第三章一次方程与方程组单元测试（培优卷）2025-2026学年湘教版（2024）七年级数学上册

第三章一次方程与方程组单元测试（培优卷） 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（　　） A．2x﹣3＝1 B．x2﹣2x＝3 C．x﹣y＝﹣5 D．x﹣y+z＝﹣1 2．下列变形中，正确的是（　　） A．若，则a＝b B．若a＝b，则a﹣c＝b+c C．若，则x＝﹣2 D．若ac＝bc，则a＝b 3．把方程去分母正确的是（　　） A．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1） B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1） C．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1） D．x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1） 4．一个书包在进价的基础上调高20%后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（　　）元． A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元 5．《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米，每盏小灯用竹篾0.5米、彩绢2米．若工坊恰好用完了120米竹篾和490米彩绢，设制作大灯x盏，小灯y盏，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．妈妈买一条裙子，打了七五折后的价钱比原来便宜了150元．这条裙子的原价是多少元？如果用方程解，设这条裙子的原价为x元，下面列式正确的是（　　） A．150﹣75%x＝x B．x﹣75%＝150 C．x﹣75%x＝150 D．75%x＝150 7．若x＝﹣2是关于x的方程x+a＝1的解，则a的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣6 8．已知等式6a＝9b+8，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．6a﹣8＝9b B．6a+3＝9b+11 C． D．6ac＝9bc+8 9．在数学活动课上，兴趣小组的同学们用4块大小不同的长方形纸板和一块小正方形纸板拼成了一个大正方形，有关数据如图所示，则拼成的大正方形的面积是（　　） A．20 B．25 C．36 D．49 10．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019 二．填空题（共5小题） 11．等式x+5＝y+6的两边　 　 得到x＝y+1． 12．一件服装标价200元，若以其六折销售，仍可盈利50%，则这件服装的进价是　 　 元． 13．小玉在解方程去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6．因而求得的解是x＝10，则a＝　 　 ． 14．关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为 　 　 ． 15．如图，在数轴上原点为O，点P表示的数为30，点Q表示的数为120，甲、乙两只小虫分别从O、P两点出发，沿直线匀速爬向点Q，最终到达点Q．已知甲每分钟爬行60个单位长度，乙每分钟爬行30个单位长度，则在此过程中，甲、乙两只小虫相距10个单位长度时的爬行时间为　 　 分钟． 三．解答题（共7小题） 16．解方程． （1）3.5x+11.6＝20； （2）； （3）． 17．某超市开展促销活动规定：在本超市一次性购物不超过300元的，一律九折，超过300元的，超过部分打八折，未超过部分仍打九折． （1）王阿姨在该超市一次性购物850元，她应支付多少钱？ （2）刘奶奶在该超市前后两次购物，第一次支付了234元，第二次支付了350元；若刘奶奶是一次性购物，同样的货物可以少支付多少元？ 18．1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果1m3木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有5m3木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 19．列方程解应用题： 我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只．”请问甲赶的羊一共有多少只？ 20．对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“⊕”：a⊕b＝a﹣b+ab，例如，2⊕5＝2﹣5+2×5＝7． （1）求2⊕（﹣2）的值； （2）若x⊕（﹣3）＝5，求x的值． 21．四月春风和煦，气温适宜，正是放风筝的好时节．某景区提前购买了A、B两种型号风筝进行销售，已知2只A型风筝和1只B型风筝共需18元，3只A型风筝和2只B型风筝共需31元． （1）求A、B两种型号风筝的进价各多少元？ （2）该景区将A型风筝的售价定为每只12元，B型风筝的售价定为每只20元．该景区第一天售出A型风筝200只，B型风筝150只，第二天该景区决定对B型风筝打折，A型风筝售价不变，结果第二天A型风筝售出的数量比第一天少了20%，B型风筝售出的数量比第一天多了20%．若第二天的销售利润比第一天的销售利润少了640元，请问B型风筝打了几折？ 22．如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣1）2＝0．点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|（以下类同）． （1）求AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 第三章一次方程与方程组单元测试（培优卷）答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C A C B D C D 1．解：A、2x﹣3＝1符合一元一次方程的定义，符合题意； B、x2﹣2x＝3不符合一元一次方程的定义，不符合题意； C、x﹣y＝﹣5不符合一元一次方程的定义，不符合题意； D、x﹣y+z＝﹣1不符合一元一次方程的定义，不符合题意， 故选：A． 2．解：A、若，则a＝b，正确，符合题意； B、若a＝b，则a﹣c＝b﹣c，原变形错误，不符合题意； C、若，则x＝﹣18，原变形错误，不符合题意； D、若ac＝bc，当c≠0时，a＝b；当c＝0时，a与b的大小不确定，原变形错误，不符合题意， 故选：A． 3．解：把一元一次方程的两边同时乘6，去分母，得3x×6+2（2x﹣1）＝3×6﹣3（x+1）， 即18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）． 故选：A． 4．解：设这个书包的进价是x元， 根据题意得：90%×（1+20%）x＝86.4， 解得：x＝80， ∴这个书包的进价是80元． 故选：C． 5．解：根据题意，可列方程组． 故选：A． 6．解：设这条裙子的原价为x元， 由题意得：x﹣75%x＝150， 故选：C． 7．解：把x＝﹣2代入方程，得， 解得a＝2． 故选：B． 8．解：∵6a＝9b+8， ∴6a﹣8＝9b+8﹣8，6a+3＝9b+8+3，，6ac＝9bc+8c， ∴6a﹣8＝9b，6a+3＝9b+11，， ∴四个选项中，只有D选项中的等式不一定成立， 故选：D． 9．解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为4+（5﹣x）厘米或（x+1+2）厘米， 根据题意得：4+（5﹣x）＝（x+1+2）， 解得：x＝3， ∴4+（5﹣x）＝6， ∴大正方形的面积为36平方厘米． 答：大正方形的面积为36平方厘米． 故选：C． 10．解：2+3﹣2025＝﹣2020， 如图所示， 设正中间的数字为a， 由题意可得﹣2020+a+3＝a+x+2， 解得x＝﹣2019． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．解：等式x+5＝y+6的两边到都减去5得，x+5﹣5＝y+6﹣5 整理得x＝y+1． 故答案为同时减去5． 12．解：设这件服装的进价是x元， 200×0.6﹣x＝50%x， 120﹣x＝0.5x， ﹣1.5x＝﹣120， 解得：x＝80， ∴这件服装的进价是80元， 故答案为：80． 13．解：按照小玉的解法， 去分母，得2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1， 解得x＝3a+1， 即3a+1＝10， 解得a＝3． 故答案为：3． 14．解：把x＝1代入2x+m＝5， 得：2×1+m＝5， 解得：m＝3， 故答案为：3． 15．解：设在此过程中，甲、乙两只小虫相距10个单位长度时的爬行时间为t分钟，由题意得： 30+30t﹣60t＝10， 解得t； 或60t﹣（30+30t）＝10， 解得t； 或30t＝120﹣30﹣10， 解得t． 故在此过程中，甲、乙两只小虫相距10个单位长度时的爬行时间为或或分钟． 故答案为：或或． 三．解答题（共7小题） 16．（1）解：3.5x+11.6＝20， 3.5x＝20﹣11.6， 3.5x＝8.4， x＝8.4÷3.5， x＝2.4； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ． 17．解：（1）王阿姨一次性购物850元， 不超过300元的部分：300×90%＝300×0.9＝270（元） 超过300元的部分：550×80%＝550×0.8＝440（元） 应支付总额：270+440＝710（元） 答：她应支付710元． （2）因为第一次支付234＜300×0.9． 设原价为x元． 90%x＝234， ∴x＝260（元）． 因此第一次购物原价为260元． 设第二次购物原价为y元． 300×0.9+0.8（y﹣300）＝350， 解得：y＝400元， 刘奶奶两次购物的总原价：260+400＝660（元）， 一次性购物的支付金额：300×0.9+（660﹣300）×80%＝270+288＝558（元）， 一次性购物的支付比分开支付总额少：（234+350）﹣558＝26（元）， 答：可以少支付26元． 18．解：设用x m3木料做桌面，用ym3木料做桌腿，则恰好配成50x张方桌， 由题意得， 解得， ∴50x＝50×3＝150． 答：应用3m3木料做桌面，用2m3木料做桌腿，恰好配成150张方桌． 19．解：设甲赶的羊一共有x只， 由题意得， 解得：x＝36， 答：甲赶的羊一共有36只． 20．解：（1）2⊕（﹣2） ＝2﹣（﹣2）+2×（﹣2） ＝2+2﹣4＝0； （2）x⊕（﹣3）＝5， 由新定义，得x﹣（﹣3）﹣3x＝5， 即x+3﹣3x＝5， 移项、合并同类项，得﹣2x＝2， 将系数化为1，得x＝﹣1． 21．解：（1）设A种型号风筝的进价是x元，B种型号风筝的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号风筝的进价是5元，B种型号风筝的进价是8元； （2）设B型风筝打了m折， 由题意得：200×（1﹣20%）×（12﹣5）+（20×0.1m﹣8）×150（1+20%）＝200×（12﹣5）+150×（20﹣8）﹣640， 解得：m＝8， 答：B型风筝打了8折． 22．解：（1）∵|a+2|+（b﹣1）2＝0， 又∵|a+2|≥0，（b﹣1）2≥0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0． ∴a＝﹣2，b＝1． ∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|， ∴AB＝|﹣2﹣1|＝3． 答：AB的长为3． （2）存在点P，使得PA+PB＝PC． 设点P对应的数为x， 当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|x|x． ∵PA+PB＝PC， ∴﹣2﹣x+1﹣xx． 解得：x． 当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝x+2， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|x|x． ∴x+2+1﹣xx． 解得：x． 当点P在点B 的右侧时，PA+PB＞PC，不合题意． 综上，点P对应的数为或． （3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． 由（1）知：AB＝3， 由（2）知：BC1， ∴AB﹣BC． ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动， 同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动， ∴AB＝t+3+4t＝5t+3． ∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动， ∴BC＝（9﹣4）t+（1）＝5t． ∴AB﹣BC＝（5t+3）﹣（5t）． ∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． 这个常数值为． 第10页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $