4.2.3 定理，推论 学习任务单2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

第四章 三角形 4.2.3定理，推论 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1．通过具体事例掌握定理、推论、逆定理、互逆定理等概念． 2．掌握命题证明的过程与方法，会写规范的证明过程． 3．培养学生的逻辑思维能力． 学习重点：掌握命题的证明的过程与方法，会写规范的证明过程． 学习难点：会对命题进行证明． ► 预习自测 一、知识链接 证明：判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 这一过程就是通常所说的证明. 2、 自学自测 1．命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （　　） A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实 2．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是（　　） A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 3．如图，，求的度数. 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据. 解：(已知)， 　 　(等量代换)， ∴　 　∥　 　.（　 　） 　 　 （　 　）， (已知)， (等式的性质). 4．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理　 　． ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 证明： 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 这一过程就是通常所说的证明. 二、合作交流、新知探究 探究：定理、推论的概念 教材第100页 定理: 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”. 推论: 例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 探究: 如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF 是 △ABC 的三个外角， 问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 证明： 猜测： 证明： 由此可得： 三角形的外角和等于360°. 探究：逆定理，互逆定理的概念 教材第101页 逆定理，互逆定理: 例如，平行线的性质定理 1（两直线平行，同位角相等）与平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理. 【强调】：判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理． 提醒： 定理是真命题，但真命题不一定是定理； 任何定理都有逆命题，但这个逆命题不一定是真命题，所以并不是每一个定理都有逆定理. 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，AE 是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥BC. 【强调】：证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论. 三、课堂练习、巩固提高 1.证明：如图，在四边形 ABCD 中，如果 ∠A + ∠B = 180°，那么 ∠C +∠D = 180°. 2.如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，且 ∠1 = ∠2. 求证：∠3 + ∠4 =180°. 3.如图，线段AB与CD相交于点E. 求证：∠A + ∠C = ∠B + ∠D. 4、 总结反思、拓展升华 【课堂总结】 1.定理： 经过证明为真的命题叫作定理. 2.推论： 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 3.逆定理，互逆定理: 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 4.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论. 5、 【作业布置】 必做题：教材习题4.2--学而时习之 5题、6题 选做题：教材习题4.2--温故而知新 7题 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $