第21章 一元二次方程单元测试-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 2．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 4．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 5．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 6．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0 7．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 二．填空题（共7小题） 8．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则（n﹣1）2+2m的值为 　 　 ． 9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 10．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　 ． 11．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为a与β．则的值是 　 　 ． 12．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　 　 元． 13．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 14．有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 　 　 只鸡受到传染． 三．解答题（共6小题） 15．解方程： （1）x2﹣2x+5＝20； （2）x（x﹣3）＝2x+5． 16．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是　 　 件，每件商品盈利　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 18．用适当的方法解下列一元二次方程：2x2﹣6x+3＝0． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（k+1）＝0有实根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求该方程的两个根． 20．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 第21章 一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 【答案】C 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根， ∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0， 解得：k且k≠0． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 2．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到m＞0，n＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n， ∵点P（m，n）在第四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴（﹣m）2＞0， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0， 方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【答案】B 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0或x0， ∴2ax0+b或2ax0+b， ∴． 故④正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 4．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【答案】D 【分析】根据x2≥0，2[x]＝x2可得x≥0，分4种情况讨论：①0≤x＜1时，解得x＝0；②1≤x＜2时，解得x或x（舍）；③2≤x＜3时，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；④x≥3时，方程无解． 【解答】解：∵x2≥0，2[x]＝x2， ∴x≥0， ①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； ②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）； ③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）； ④x≥3时，方程无解； 综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x， 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 5．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2． 6．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0 【答案】C 【分析】根据根的判别式，一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时，b2﹣4ac≥0． 【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0 当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0 所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根， 所以b2﹣4ac≥0． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是用特殊值法． 7．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【答案】A 【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：acb2，即可求解． 【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM＝∠AEM，MD＝MEDEb， ∴∠BDM＝∠MEC＝90°∠BAC， ∴∠BMC＝90°∠BAC， ∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴， ∴BD•EC＝MD•ME， 即：acb2， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键． 二．填空题（共7小题） 8．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则（n﹣1）2+2m的值为 　10　 ． 【答案】10． 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝4，把n代入x2﹣4x﹣1＝0可得n2﹣4n＝1，然后再整体代入代数式求值即可． 【解答】解：由题意可知：，n2﹣4n﹣1＝0， ∴n2﹣4n＝1， （n﹣1）2+2m＝n2﹣2n+1+2m ＝n2﹣4n+1+2m+2n ＝（n2﹣4n）+1+2（m+n） ＝1+1+8 ＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值．熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0， 解得k＜1． 故答案为：k＜1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 10．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 　﹣7　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故答案为﹣7． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 11．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为a与β．则的值是 　　 ． 【答案】． 【分析】把变形为，然后利用根与系数的关系求得α+β＝3，αβ＝﹣2，最后代入到中，即可求解． 【解答】解：由题意可知：α+β＝3，αβ＝﹣2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为x1，x2，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 12．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　3或4　 元． 【答案】见试题解答内容 【分析】设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱， 根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴每箱应降价3或4元． 故答案为：3或4． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＞﹣4且k≠0　 ． 【答案】k＞﹣4且k≠0． 【分析】由一元二次方程的定义可得k≠0，由一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，解不等式求解即可． 【解答】解：∵kx2+4x﹣1＝0是一元二次方程， ∴k≠0， 由题意可知：Δ＝b2﹣4ac＞0，即42﹣4k×（﹣1）＞0， 解得：k＞﹣4， 综上所述，k的取值范围是k＞﹣4且k≠0． 故答案为：k＞﹣4且k≠0． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 14．有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 　729　 只鸡受到传染． 【答案】729． 【分析】设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1+x）只鸡被传染，根据“有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入81+81x中即可求出结论． 【解答】解：设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1+x）只鸡被传染， 依题意得：1+x+x（1+x）＝81， 整理得：（1+x）2＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴81+81x＝81+81×8＝729， ∴经过3轮传染后共有729只鸡受到传染． 故答案为：729． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 15．解方程： （1）x2﹣2x+5＝20； （2）x（x﹣3）＝2x+5． 【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）x1，x2． 【分析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法解法，可得答案． 【解答】解：（1）x2﹣2x+5＝20； 方程变形得x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， x﹣5＝0或x+3＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣3； （2）x（x﹣3）＝2x+5． 方程变形得：x2﹣5x﹣5＝0， Δ＝25+20＝45＞0， x， ∴x1．x2， 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，熟练掌握这两种解方程方法是关键． 16．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是　2x　 件，每件商品盈利　（30﹣x）　 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【答案】（1）4x；（30﹣x）； （2）每件商品降价10元时，商场日盈利可达到1600元． 【分析】（1）由题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加4x件，每件商品盈利（30﹣x）元； （2）依题意得，（30﹣x）•（40+4x）＝1600，整理得，x2﹣20x+100＝0，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：（1）根据题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（30﹣x）元， 即降价后商场日销售量是2x，每件商品盈利（30﹣x）元， 故答案为：2x，（30﹣x）； （2）根据题意列一元二次方程得，（30﹣x）•（40+4x）＝1600， 整理得，x2﹣20x+100＝0， 即（x﹣10）2＝0， 解得，x1＝x2＝10， ∴每件商品降价10元时，商场日盈利可达到1600元． 【点评】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用是解题的关键． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 【答案】（1）m的取值范围是m． （2）m的值为． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围． （2）利用根与系数的关系得到2m+1＝0，解关于m的方程即可求解． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴[﹣（2m+1]）2﹣4（m2﹣2）＞0， 解得：m． ∴m的取值范围是m． （2）根据题意得2m+1＝0， 解得m， 故m的值为． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 18．用适当的方法解下列一元二次方程：2x2﹣6x+3＝0． 【答案】，． 【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【解答】解：原方程变形得：， 配方得：， 开方得，， 解得：，． 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（k+1）＝0有实根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1）k的取值范围是k≤0； （2）方程的两个根都是1． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）结合（1）中的取值范围，求出k的值，再进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+（k+1）＝0有实根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0， 所以k的取值范围是k≤0． （2）由（1）知，k的最大整数值为0， 则该方程为x2﹣2x+1＝0， 解得x1＝x2＝1， 所以方程的两个根都是1． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 20．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设边AB的长为x米，则AD＝（80﹣4x）米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得x（80﹣4x）＝440，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【解答】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米， 根据题意可得x（80﹣4x）＝300， 解得x1＝5，x2＝15， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意， ∴x＝15米． 答：边AB的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440， 整理，得 x2﹣20x+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $