精品解析：重庆市第七中学校2025-2026学年上学期九年级开学考试数学试题

数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．由此判断即可． 【详解】解：A．在第四象限，不合题意； B．在第三象限，不合题意； C．在第二象限，不合题意； D．在第一象限，符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意． C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意； D．方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程是一元二次方程． 3. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.27m．方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.57，S丁2＝0.49，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差越小，稳定性越好即可知最稳定的是丁． 【详解】解：∵S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.57，S丁2＝0.49， ∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2， ∴这四名同学跳高成绩最稳定的是丁， 故选：D． 【点睛】本题考查根据方差判断稳定性：方差越小代表越稳定，理解方差的意义是解本题的关键． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意． C、∵，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； 故选：C． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．根据题意，把，代入方程，得到关于a，b的等式，化简即可求得结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 第一次考试公布成绩后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，嘉嘉说：“我们组成绩是88分的同学最多”，琪琪说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是88分”，上面两位同学的话能反映的统计量是（ ） A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，根据众数和中位数的定义，进行判断即可． 【详解】解：根据我们组成绩是88分的同学最多，得到众数为88分； 根据我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是88分，得到中位数为88分； 故上面两位同学的话能反映的统计量是众数和中位数； 故选D． 7. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到右侧，再将左侧写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 8. 暑假期间，小明一家从昆明自驾去大理旅游，途中在楚雄停留休息．如图反应的是他们离家的距离（单位：）与汽车行驶时间（单位：）之间的函数图象．下列说法错误的是（ ） A. 昆明到楚雄路程为 B. 小明家在楚雄休息了半小时 C. 楚雄距离大理 D. 小明休息前后车速不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键． 根据函数图象的相关点的横坐标和纵坐标解答即可． 【详解】解：由题意可知， 昆明到楚雄路程为,楚雄距离大理：，故选项A、C正确，不符合题意； 小明家在楚雄休息了：（小时），故选项B正确，不符合题意； 小明休息前车速为，休息后速度为，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，于E，若，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形，可得，证明，则，，即是等边三角形，，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 规定：，，例如，，下列结论中，正确的是（ ） ①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是9． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据非负数和为0的性质可判定①，由可以化简绝对值，进而可判断②；由两数绝对值相等得出两数相等或互为相反数可判断③；分三种情况讨论化简绝对值，利用一次函数的性质可判断④． 【详解】解：①若，即，解得：，则；故①正确； ②若，则，故错误； ③若，则，即或， 解得：，所以能使成立的的值存在；故错误； ④式子，当时，，则的值随x的增大而减小，所以当x=-5时有最小值9；当时，；当时，，则的值随x的增大而增大，所以当x=4时有最小值9；综上所述：的最小值是9，故正确； ∴正确的有①④，共2个； 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质及绝对值，熟练掌握一次函数的性质及绝对值是解题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线 11. 在中，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 12. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系直接求解． 【详解】解：对于一元二次方程的两根分别为和，且有， 由根与系数的关系知，， 故答案为：． 13. 在某次歌唱比赛中，小陈“演唱技巧”和“舞台表现”得分分别为9分，8分，若“演唱技巧”和“舞台表现”的权重分别是和，则小陈的最终得分为________分． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数．根据每项的得分乘以对应的权重再求和进行解答即可． 【详解】解：小陈的最终得分为（分）． 故答案为：． 14. 已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象及性质，一元二次方程根的情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6． 15. 如图，为正方形内一点，，连接，过点作交直线于点，则___．连接，若，则_______． 【答案】 ①. ##45度 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，由正方形的性质可得，设，则，由等边对等角和三角形内角和定理可得，，据此由平角的定义可得的度数；连接，由勾股定理得；证明垂直平分，得到，则，同理可得，证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 16. 一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则_________；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是__________． 【答案】 ①. 5 ②. 8114 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数的运算、整式加减的应用，解题的关键在于理解“数”的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据“数”的定义，得出，，由题意可得，即可求解出满足条件的的最大值． 【详解】解：根据题意，； ∵是“数”， ∴，， ， ∵，，各位数字均不为0， ∴，， ∴当取最小值1时，最大，此时才有可能取最大值， ∵被7整除， ∴能被7整除， ∴当，能被7整除时，， ∴此时， 满足条件的的最大值是． 故答案为：；8114． 三、解答题：（本大题9个小题，第17－18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）移项后用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 ， ， 或， ． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成填空： 如图，中，是边上的中线，于点．过点作的垂线交于点，连接、 求证：四边形是平行四边形． 证明：，， 是边上的中线， __________ 在和中 ， _____ 又， 四边形是平行四边形（_____） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形和平行四边形的判定方法，是解题的关键，根据垂直的定义，中线的定义，全等三角形的性质，平行四边形的判定方法，作答即可． 【详解】证明：，， ， ∵是边上的中线， ， 在和中 ， ， 又， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）． 19. 在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 【答案】（1），， （2） 甲班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 甲班抽取的学生测试成绩的中位数86.5大于乙班抽取的学生测试成绩的中位数85； 乙班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 乙班抽取的学生测试成绩的众数99大于甲班抽取的学生测试成绩的众数95． （结论，原因，作答其中一条即可） （3）548 【解析】 【分析】此题考查了求平均数，中位数和众数，根据以上数据作决策，解题的关键是正确分析统计图中的数据． （1）首先求出甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比，然后用1减去其他组所占的百分比即可求出a的值；根据中位数和众数的概念即可求出b和c的值； （2）根据甲班和乙班的中位数和众数判断求解即可； （3）利用样本平均数求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲班10名学生的测试成绩在C组的数据是：84，85，88，共3人， 甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比为， ∴B组人数所占的百分比， ∴； ∵一共抽取10名学生进行模拟测试， ∴中位数为从小到大排列后第5名和第6名的平均数， ∴中位数； ∵乙班10名学生的测试成绩的数据中99分出现的次数最多， ∴众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（分）． 答：甲班抽取的10名学生的测试成绩在B、D组的总成绩为548． 20. 已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再导角即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 22. 如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等； （2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 23. 如图，在中是边上的高，是上一动点（不与点重合），设的长度为与的面积比为，的面积为． （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0．2） 【答案】（1）， （2） 画出函数的图象如图， ①随的增大而减小；②当时，随的增大而减小，当时随的增大而增大；(答案不唯一) （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、函数与不等式等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据三角形面积公式求出、，即可求得与x的函数关系式；分点P在线段和上两种情况，分别用三角形面积公式求得与x的函数关系式； （2）先根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）根据函数图象确定的图象在的图象上方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：的面积为； 的面积为， 所以，即； 当点P在线段上时，则， ∴的面积为：； 当点P在线段上时，则， ∴的面积为：； 综上，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵的图象在的图象上方时x的取值范围大约为． ∴时的取值范围． 24. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将该一次函数向下平移5个单位后其图象与轴交于点，与轴交于点，过点的直线与一次函数的图象在第二象限交于点． （1）求直线的函数解析式： （2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标． ②当点运动到线段的中点时，在平面内存在一点，使得以E、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形．请求出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据平移的性质得到点D的坐标，将点代入一次函数求出的值，即可利用待定系数法求解； （2）①由（1）知直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，设，则，求出，根据，建立方程求解即可；②设，分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将代入，则， ∴， ∵一次函数向下平移5个单位后，则一次函数的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵过点的直线与一次函数的图象在第二象限交于点， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为：， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①由（1）知直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上，当时，点的坐标为或； ②令，解得：， ∴， ∵点运动到线段的中点， ∴， 将代入，则； 将代入，则； ∴， ∵，以E、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形， 设， 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的平移问题，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算． 25. 如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． （1）若菱形的对角线．，求的长； （2）如图1，若，求证：； （3）如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∵为直角三角形，为中点， ， ， ， ， ， ； （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）先求出菱形的边长，再根据面积公式求出的长； （2）在上取一点，使，连接，将转化为转化为，即可得证； （3）将绕点逆时针旋转至，证明，将转化为，即可得到最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，对角线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转至，连接， 在上， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，属于综合题，正确做出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.27m．方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.57，S丁2＝0.49，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. 3 C. D. 1 6. 第一次考试公布成绩后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，嘉嘉说：“我们组成绩是88分的同学最多”，琪琪说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是88分”，上面两位同学的话能反映的统计量是（ ） A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 7. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 暑假期间，小明一家从昆明自驾去大理旅游，途中在楚雄停留休息．如图反应的是他们离家的距离（单位：）与汽车行驶时间（单位：）之间的函数图象．下列说法错误的是（ ） A. 昆明到楚雄路程为 B. 小明家在楚雄休息了半小时 C. 楚雄距离大理 D. 小明休息前后车速不变 9. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，于E，若，则的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 规定：，，例如，，下列结论中，正确的是（ ） ①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是9． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线 11. 在中，若，则的度数为______． 12. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为__________． 13. 在某次歌唱比赛中，小陈“演唱技巧”和“舞台表现”得分分别为9分，8分，若“演唱技巧”和“舞台表现”的权重分别是和，则小陈的最终得分为________分． 14. 已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 15. 如图，为正方形内一点，，连接，过点作交直线于点，则___．连接，若，则_______． 16. 一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则_________；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是__________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17－18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成填空： 如图，中，是边上的中线，于点．过点作的垂线交于点，连接、 求证：四边形是平行四边形． 证明：，， 是边上的中线， __________ 在和中 ， _____ 又， 四边形是平行四边形（_____） 19. 在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 20. 已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 22. 如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． （1）求证：； （2）如果，求的长． 23. 如图，在中是边上的高，是上一动点（不与点重合），设的长度为与的面积比为，的面积为． （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0．2） 24. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将该一次函数向下平移5个单位后其图象与轴交于点，与轴交于点，过点的直线与一次函数的图象在第二象限交于点． （1）求直线的函数解析式： （2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标． ②当点运动到线段的中点时，在平面内存在一点，使得以E、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形．请求出符合条件的点的坐标． 25. 如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． （1）若菱形的对角线．，求的长； （2）如图1，若，求证：； （3）如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $