4.2.2证明，举反例 教学设计2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

4.2.2证明，举反例 教学设计 课题 4.2.2证明，举反例 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 本课时是湘教版八上第四章第二节第二课时，是在学习了命题的概念的基础上学习的，是对命题的进一步学习，介绍如何去判断命题的真假，会用举反例和反证法去判断证明命题，本课时的学习为后面学习定理，推论奠定了基础。 核心素养 能力培养 学生通过具体事例掌握举反例，证明，反证法等概念，提高学生的抽象能力；经历观察、推理等活动,类比、归纳得出真假命题的判断方法,并在这一过程中获得一些探索教学知识的基本经验和方法,培养推理能力和总结归纳能力，提高对数学学习的积极性. 教学目标 1．通过具体事例掌握举反例，证明，反证法等概念． 2．会判断一个命题的真假，并会给假命题举出反例． 3．通过具体例题，体会反证法的意义，学会用反证法解决特殊问题. 教学重点 判断命题的真假，举反例. 教学难点 会用反证法证明命题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 （新知导入） 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？为什么？ ①两点之间线段最短． ②任意一个三角形的三条中线相交于一点吗？ ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ④两条直线相交，只有一个交点． ⑤作一条线段等于已知线段． 解：①③④是命题．它们都是陈述句，对事件作出了判断．②⑤不是命题，它们没有对事件作出判断． 学生思考回答。 加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性. 新知探究 议一议: 如何判断一个命题是假命题呢？ 举反例: 对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 例如，对于“有理数的绝对值是正数”这一命题，由于 0的绝对值是 0，不是正数，因而可判断这个命题是假命题. 例1 命题“如果ab = 0，那么a = 0”是真命题还是假命题？ 解： 1 × 0 = 0，但是1 ≠ 0，因此“如果 ab = 0，那么a = 0”是假命题. 做一做: 用举反例的方法说明下列命题是假命题. （1）若a2=b2，则a=b； （2）一个角的余角大于这个角； （3）若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |； （4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 解：（1）12=（-1）2，但是1 ≠-1，因此“若a2=b2，则a=b”是假命题. （2）设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题. （3）设a=2,b=-1，| 2+（-1） |≠| 2 |+| -1 |，因此“若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |”是假命题. （4）在等腰△ABC中，∠A=∠B=70°，∠C=40°，但∠A与∠B不是对顶角，因此“如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角”是假命题. 思考: 如何判断一个命题是真命题呢？ 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 这一过程就是通常所说的证明. 说明： (1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. (2)证明的每一步都必须要有根据. 例2 证明：如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0. 证明：若a ≠ 0，则a2为正数. 又b2为正数或0，从而a2 + b2 是正数，因此a2 + b2 ≠ 0. 同理可得，若b ≠ 0，则a2 + b2 ≠ 0. 例3 证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 分析 “至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明. 我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°， 则∠A < 60°，∠B < 60°，∠C < 60°， 从而∠A + ∠B + ∠C < 60°+ 60°+ 60°= 180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 反证法: 当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题是正确的. 这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： （1） 假设命题不成立； （2） 导出矛盾； （3） 肯定结论. 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能： （1）与原命题的条件矛盾； （2）与假设矛盾; （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （4）与客观事实矛盾. 做一做: 用反证法证明：如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0. 证明：假设如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 = 0， 若a ≠ 0，则a2为正数. b2定为正数或0，从而a2 + b2 一定是正数，因此a2 + b2≠ 0. 同理可得，若b ≠ 0，则a2 + b2 ≠ 0. 这与“如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 = 0”矛盾，故假设不成立. 因此，如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0. 学生小组讨论，教师提出举反例这一方法。 学生独立完成。 学生思考。 学生在教师的引导下作答。 学生尝试证明。 讲解用举反例的方法判断命题的真假。 检验是否掌握用举反例去判断命题的真假。 引出证明的概念，指出证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等；证明的每一步都必须要有根据. 由例题引出反证法，可以用反证法去证明命题。 检验是否会用反证法去证明命题。 课堂练习 1.命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题还是假命题？ 解：假命题. 2.证明：在同一平面内，如果直线a ∥ b，l⊥ a，那么l⊥ b. 证明：如图， ∵a ∥ b， ∴∠1=∠2 ∵l⊥ a ∴∠1=90° ∴∠2=90° ∵l⊥ b 3.用反证法证明：如果ab = 0，那么a = 0或b = 0. 证明：假设如果ab = 0，那么a，b均不等于0， 当a≠0且b≠0时， ab ≠ 0 这与“ab = 0”矛盾，故假设不成立. 因此，如果ab = 0，那么a = 0或b = 0. 学生独立思考后，小组交流讨论，派代表板书答案。 通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.举反例： 对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 2.证明： 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 这一过程就是通常所说的证明. 3.反证法： 当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题是正确的. 这种证明方法叫作反证法. 学生回顾总结，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 作业布置 必做题：请完成学案作业布置内容 选做题：教材习题4.2--温故而知新 8题、9题 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $