若平面，证明：是的三等分点； （2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； （3）求的最小值. 【答案】（1）证明：作于点，连接, 由于平面，平面，则，则, 因，平面， 因此平面，因为平面，所以， 又因为，可得，所以， 因为，则，故为的三等分点. （2）是椭圆，理由如下： 延长至，使得， 由于，可得M，D到的距离为定值， 因此M，D应在以为高线的圆柱上运动，且上下底面与垂直， 又因为M，D为平面上两点，， 从而M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义， 因而M，D的运动轨迹应为椭圆，示意如下. （3） 【解析】 【分析】（1）作，证明平面，得到和，结合，得到，即可得证； （2）延长至，使得，得到M，D到的距离为定值，求得，根据圆锥曲线的定义，即可求解； （3）由已知求得椭圆方程，以A为原点，建立空间直角坐标系，得到为椭圆左焦点，设椭圆右焦点为，，解法1：由余弦定理，求得，构造函数，利用导数求出的单调性和极值，即可求解；解法2：由，结合基本不等式求的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以A为原点，所在直线为x轴，过A点与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为， 故由图可知椭圆的短半轴长为1， 由，从而椭圆的长半轴，进而椭圆方程：， 又由，平面，从而，即， 由定义知为椭圆的左焦点，设的右焦点为，则， 设， 在中，由余弦定理，可得， 解得，同理可得：， 解法1：由， 令，则，可得， 令，解得，（舍去）， 当，；当，， 因此为的极小值点，可得. 解法2：由，原题等价于求的最小值， 则等价于求的最小值， 又由， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $