精品解析：第三十届WMO九年级第一套省测复习试卷数学-题目

WMO 参与·融合·创新· 须知： 1．测试期间，不得使用计算工具或手机． 2．选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共4小题，共50分． 3．请将答案写在答题卡上．测试结束时，本卷、答题卡及草稿纸会被收回． 4．若计算结果是分数，请化至最简． 九年级 （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（　　） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. 3 D. 4 4. 一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（　　） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 5. 若，则与的大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 6. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（　　） A. r＜5 B. r＞5 C. r＜10 D. 5＜r＜10 7. 如图，在中，，平分，过点A作于点D，过点D作，分别交、于点E、F，若，则的长为（ ） 别 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 在等边所在平面上直线满足的条件是：等边的3个顶点到直线的距离只取2个值，其中一个值是另一个值的2倍，这样的直线的条数是（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 27 9. 如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B、C的坐标分别为和若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点的是点（ ） A. A和B B. B和C C. C和A D. C 10. 如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0） 交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　 　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 若点与关于原点对称，则___． 12. 如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是_____． x 6.1 6.2 6.3 64 y=ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 04 13. 如图，点为三边垂直平分线的交点，且，则_____． 14. 一辆客车和一辆货车沿着同一条线路以各自的速度匀速从甲地行驶到乙地，货车出发3小时后客车再出发，客车行驶一段时间后追上货车并继续向乙地行驶，客车到达乙地休息1小时后以原速按原路匀速返回甲地，途中与货车相遇，客车和货车之间的距离（千米）与客车出发的时间（小时）之间的关系的部分图象如图所示．则客车返回与货车相遇时，客车出发的时间是__________小时． 15. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点E，则△DEF的面积为______． 16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，∠BCD＝30°，∠E＝45°，点D在CE上，且CD＝BC，点H是AC上的一个动点，则HD+HE最小值为___． 三、解答题（共4小题，共50分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；… 设游戏者从圈A起跳． （1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1； （2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？ 19. 为实数，关于的方程有三个不等的实数根． （1）求证：； （2）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值． 20. 观察发现：如图（1），是的外接圆，点是边上的一点，且是等边三角形．与交于点，以为圆心、为半径的圆交于点，连接． （1） ； （2）线段、有何大小关系？证明你的猜想． 拓展应用：如图（2），是等边三角形，点是延长线上的一点．点是的外接圆圆心，与相交于点．如果等边三角形的边长为2,请直接写出的最小值和此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ WMO 参与·融合·创新· 须知： 1．测试期间，不得使用计算工具或手机． 2．选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共4小题，共50分． 3．请将答案写在答题卡上．测试结束时，本卷、答题卡及草稿纸会被收回． 4．若计算结果是分数，请化至最简． 九年级 （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的值计算出的值，再代入原式计算可得． 【详解】解： ， ， ， 则原式． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次根式的运算，关键是根据平方差公式进行二次根式的运算，然后进行代值求解即可． 3. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设方程另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设方程的另一个解为x1， 根据题意得：﹣1+x1=2， 解得：x1=3， 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键． 4. 一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（　　） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得∠CDB=45°，∠CAD=30°，设BD=x则CD=BD=x，BC=x，由∠CAD=30°可知tan∠CAD= 即 ，解方程求出BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可. 【详解】如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则∠CDB=45°，∠CAD=30°， ∵∠CDB=45°，CD⊥BD， ∴BD=CD， 设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t， ∵tan∠CAD=，AD=AB+BD， ∴，得x=20（海里）， ∴BC=BD=20（海里）， ∴t= = （小时）， 故选C. 【点睛】本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 5. 若，则与大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小． 设，则，将x，y用含t的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∴， ∴，即． 故选B． 6. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（　　） A r＜5 B. r＞5 C. r＜10 D. 5＜r＜10 【答案】D 【解析】 【详解】延长CD交⊙D于点E， ∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB==15， ∵D是AB中点，∴CD=， ∵G是△ABC的重心，∴CG==5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10， ∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r， ∴ ， 故选D. 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键. 7. 如图，在中，，平分，过点A作于点D，过点D作，分别交、于点E、F，若，则的长为（ ） 别 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】延长、交于点G，根据三角形内角和定理推出，则，进而得到D是的中点，证明得到，即，进一步证明，得到，即可求出，则，． 【详解】解：如图所示，延长、交于点G， ∵平分，于点D， ， 又 ∴， ， ∴D是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理与性质，相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 8. 在等边所在平面上的直线满足的条件是：等边的3个顶点到直线的距离只取2个值，其中一个值是另一个值的2倍，这样的直线的条数是（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，点到直线的距离等知识，利用数形结合得出符合要求的图形是解题的关键，根据已知可以分成两类第一类：过一边的中点，其中过边中点M的直线，即可得出满足条件的条数，进而得出过3条边中点的直线条数，第二类：与一边平行，这样的直线也有12条，即可得出答案． 【详解】解：因为等边的3个顶点到直线的距离只取2个值， 所以等边三角形某一边上的两个顶点到该直线的距离相等，且这两个顶点到这一直线的距离等于第三个顶点到这一直线距离的2倍，或这两个顶点到这一直线的距离等于第三个顶点到这一直线距离的倍， 所以这样的直线过等边三角形一边的中点或者平行于三角形的一边， 第一类：当直线过一边的中点，其中过边中点M的直线，满足条件的有4条，那么，这一类共有12条； 第二类：与一边平行，这样的直线也有（条）， 两类合计：（条）， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B、C的坐标分别为和若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点的是点（ ） A. A和B B. B和C C. C和A D. C 【答案】A 【解析】 【分析】先作直线，以为圆心以1为半径作圆，发现在第一次滚动过程中，点、经过点，同理可得，再根据每3个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论． 【详解】解：由题意可知： 第一次滚动：点、经过点， 第二次滚动：点、经过点， 第三次滚动：点、经过点， 第四次滚动：点、经过点， 发现，每三次一循环，所以余1， 这个正三角形的顶点、、中，会过点的是点、， 故选：A． 【点睛】本题考查的是等边三角形、旋转的性质及坐标与图形的性质，根据题意作出辅助圆，利用旋转的性质得出经过、的等边三角形的顶点，利用数形结合解决问题． 10. 如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0） 交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设点横坐标为,则点纵坐标为点的纵坐标为 轴， ∴点纵坐标为 ∵点是抛物线上的点， ∴点横坐标为 轴,∴点纵坐标为 ∵点是抛物线上的点， ∴点横坐标为 故选：D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 若点与关于原点对称，则___． 【答案】1 【解析】 【详解】解：由题意，得 a－2＋a＝0， 解得a＝1， 故答案为1． 点睛：本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是_____． x 6.1 6.2 6.3 6.4 y=ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4 【答案】6.3＜x＜6.4 【解析】 【详解】由表格中的数据看出0.2和0.4更接近于0.3，故一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是6.3＜x＜6.4． 故答案为6.3＜x＜6.4． 13. 如图，点为的三边垂直平分线的交点，且，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形的外心的概念得到点是的外心，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：为三边垂直平分线的交点， 点是的外心， 由圆周角定理得，， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 14. 一辆客车和一辆货车沿着同一条线路以各自的速度匀速从甲地行驶到乙地，货车出发3小时后客车再出发，客车行驶一段时间后追上货车并继续向乙地行驶，客车到达乙地休息1小时后以原速按原路匀速返回甲地，途中与货车相遇，客车和货车之间的距离（千米）与客车出发的时间（小时）之间的关系的部分图象如图所示．则客车返回与货车相遇时，客车出发的时间是__________小时． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像求出货车和客车的速度，求出客车开始返程至遇见货车用时，进而求出两地的距离．本题考查了函数的实际应用问题，正确读懂函数图像，找到正确的解题信息是解题的关键． 【详解】解：货车3小时行驶270千米，可知货车速度为千米/小时， 客车9小时追上货车， 所以客车速度为千米/小时， 客车开始返程至遇见货车用时小时， 客车返回与货车相遇时，客车出发的时间是小时， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点E，则△DEF的面积为______． 