湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高三下学期临门一搏数学试卷

湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一搏 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 平面向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ） A. 2000 B. 3000 C. 4000 D. 5000 4. 若，则（ ） A. B. 7 C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 8. 已知函数，且点满足，，若记点构成的图形为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 已知，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 最小的10个正零点之和为 C. 是的一个周期 D. 在处的切线方程为 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ） A. ， B. 记为的前n项和，则为 C. 记为数列的前n项和，则 D. 数列的前n项和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是__________. 13. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为________． 14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________.（用数字作答） 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令. （1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由; （2）求面积的最小值. 16. 已知函数（）. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 18. 近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 19. 如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. （1）若平面，证明：是的三等分点； （2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； （3）求的最小值. 湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一搏 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】7 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】28 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）是正三角形，； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知 ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]： 由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）. 【18题答案】 【答案】（1）大约有71人 （2）(ⅰ) X 0 1 2 P ； (ⅱ) 第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为， 当时， ， 得：， 由①得： ，其中 是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由聚点数列的定义知：， 当时，， 所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点. 【19题答案】 【答案】（1）证明：作于点，连接, 由于平面，平面，则，则, 因，平面， 因此平面，因为平面，所以， 又因为，可得，所以， 因为，则，故为的三等分点. （2）是椭圆，理由如下： 延长至，使得， 由于，可得M，D到的距离为定值， 因此M，D应在以为高线的圆柱上运动，且上下底面与垂直， 又因为M，D为平面上两点，， 从而M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义， 因而M，D的运动轨迹应为椭圆，示意如下. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $