第21章一元二次方程　同步自主达标测试题　2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分32分） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（   ） A．5 B．3 C． D． 4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(　 　) A． B． C．且 D．且 6．已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（       ） A．20 B．18 C．15 D．18或20 7．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分32分） 9．方程的解是 ． 10．实数，满足，则 ． 11．已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 12．已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为 ． 13．若两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，则m的值为 ． 14．设，是方程的两实数根，则 ． 15．已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 16．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 三、解答题（满分56分） 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 19．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 20．为进一步发展基础教育，自 2023年以来，某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费 7000万元，2025年投入教育经费 10080万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． (1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； (2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2026 年该县投入教育经费多少万元． 21．2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 22．某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．中，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意； C．中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查配方法，将常数项移到等号右边，等式两边同时加上一次项系数的一半进行配方即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选B． 3．B 【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 因式分解，得， ∴，， ∴，， ∴另一个根是3． 故选：B 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：． 5．D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，， 由题意知，第三边的长度需满足：第三边长度，即6＜第三边长度， ∴第三边的长度为8， 则这个三角形的周长为， 综上所述，只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 9．， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以该方程的解为：，． 10．3 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法．设，则方程化为：，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断的值即可． 【详解】解：设，则方程化为：， ， 或， 或， x、y是实数， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】根据题意得出，整体代入代数式，即可求解． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 先由根与系数的关系得到，则化为，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为3，， ∴，， ∴ ∴化为， 即， 解得：． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查一元二次方程的解，正确地理解题意是解题的关键．两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，可设相同实数根为，得到，①，②解方程组即可得到结论． 【详解】解：两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根， 可设相同实数根为， 得到，① ，② 得：， 当时，解得此时两方程相同，有两个相同实数根，不合题意舍去， 当时，解得， 将代入①，得， 解得，即m的值为2， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，矩形的性质，根据矩形性质可知方程有两个相等的实数根，再根据判别式等于零列式求解即可 【详解】解：，是矩形的对角线， ， ，是关于x的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故答案为： 16．10 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出，的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则，，根据图形知，根据勾股定理列出方程，解出即可． 【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， 解得． （2）解：∵， ∴， 解得． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式； （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后利用确定的值． 【详解】（1）解：该方程有两个实数根， ， 解得． 即的取值范围是； （2）解：该方程的两个实数根，， ，， ， 化简得， 解得，， ， 的值为5． 19．(1)见解析 (2)11或13 【分析】本题主要考查了根的判别式、等腰三角形的判定． （1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，分①当为腰长时；②当为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：周长为11或13． 20．(1)该县投入教育经费的年平均增长率为 (2)预算2026年该县投入教育经费12096万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为，根据2023年该县投入教育经费7000万元，2025年投入教育经费10080万元．该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，列出一元二次方程，解方程即可； （2）由年平均增长率直接计算即可． 【详解】（1）解：设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为， 由题意得：， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为； （2）解：由（1）得：年平均增长率为， 年该县投入教育经费为（万元）， 答：预算2026年该县投入教育经费12096万元． 21．(1) (2)当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，根据每增加1元，每天的销售数量将减少10件，每天的销售数量将减少10件列出代数式即可； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则每件的销售利润为元，每天可销售，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，可列出关于y的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元， 则当天销售量为件， 故答案为：； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（）， 则当天的销售量为件， 依题意，得：， 整理，得， 解得：． 答：当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元． 22．(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用和根的判别式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长，即可求解； （2）根据面积公式列出，然后即可求解； （3）根据题意列出方程，然后根据根的判别式的知识即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得或， 当时， ， 不符合题意， 舍去； 当时， ， 符合题意， ∴的长为； （3）解：不能，理由：由题意可得方程， ∴， ∵， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的实验田； 学科网（北京）股份有限公司 $