江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的解为(    ) A. ， B. ， C. D. 2.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中，正确的是(    ) A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆 4.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，是直径，点，在半圆上，若，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 10.已知是方程的一个根则 ______． 11.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面积为______． 12.设、是方程的两个根，且，则______． 13.如图，在的内接四边形中，，点在上，则           ． 14.已知的半径为，点到直线的距离为把直线向上平移          ，才能使与相切 15.如图，在直角三角尺中，，把直角三角尺放置在圆上，经过圆心，与相交于，两点，点，，的刻度分别是，，，与相切于点，那么的半径是______． 16.如图，的两条弦、互相垂直，垂足为点，当的半径为，与两弦长的平方和等于，则等于______． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 18.本小题分 如图，在中，直径弦，若，求的度数． 19.本小题分 教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛，在相同的条件下各射靶次，每次射靶的成绩情况如图所示． 请你根据图中的数据填写下表： 平均数 众数 方差 甲 ______ 乙 ______ ______ 根据选拔赛结果，教练选择了甲运动员参加射击锦标赛，请给出解释． 20.本小题分 已知关于的方程． 若方程有一个根是，求的值； 求证：不论取为何值，方程总有实数根． 21.本小题分 如图，在中，． 用直尺和圆规作，使圆心在上，且与、都相切；要求：不写作法，保留作图痕迹 若，，则的半径长为          ． 22.本小题分 如图，中，，以为直径的交于，交于． 求证：； 若，求和的度数． 23.本小题分 如图，为半的直径，弦的延长线与过点的切线交于点，为的中点，连接． 求证：是的切线； 过点作，垂足为点，，，求的半径． 24.本小题分 如图，是的直径，弦，垂足为，为弧上一动点，，的延长线相交于点，连接，． 求证：； 已知，，求的大小． 25.本小题分 如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径用含、、的代数式表示． 小旭同学用面积法，可以构建关于的方程______． 解得 ______结果用含、、的代数式表示． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于的方程______． 解得 ______结果用含、、的代数式表示． 两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 26.本小题分 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积． 如图，大圆的弦切小圆于点，求证：； 若，则图中的圆环面积为______用含有的代数式表示； 如图，若大圆的弦交小圆于、两点，且，，则圆环的面积为______． 如图，点是内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过点作的弦，使保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 27.本小题分 【问题背景】 在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第页的第题很感兴趣． 教材原题：如图，、是的高，是的中点．点、、、是否在以点为圆心的同一个圆上？为什么？ 小军在完成此题解答后提出：如图，若、的交点为点，则点、、、四点也在同一个圆上． 请对教材原题或小军提出的问题进行解答．选择一个解答即可 【直接应用】 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决． 如图，的两条高、相交于点，连接并延长交于点． 求证：为的边上的高． 【拓展延伸】 在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题： 在的条件下连接、、如图，设，则的度数为______用含的式子表示 1.【答案】  【解析】解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 2.【答案】  【解析】解：， ， 则，即， 故选：． 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 3.【答案】  【解析】解：、错误．弧是圆上两点间的部分． B、如图， 弧和弧长度相等，但是弧和弧不是等弧，故本选项错误； C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径；故错误． D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确； 故选：． 根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型． 4.【答案】  【解析】解： 故选：． 根据弧长公式进行计算即可． 本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 5.【答案】  【解析】连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示，    将半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心， ， ， 在中，由勾股定理得，， ，经过圆心， ， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， 的度数为． 故选：． 连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． 8.【答案】  【解析】解：如图，是等边三角形， ，， ， ≌， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值． 故选：． 首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，连接交于，当点与重合时，的值最小． 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 9.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以的值为． 故答案为：． 利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10.【答案】  【解析】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 根据题意得出，再将式子变形即可得出答案． 本题考查一元二次方程的解，代数式求值，能够得到是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：圆锥的侧面积 故答案为：． 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12.【答案】  【解析】解：、是方程的两个根， ，． ， ． 故答案为：． 由根与系数的关系可得、，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键． 13.【答案】  【解析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：． 14.【答案】或或  【解析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：的半径为，点到直线的距离为． 把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 15.【答案】  【解析】解：如图连接，作于． ， 四边形是矩形， ， 由题意可知，，， ， ， 故答案为 如图连接，作于，由，推出四边形是矩形，推出，求出即可解决问题． 本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是重合添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16.【答案】  【解析】解：如图，过分别作、的垂线，垂足分别为，，然后连接，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 在中，，而，， 又， ， 又的半径为，与两弦长的平方和等于， ， ． 故答案为：． 过分别作、的垂线，垂足分别为，，然后连接，，根据已知条件就可以得到四边形是矩形，然后利用勾股定理可以得到，，同时根据垂径定理知道，，又，最后利用已知条件即可求出的长度． 本题考查的是垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是多次利用勾股定理得到所求线段的表达式解决问题． 17.【答案】解：， ， ， ，即， ，； ， ， ， ， 解得：，．  【解析】直接利用配方法解方程，进而得出答案； 首先去括号、移项、合并同类项，再利用公式法解方程． 此题主要考查了公式法、配方法解方程，正确掌握相关方法是解题关键． 18.【答案】解：，， ， ， ， ．  【解析】根据等腰三角形，求出的度数，再根据垂直得出，最后根据圆周角定理即可得解． 本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19.【答案】      【解析】解：甲的平均数为：，乙的众数为：；方差为：， 因为甲、乙的平均数与众数都相同，甲的方差小，所以更稳定，因此甲的成绩好些． 故答案为：；； 根据方差公式列式计算求出甲运动员的成绩的方差，先把乙运动员的成绩按照从高到低排列，再根据中位数的定义，找出中间两个数的平均数即可； 根据方差越小，则成绩越稳定，找出方差小的运动员即可． 本题考查了折线统计图，主要利用了方差的求解，中位数的确定以及方差反映了成绩的波动大小，注意求中位数时要先把所有的数据按照从小到大进行排列． 20.【答案】解：将代入原方程，得：， 解得：． 故的值为； 证明：当时，原方程为一次方程，此时； 当时，， 当时，方程有实数根． 综上所述：不论为何值，方程总有实数根．  【解析】将代入原方程可求出的值； 分及两种情况考虑：当时，通过解方程可求出方程的解；当，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出当时，方程有实数根．综上即可证出结论． 本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，解题的关键是：代入求出的值；分及两种情况找出不论为何值，该方程总有实数根． 21.【答案】【小题】 解：如图所示，即为所求． ． 【小题】   【解析】  作的平分线，交于点，再以点为圆心、为半径作圆；   记与的切点为，连接，则，，设，则，在中，由列出关于的方程求解即可． 解：记与的切点为， 连接，则，， 设， 则， ，， ， ， 在中，由得， 解得，即的半径为， 故答案为：． 22.【答案】【小题】 证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， ， ． 【小题】 解：是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形 又   【解析】  本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识； 连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得即可得出结论；  略 23.【答案】证明：连接、、， 是的切线， ， 是直径， ， 中，是的中点， ， ，， 则≌， ， 点在圆上， 是的切线； 解：解法一：中，，， ， 设圆的半径为，则， 由勾股定理得：， 即，； 解法二：中，，， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， ， 则， 则的半径为．  【解析】证明≌，得，所以是的切线； 解法一：设圆的半径为，则，根据勾股定理列方程可得结论； 解法二：设，根据勾股定理得：，，得，解出可得结论． 本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键． 24.【答案】证明：连接、， 是圆内接四边形的外角， ， ， 为的直径，弦， ， ， ， ； 解：连接， 为的直径，， ， 弦，， ， 在中，， ， 在中，， ， ．  【解析】连接、根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知；然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得；最后根据图中角与角间的和差关系证得结论； 连接利用垂径定理知，然后在中根据勾股定理求得，最后在中利用三角函数的定义求得，由等量代换知． 此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键． 25.【答案】，；，；   相等，见解析．  【解析】解：在中，，，，，为的内切圆，，，分别为切点，的半径为， 方法一：如图，连接，，，，，，则，，． ， ， ； 方法二：， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 由切线长定理可知，，， ， ， ， ， ． 故答案为：，；，； 相等． 理由：， ， ． 方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出，，，的关系，可得答案； 相等．利用平方差公式证明即可． 本题考查三角形内切圆与内心，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26.【答案】证明：如图，连接， 大圆的弦切小圆于点， ， ． ． ． 解：如图，作法：作射线交于点； 作以为圆心，以长为半径的圆； 作以为直径的圆交以为圆心，以长为半径的圆于点； 连接，连接并且延长到点，使； 连接，作于点； 以为圆心，以长为半径作圆作弧，交以为圆心，以长为半径的圆于点； 过点、作直线交于点、， 弦就是所求的弦． 理由：连接，作于点，则， ，， ， ， 设，， ， ，， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 弦就是所求的弦．  【解析】证明：如图，连接， 大圆的弦切小圆于点， ， ． 解：如图，连接， 由得，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 解：如图，连接、，作于点，则， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 解：如图，作法：作射线交于点； 作以为圆心，以长为半径的圆； 作以为直径的圆交以为圆心，以长为半径的圆于点； 连接，连接并且延长到点，使； 连接，作于点； 以为圆心，以长为半径作圆作弧，交以为圆心，以长为半径的圆于点； 过点、作直线交于点、， 弦就是所求的弦． 理由：连接，作于点，则， ，， ， ， 设，， ， ，， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 弦就是所求的弦． 连接，由切线的性质得，即可根据垂径定理证明； 连接，由得，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案； 连接、，作于点，则，，由，，求得，则，于是得到问题的答案； 设以为圆心，以长为半径的圆交过点的弦于另一点，连接，作于点，则，，所以，作出的弦需要满足，设，，，则，，由，得，可推导出，作出线段使它的长为，即为小圆的弦的长． 此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、垂径定理、圆的面积公式、尺规作图等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 27.【答案】  【解析】解：选择教材原题， 点、、、是否在以点为圆心的同一个圆上． 如图，连接、， 、是的高，是的中点， ， 点、、、是否在以点为圆心的同一个圆上． 如图，连接，由点、、、四点共圆得， 由点、、、四点共圆得， ， ， ， ， ， 为的边上的高． 如图，， 点、、、在以点为圆心的同一个圆上， ， 由证得点、、、在同一个圆上， ， ， 同理可证：，， 点是的内心． ． 要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等； 由点、、、四点共圆得，由点、、、四点共圆得，从而证明即可； 由点、、、在以点为圆心的同一个圆上得到，由点、、、在同一个圆上得到，从而得到平分，进而得到是的内心即可得到答案． 本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $