精品解析：湖南省永州市第一中学2025-2026学年高一直升班上学期拓展研学（一）暨第一次月考数学试题

永州一中2025-2026学年高一直升班数学拓展研学（一） 时间：120分钟；满分：150分（考试范围：必修一：第1~4章） 一、多择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据“”用于元素与集合，“”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对. 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错； 对于②，是任意集合的子集，故②对； 对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对； 对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错； 对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错. 故错误的有①④⑤，共3个， 故选：C. 2. 有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数. 【详解】由题意， 设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A. 【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得. 3. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 4. 集合，，则满足条件的集合的个数（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得集合中必须有4、5、6这三个元素，而1，2，3这三个元素可能含有，即的个数等价于集合子集的个数，由集合的子集与元素个数的关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，满足题意条件的集合中必须有4、5、6这三个元素， 而1，2，3这三个元素可能含有， 则的个数等价于集合子集的个数， 集合有3个元素，有个子集； 故选：C. 5. 已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目.13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有（ ） A. 8人 B. 7人 C. 6人 D. 5人 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有x人， 由图可知，解得 所以该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故选：A 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 7. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，知A错，是增函数，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】取，满足，，知A错，排除A； 因为，知B错，排除B； 取，满足，，知D错，排除D， 因为幂函数是增函数，，所以，C正确． 8. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求出和的取值范围，求出的最小值. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将不等式变形后得到，构造函数，根据函数的单调性得到，从而AD可举出反例，C可根据函数单调性得到. 【详解】由变形得到， 令，显然在R上为增函数， 所以，显然B正确； A选项，若或时，A不满足要求，舍去； C选项，，故，C正确； D选项，不妨设，则，即，D错误. 故选：BC 10. 下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意； B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意； C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意； D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意. 故选：AD 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式一一判断计算可得． 【详解】正实数，满足，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项A正确； ， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项B正确； ，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故选项C错误； ， 当且仅当时取等号，所以有最小值，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 13. 若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的______条件. 【答案】充要 【解析】 【分析】判断与互补是否成立，再判断与互补是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到结论． 【详解】若，则， 两边平方解得，结合，知至少有一个为，另一个为非负数， 故，即与互补； 若与互补时，易得，故至少有一个为，且，， 若，，此时， 同理若，，此时， 即， 故是与互补的充要条件． 故答案为：充要． 14. 若函数的最大值是1，则实数a的值是________． 【答案】或2 【解析】 【分析】将函数写成分段函数形式，再分和讨论.当时，函数在单调递增，由此求出的最大值为；当时，又需要分，和三种情况分别讨论，分别求出的最大值，求解出的值即可. 分，，三种情况，分别研究分段函数的单调性，求出的最大值，列式求解的值即可． 【详解】， （1）当时，因为，则成立， 故， 对称轴为，则在上单调递增， 所以，与矛盾，故舍去； （2）当时，的大致图像如下： 可求得 ①当，即时， 在上单调递增， 则，与矛盾，故舍去； ②当，即时， 在单调递增，单调递减，单调递增， 且， 则， 解得，与相符； ③当，即时， ， 解得，与相符. 综上所述，的值为或2． 故答案为：或2． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知是二次函数，且，. （1）求的解析式； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）设，由，求得，再由，列出方程组，求得，即可求得函数的解析式； （2）由（1）知，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，设， 因为，可得，即， 又由， 且， 又因为，即， 所以， 可得，解得，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 可得函数的图象开口向上，且对称轴为，所以， 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为， 综上可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 16. 已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） （1）若集合，直接写出集合S、T； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1）； （2）证明：由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）1348 【解析】 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，证明即可； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【小问1详解】 因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 17. 已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度. （1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2）已知关于的方程在内有两个不同的解、. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）, 的对称轴方程为. （2）（i）, （ii）证明：法一：因为是方程在区间内有两个不同的解， 所以，. 当时， 当时, 所以 法二：因为是方程在区间内有两个不同的解， 所以，. 当时， 当时, 所以 于是 【解析】 【小问1详解】 将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为 【小问2详解】 （i） （其中） 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是. （ii）略 考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 18. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． （1）判断函数的单调性； （2）解不等式：； （3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数是定义在上的增函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可得到结果. （2）由第一问的结果增函数即可求解不等式的解集. （3）首先将函数恒成立问题转化成立，就是关于t的不等式求解，再构造函数进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由于函数是定义在上的奇函数，所以， 设则由得到， 即，由函数单调性的定义易得函数是定义在上的增函数. 【小问2详解】 由（1）知函数是定义在上的增函数，且； 则有,解得，所以不等式的解集为 【小问3详解】 因为，所以，若对所有， 恒成立，则成立，且， 所以对恒成立，即，恒成立， 令，则,即,解得，故实数的取值范围为 19. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 ①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． 【小问2详解】 ∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州一中2025-2026学年高一直升班数学拓展研学（一） 时间：120分钟；满分：150分（考试范围：必修一：第1~4章） 一、多择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合，，则满足条件的集合的个数（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 5. 已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目.13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有（ ） A. 8人 B. 7人 C. 6人 D. 5人 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的最小值是_______． 13. 若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的______条件. 14. 若函数的最大值是1，则实数a的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知是二次函数，且，. （1）求的解析式； （2）求在区间上的最大值. 16. 已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） （1）若集合，直接写出集合S、T； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 17. 已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度. （1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2）已知关于的方程在内有两个不同的解、. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 18. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． （1）判断函数的单调性； （2）解不等式：； （3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $