1.3 空间向量及其运算的坐标表示专项训练-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

§1.3 空间向量及其运算的坐标表示 考法1：空间直角坐标系及坐标表示 【例1.1.】 在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标表示、求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可； （2）写出的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解； 【详解】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； （2）由题意知，， 故； 【例1.2.】 如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量的坐标表示、用空间向量求点的坐标 【分析】过点作轴交于点，根据已知条件算出三角形的边，利用直角三角形的性质及题中所给条件计算出的长度即可解决问题. 【详解】过点作交于点，如图所示： 因为，， 所以在中有： 得、， 在中， 有， 所以， 所以点的坐标为， 又为原点，所以， 故选：B. 【例1.3.】 点在空间直角坐标系中的（    ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据坐标平面和坐标轴上点的坐标特点即可判断. 【详解】因为点的竖坐标为0，所以该点在平面上. 故选：B. 【例1.4.】 设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】依题意以基底表示向量即可得出结论. 【详解】由向量在基底下的坐标为可得， 又， 所以， 即可得向量在基底下的坐标是. 故选：A 【例1.5.】 在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解. 【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 考法2： 空间点的对称问题 【例2.1.】 已知点关于轴的对称点为，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】根据点对称的性质可得点坐标，进而可得. 【详解】由题意，点关于轴的对称点为， 故. 故选：D. 【例2.2.】 已知点关于轴的对称点为A，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于轴的对称点为， 所以. 故选：C 【例2.3.】 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据平面对称的特征求解. 【详解】关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数， 故所求坐标为. 故选：A. 考法3：空间向量的坐标运算 【例3.1.】 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由空间向量的坐标运算计算． 【详解】由已知， 故选：C． 【例3.2.】 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 【例3.3.】 已知向量，则的值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】直接利用空间向量数量积的坐标形式计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：C 【例3.4.】 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果. 【详解】因为，，，且，，共面， 所以，又，得到，解得， 故选：D. 【例3.5.】 在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】设线段上靠近点A的三等分点为，则有，根据向量坐标的线性运算即可求解. 【详解】设线段上靠近点A的三等分点为，则有， 又，所以， 所以，即，所以， 故选：A. 考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用 【例4.1.】 已知向量，，且与互相平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量共线的坐标表示求解 【详解】，， 则，解得， 故选：D 【例4.2.】 已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 【例4.3.】 如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先建立直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系，则，， 所以，则. （2）依题意得、、、、， 则，，， 所以，， 则，，即，， 又因为平面，所以平面. 考法5：利用空间向量的坐标运算求模长 【例5.1.】 已知在空间直角坐标系中， ，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解. 【详解】由题意可得，， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C. 【例5.2.】 设，向量，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量的平行、垂直以及数量积的坐标表示求解. 【详解】因为，所以，解得，所以 又因为，所以，解得，所以， 所以，则， 故选：A. 【例5.3.】 已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 【例5.4.】 如图，正四棱台中，，，，M是的中点，Q是BC的中点，在直线上取一点P，使得，则线段PQ的长度为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，令，利用，得即可求出，再求线段PQ的长度即可. 【详解】如图，连接AC，BD交于点O，连接，交于点，连接． 由正四棱台的结构特征，易知AC，BD，两两垂直， 故以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为在正四棱台中，，，， 所以，，， 则，，，， ，． 因为M是的中点，所以．令， 则． ， 要使，则， 则， 解得，所以， 所以， 所以． 故选：C. 【例5.5.】 在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 0 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角 【例6.1.】 已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】首先求出与，再根据计算可得. 【详解】因为， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为. 故选：B 【例6.2.】 （多选）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可. 【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况， 则，解得，当，共线时，解得， 故且，对照选项知AC正确，BD错误. 故选：AC. 【例6.3.】 （多选）已知向量，，其中，则以下命题正确的是（   ） A．向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关）； B．的最大值为； C．（，的夹角）的最大值为； D．若定义，则的最大值为. 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】取轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断A；计算,利用不等式求出最大值即可判断B；利用数量积求出夹角的最大值，即可判断C；根据定义求出的最大值即可判断D． 【详解】对于A，取轴的正方向单位向量， 则， ∴向量与轴正方向的夹角恒为定值，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号， 因此的最大值为1，故B错误； 对于C，由B可得，∴， ∴， ∴的最大值为，故C正确； 对于D，由C可知：， ∴，， ∴，故D正确． 故选：ACD. 【例6.4.】 如图，在棱长为的正方体中，分别是棱、上的点，且. （1）求线段的长 （2）求异面直线与所成的角 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量模长的坐标表示 【分析】用空间向量的方法：以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，求出的坐标，进而可求出，与的坐标； （1）由向量的模的坐标表示即可求出结果； （2）求出与夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】 以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，根据题意及，可得：，，，，，， （1） （2），故异面直线与所成的角为. 【例6.5.】 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，是的中点，． (1)求． (2)证明：． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出的坐标后可取； （2）利用向量垂直的坐标形式可证明； （3）求出的坐标后利用夹角公式可求的值． 【详解】（1） 因为底面，底面是正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 而，故， 故. （2）因为，故，故， 所以，所以. （3）由（1）、（2）可得，而， 故，故， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.3 空间向量及其运算的坐标表示 考法1：空间直角坐标系及坐标表示 【例1.1.】 在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、. 【例1.2.】 如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 点在空间直角坐标系中的（    ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 【例1.4.】 设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 考法2： 空间点的对称问题 【例2.1.】 已知点关于轴的对称点为，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【例2.2.】 已知点关于轴的对称点为A，则等于（    ） A． B． C． D．2 【例2.3.】 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 考法3：空间向量的坐标运算 【例3.1.】 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 ，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知向量，则的值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【例3.4.】 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例3.5.】 在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用 【例4.1.】 已知向量，，且与互相平行，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【例4.3.】 如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 考法5：利用空间向量的坐标运算求模长 【例5.1.】 已知在空间直角坐标系中， ，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 设，向量，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【例5.3.】 已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【例5.4.】 如图，正四棱台中，，，，M是的中点，Q是BC的中点，在直线上取一点P，使得，则线段PQ的长度为（    ） A．3 B． C． D．4 【例5.5.】 在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角 【例6.1.】 已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 （多选）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．1 【例6.3.】 （多选）已知向量，，其中，则以下命题正确的是（   ） A．向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关）； B．的最大值为； C．（，的夹角）的最大值为； D．若定义，则的最大值为. 【例6.4.】 如图，在棱长为的正方体中，分别是棱、上的点，且. （1）求线段的长 （2）求异面直线与所成的角 【例6.5.】 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，是的中点，． (1)求． (2)证明：． (3)求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$