【答案】cm 【解析】 【详解】∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，∠B=45° ∵AD的垂直平分线交AB于点E， ∴AF=DF， ∴∠ADF=∠EAD， ∴∠ADF=∠CAD， ∴AC∥DF， ∴∠BDF=∠C=90°，∵ ∴△BDF、△BED是等腰直角三角形， 设DE=x，则EF=BE=x，BD=DF=2−x， 在Rt△BED中, ， ∴， 解得(负值舍去),， ∴△DEF的面积为(−2+2)×(−2+2)÷2=6−4. 故答案为：. 点睛：本题考查了线段垂直平分线性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键. 16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，∠BCD＝30°，∠E＝45°，点D在CE上，且CD＝BC，点H是AC上的一个动点，则HD+HE最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及两点之间线段最短进行作答. 【详解】由题知，四边形ABCD是平行四边形，所以BH＝DH.要求HD＋HE最小，即BH＋HE最小，所以，连接B、E，得到最小值HD＋HE＝BE.过B点作BGCE交于点G，再结合题意，得到GE＝3,BG＝1，由勾股定理得，BE＝.所以，HD＋HE最小值为. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及两点之间线段最短，熟练掌握平行四边形的性质及两点之间线段最短是本题解题关键. 三、解答题（共4小题，共50分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】,2. 【解析】 【分析】根据分式的乘除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x=-3代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】, , , , , ， 当时，原式 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18. 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；… 设游戏者从圈A起跳． （1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1； （2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？ 【答案】（1）；（2）可能性一样． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据概率公式求解即可；（2）列表求出所有等可能的结果，再求得淇淇随机掷两次骰子，最后落回到圈A的概率，比较即可解决. 试题解析： （1）掷一次骰子，有4种等可能结果，只有掷到4时，才会回到A圈. P1= (2)列表如下， 1 2 3 4 1 （1,1） （2,1） （3,1） （4,1） 2 （1,2） （2,2） （3,2） （4,2） 3 （1,3） （2,3） （3,3） （4,3） 4 （1,4） （2.4） （3,4） （4，4） 所有等可能的结果共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即（1,3），（2,2），（3,1），（4,4）时，才可落回A圈，共4种， ∴.∴可能性一样. 点睛：本题主要考查了用列表法 （或画树形图法）求概率，正确列表（或画树形图法）是解题的关键. 19. 为实数，关于的方程有三个不等的实数根． （1）求证：； （2）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查绝对值方程，一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系及判别式，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，由原方程有三个根，得到方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，根据，即可解答； （2）根据方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于，则，，，由勾股定理，得，继而推导出，将代入得到 ，求出，分类讨论，判断是否符合题意，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ， ， ∵原方程有三个根， ∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即或中必有一个大于0，一个等于0， ∵， ∴． 【小问2详解】 方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于， ∴， 设， 则， 即， 由勾股定理，得 ， 即， ∴ 整理得：， 由（1）有，代入上式得 ， ∴． 当时，，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾， ∴． 把代入中，得 ． 故． 20. 观察发现：如图（1），是的外接圆，点是边上的一点，且是等边三角形．与交于点，以为圆心、为半径的圆交于点，连接． （1） ； （2）线段、有何大小关系？证明你的猜想． 拓展应用：如图（2），是等边三角形，点是延长线上的一点．点是的外接圆圆心，与相交于点．如果等边三角形的边长为2,请直接写出的最小值和此时的度数． 【答案】（1）120°;（2）见解析；（3）拓展应用：的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，可得∠ACB=60°，根据圆周角定理可得∠AOD的度数.（2）根据内角和定理和等边三角形的性质可得，进而得到，根据边角边对应相等可得，则. 拓展应用：以为圆心，以长为半径作圆，交于，连结，则．当时最小，时，. 【详解】解：观察发现：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠AOD=2∠ACB=120° 故答案为120°． （2）结论：AE=CF． 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 拓展应用：以圆心，以长为半径作圆，交于，连结，则由以上结论可得：． 当时最小，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴的最小值为，此时． 【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质，圆周角定理，内角和定理，全等三角形的判定.（1）解题的关键是在复杂的图形中根据圆周角定理找到等量关系；（2）关键是利用各组角的等量关系，证明所求边所在的一组三角形全等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $