精品解析：山东省东营市利津县2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

九年级数学学科基础能力评估试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题90分；全卷共4页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A(﹣2，3)，则此图象一定经过下列哪个点（　　） A. (3，2) B. (﹣3，﹣2) C. (﹣3，2) D. (﹣2，﹣3) 3. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 6. 如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 7. 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 8. 在中，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 8 D. 10 9. 在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( ) A. n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. n mile 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，11-14每题3分，15-18题每题4分，共28分） 11. 当k________时，关于x的函数是反比例函数． 12. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 13. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为_________． 14. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积是，则的值是______． 16. 在中，，则的度数为_______． 17. 如图，若反比例函数与一次函数交于A，B两点，当时，则x的取值范围是________． 18. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号） 三、解答题：（本题共7小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 20. 已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 21. 已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 22. 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=2，b=6，解这个直角三角形． 23. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa． （3）若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？ 24. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进20米至B处，测得仰角为，求这栋楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 25. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科基础能力评估试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题90分；全卷共4页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数．需逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：选项A：，符合的形式，其中，是反比例函数，故本选项符合题意． 选项B：，可化简为，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，故本选项不符合题意． 选项C：，是正比例函数，不符合反比例函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，分母为，而非单独的，属于分式函数，但不是标准形式的反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A 2. 反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A(﹣2，3)，则此图象一定经过下列哪个点（　　） A. (3，2) B. (﹣3，﹣2) C. (﹣3，2) D. (﹣2，﹣3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（−2，3）， ∴k＝−2×3＝−6， A．−3×2＝6≠−6，图象不经过点（3，2）； B．−3×（−2）＝6≠−6，图象不经过点（−3，−2）； C．−3×2＝−6，图象经过点（−3，2）； D．−2×（−3）＝6≠−6，图象不经过点（−2，−3）； ∴C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据A点的坐标求出k值． 3. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解题． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴函数图象必在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 5. 关于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、由于，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、由于，图象在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，错误，符合题意； C、由，可得图象经过，正确，不符合题意； D、的图象关于直线对称，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，正确，不符合题意． 故选：B． 6. 如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，设，由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得其表达式为，将代入即可得到答案．读懂题意，利用待定系数法求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意，可设， 由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得，， ， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度是， 故选：C． 7. 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可． 【详解】解： 观察图像①可得，所以，①符合题意； 观察图像②可得，所以，②不符合题意； 观察图像③可得，所以，③不符合题意； 观察图像④可得，所以，④符合题意； 综上，其中符合的是①④， 故答案为：B． 【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限． 8. 在中，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 9. 在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．设，，，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：设，，， 在中，，， 扩大3倍后的三边为、、， 扩大3倍后的， 故选：A． 10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( ) A. n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. n mile 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长． 【详解】过C作CD⊥AB于D点， ∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴CD=AC•cos∠ACD=60×． 在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD=30， ∴AB=AD+BD=30+30． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile． 故选D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，11-14每题3分，15-18题每题4分，共28分） 11. 当k________时，关于x的函数是反比例函数． 【答案】## 【解析】 【分析】本剧反比例函数的定义解题即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键． 12. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴m2-2=-1， 解得m=1或-1， ∵图象在第二、四象限， ∴2m-1＜0， 解得m＜0.5， ∴m=-1， 故答案为-1． 【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0． 13. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出示意图，求出水平距离，再由坡度的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得，AB=10米，BC=米， 在Rt△ABC中，AC==（米）， 坡度==． 故答案为1：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用勾股定理求出AC，注意理解坡度的定义． 14. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的中心对称性即可求得点的坐标． 【详解】解：直线与双曲线交于点和点， 两点关于原点对称， ， 故答案为：． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，应用反比例函数的中心对称性是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积是， ∴， 故答案为：． 16. 在中，，则的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，若反比例函数与一次函数交于A，B两点，当时，则x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质．根据反比例函数与一次函数的图象性质分析判断即可； 【详解】解：观察图象可知，当时，则的取值范围是或； 故答案为：或． 18. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解. 【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA， ∵BC=6， ∴CE=， ∴DF=CE=， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义． 三、解答题：（本题共7小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值的混合运算， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），根据，再计算即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 21. 已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）k=3； （2）k＜1； （3）∵k=13，有k﹣1=12， ∴反比例函数的解析式为． 将点B的坐标代入，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数的图象上， 将点C的坐标代入，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k-1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【详解】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1=1×2， 解得k=3； （2）∵在函数图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）略 22. 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=2，b=6，解这个直角三角形． 【答案】c=4，∠A=30°，∠B=60° 【解析】 【分析】由题意可知，还需求c、∠A、∠B,在Rt△ABC中，由勾股定理求出c,再根据sinA＝，求出∠A，最后由∠B＝90－∠A求出∠B. 【详解】在Rt△ABC中， 由勾股定理得：c＝＝， sinA＝＝＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－30°＝60°. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理与角的正弦是解答本题的关键. 23. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa． （3）若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）100 （3）不少于 【解析】 【分析】(1) 设反比例函数的表达式为，将代入计算即可． (2)代入解析式计算即可． (3)代入解析式计算即可． 【小问1详解】 设反比例函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， 故答案为：100． 【小问3详解】 当时，， ∴为了安全起见，气体的体积应不少于． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 24. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进20米至B处，测得仰角为，求这栋楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】这栋楼的高度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键，设米，在直角中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设米，在直角中，， ∴， ∴米， 在直角中，， ∴， ∴米， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：这栋楼的高度约为米 25. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $