精品解析：福建省部分学校2026届高三上学期9月开学考试数学试卷

高三9月数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数与解三角形､平面向量. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的终边过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ） A. 向右平移1个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向上平移1个单位长度 D. 向下平移1个单位长度 3. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“双曲线的离心率小于”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用花岗石砌建，风化后呈黑色，故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登攀，塔上浮雕佛像及碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚牢塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得m，在点测得塔顶的仰角为.取，则塔高约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 与不垂直 D. 当时，在方向上的投影向量为 10. 已知函数，则（ ） A. B. 当时，与在上的单调性相同 C. 当与的最大值相等时， D. 不论取何值，的图象总关于直线对称 11. 已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 13. 若曲线在坐标原点处的切线与曲线相切，则__________． 14. 蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，证明：为直角三角形. 16. 已知集合． （1）求的子集； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求函数的值域. 18. 如图，在周长为18的平面五边形中，. （1）若，用向量表示向量； （2）设，求五边形的面积关于的函数表达式； （3）当的面积取得最大值时，求的长. 19. 已知函数. （1）证明：. （2）若在上只有一个零点，求的取值范围. （3）设是的两个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三9月数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数与解三角形､平面向量. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的终边过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义直接可得. 【详解】因为角的终边过点，所以，，， 由三角函数定义，即. 故选：A 2. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ） A. 向右平移1个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向上平移1个单位长度 D. 向下平移1个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移的规律进行判断. 【详解】对于选项A，函数图象向右平移1个单位长度得，A选项错误. 对于选项B，函数图象向左平移1个单位长度得，B选项正确. 对于选项C，函数图象向上平移1个单位长度得，C选项错误. 对于选项D，函数图象向下平移1个单位长度得，D选项错误. 故选：B 3. 若为奇函数，当时，，则（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质结合题意可得答案. 【详解】因为为奇函数，时，, 所以. 故选：D 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过解绝对值不等式和根式不等式化简集合，再结合交集、并集的定义即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 5. “”是“双曲线的离心率小于”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据的单调性和，得到，再由双曲线的几何性质，列出不等式，得到，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】设，易得为单调递增函数，且， 所以不等式即，故可得， 若双曲线的离心率小于，因， 可得，解得， 因是的必要不充分条件， 故“”是“双曲线的离心率小于”的必要不充分条件. 故选：C. 6. 崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用花岗石砌建，风化后呈黑色，故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登攀，塔上浮雕佛像及碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚牢塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得m，在点测得塔顶的仰角为.取，则塔高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得，再由正切函数定义以及参考数据计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 则. 因为在点测得塔顶的仰角为，所以， 所以，故塔高约为. 故选：B 7. 已知函数满足，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法可得函数解析式，再根据导数即可得极大值点. 【详解】， 令，则， 即，则， 当时，， 当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为， 故选：A. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，. 【详解】因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 与不垂直 D. 当时，在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量共线计算可判断A，利用向量的模及基本不等式求解判断B，由数量积判断C，由投影向量的计算判断D. 【详解】若，则，即，此方程无实数解，A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，B正确； 因为，所以与不垂直，C正确； 当时，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. B. 当时，与在上的单调性相同 C. 当与的最大值相等时， D. 不论取何值，的图象总关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A计算即可判断，对于B先判断的单调性，再利用复合函数判断的单调性即可判断，对于C由 ，根据与的最大值相等，即可求，进而判断，对于D验证是否成立即可判断. 【详解】由题意有 对于A：，故A正确. 对于B：当时，在上先减后增，令，则， 又因为在上单调递减，在单调递减， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，故B错误. 对于C：， 当与的最大值相等时，且，得，故C正确. 对于D：因为， 所以不论取何值，的图象总关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为函数在R上单调递减， 所以. 因为， 所以函数是偶函数，它的图象关于纵轴对称，因此选项D不符合； 对于选项A：由函数的图象可知，不符合，故本选项不符合题意； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项B符合； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项C符合. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 13. 若曲线在坐标原点处的切线与曲线相切，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出在原点处的切线斜率和切线方程，再根据这条切线也是曲线的切线求出与的切点横坐标，从而可求出切点，将切点代入即可得到m的值． 【详解】∵， ∴曲线在坐标原点处的切线的斜率为， 则切线方程为， 则直线与曲线相切， 设切点的横坐标为， ∵， ∴，则， ∴切点为， 代入，得，解得， 故答案为：2． 14. 蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立适当平面直角坐标系，用坐标法求向量的数量积. 【详解】以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 则， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，证明：为直角三角形. 【答案】（1） （2） 证明：因为，由正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以， 由余弦定理， 得， 所以， 所以为直角，故为直角三角形. 【解析】 【分析】（1）结合两角和差的正切公式，利用角的拼凑即可求出； （2）利用正弦定理角化边，得到边的关系，再由（1）利用余弦定理得到进一步的关系，最后利用勾股定理证明直角三角形即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 16. 已知集合． （1）求的子集； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义即可求出答案. （2）根据题干分两种情况分类讨论并列式计算. 【小问1详解】 由题意得，则，的子集为． 【小问2详解】 当时，，得； 当时，，得或． 故的取值范围为． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图中对称轴与对称中心的差值与周期的关系，先求出，，再代入最高点求，注意范围； （2）根据正弦函数的性质，整体法求解单调区间即可； （3）利用两角和的正弦公式，化简出，再求值域即可. 【小问1详解】 由图可得，，则， 因为，所以，则， 将点的坐标代入解析式可得， 则，解得， 因为，所以， 则. 【小问2详解】 令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 ， 所以的值域为. 18. 如图，在周长为18的平面五边形中，. （1）若，用向量表示向量； （2）设，求五边形的面积关于的函数表达式； （3）当的面积取得最大值时，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接并延长交于点，可得为线段的中点，求得，利用向量的线性运算求解； （2）求出，由得的取值范围，由求得答案； （3）由（2）令，则，可得的面积为，利用导数求得最值. 【小问1详解】 取的中点，连接并延长交于点， 因为，所以，依题意可得，且为线段的中点. 若，则， 所以. 依题意可得，则. 【小问2详解】 若，则， 由图可知，，则，所以. 故五边形的面积 . 【小问3详解】 令，则， 则的面积为， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值，即取得最大值， 所以当的面积取得最大值时，的长为. 19. 已知函数. （1）证明：. （2）若在上只有一个零点，求的取值范围. （3）设是的两个零点，证明：. 【答案】（1） . 设，则， 当时，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 故，. （2） （3） 因为是的两个零点，所以， 则， 则， 因为，所以， 所以. 设，，则， 当时，，当时，， 所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导分析的单调性，进而求得的最大值，若最大值小于，即可证明. （2）将函数零点问题转化为方程的解的问题，将变形，构造函数，通过求导分析在上的单调性，极值以及极限情况，结合与直线的交点个数来确定的取值范围. （3）根据题意，，将这两个等式相加进行变形，结合基本不等式构造函数，分析与之间的关系，即可证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得， 设，则， 当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，在处取得极小值，且极小值为， ，当时，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $