4.2.3定理，推论 教学设计2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

4.2.3定理，推论 教学设计 课题 4.2.3定理，推论 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 本课时是湘教版八年级上册第四章第二节的内容，主要内容是定理，推论，逆定理，互逆定理，让学生会用定理去证明几何问题，掌握证明与图形有关的命题时的一般步骤步骤。培养学生不同几何语言的转化。 核心素养 能力培养 1.知道定理及推论的概念，会用定理及推论证明几何问题，经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条件表达能力. 2.证明与图形有关的命题时，会用数学符号语言、正确的格式表示，提高逻辑推理能力. 教学目标 1．通过具体事例掌握定理、推论、逆定理、互逆定理等概念． 2．掌握命题证明的过程与方法，会写规范的证明过程． 3．培养学生的逻辑思维能力． 教学重点 理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念。 教学难点 理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 （新知导入） 证明： 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 这一过程就是通常所说的证明. 学生回忆思考回答。 用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性. 新知探究 定理: 经过证明为真的命题叫作定理. 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”. 推论: 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 探究: 如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF 是 △ABC 的三个外角， 问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 证明：因为 ∠ACE = 180°- 40°= 140°，∠CBD = 180°- 60°= 120°，∠BAF =180°- 80°= 100°， 所以∠ACE + ∠CBD + ∠BAF = 140°+ 120°+ 100°= 360°. 猜测：三角形的三个外角之和等于360°. 证明：如图 ，△ABC的三个外角分别为∠BAF，∠CBD，∠ACE. 因为∠BAF = 180°- ∠BAC，∠CBD = 180°- ∠ABC，∠ACE = 180°- ∠ACB， 所以 ∠BAF + ∠CBD + ∠ACE =（180°- ∠BAC）+（180°- ∠ABC）+（180°- ∠ACB） = 540°-（∠BAC + ∠ABC + ∠ACB） = 540°- 180° = 360°. 由此可得： 三角形的外角和等于360°. 逆定理，互逆定理: 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 例如，平行线的性质定理 1（两直线平行，同位角相等）与平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理. 判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理． 提醒： 定理是真命题，但真命题不一定是定理； 任何定理都有逆命题，但这个逆命题不一定是真命题，所以并不是每一个定理都有逆定理. 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，AE 是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥BC. 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得， ∠CAD = ∠B + ∠C. 又∠B = ∠C， 于是∠CAD = 2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线， 因此∠CAD = 2∠DAE， 从而2∠B = 2∠DAE， 即∠B = ∠DAE. 所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）. 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论. 学生听讲。 学生探究猜测三角形外角和等于360°。 学生在教师的讲解下了解逆定理及互逆定理。 学生尝试证明。 讲解定理及推理的概念。 证明三角形的内角和定理的推论。 让学生掌握逆定理及互逆定理的概念，知道定理是真命题，但真命题不一定是定理；任何定理都有逆命题，但这个逆命题不一定是真命题，所以并不是每一个定理都有逆定理. 让学生掌握证明与图形有关的命题时，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 课堂练习 1.证明：如图，在四边形 ABCD 中，如果 ∠A + ∠B = 180°，那么 ∠C +∠D = 180°. 证明： 在四边形 ABCD 中 ∵ ∠A + ∠B = 180°， ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ∴ ∠C +∠D = 180°（两直线平行, 同旁内角互补）. 2.如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，且 ∠1 = ∠2. 求证：∠3 + ∠4 =180°. 证明： ∵ ∠1=∠2， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∴ ∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）. 3.如图，线段AB与CD相交于点E. 求证：∠A + ∠C = ∠B + ∠D. 证明： ∵ AB与CD 相交于点E ， ∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等）， 又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠A + ∠C = ∠B + ∠D. 学生独立解答，小组交流谈论，派代表板书答案。 通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.定理： 经过证明为真的命题叫作定理. 2.推论： 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 3.逆定理，互逆定理: 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 4.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论. 学生回顾总结，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 作业布置 必做题：教材习题4.2--学而时习之 5题、6题 选做题：教材习题4.2--温故而知新 7题 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $