11.4整式的除法（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课　 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

本讲义聚焦整式除法的核心知识，系统构建从单项式除以单项式到多项式除以多项式的完整认知链条，前后衔接紧密，由浅入深地呈现运算规则、易错点辨析与解题策略，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的融合运用，如通过几何图形面积问题引导学生抽象出整式除法模型（数学眼光），借助“商×除式=被除式”验证结果强化逻辑推理能力（数学思维），并用科学记数法解决实际距离计算体现数学表达现实世界的能力（数学语言）。课中可辅助教师精准突破难点，课后便于学生查漏补缺，尤其适合用于分层教学与错题归因训练。

11.4整式的除法 【题型1】单项式除以单项式的基本运算 1. 知识点 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。 实质：将单项式除法转化为“有理数除法（系数部分）”和“同底数幂除法（字母部分）”的组合运算，结果仍为单项式。 2. 考点 直接计算不含符号的单项式除法（如 ）。 含负号的单项式除法（如 ）。 含多个字母的单项式除法（如 ）。 3. 易错点 系数相除时忽略符号（如将 算成 ，正确应为 ）。 遗漏“只在被除式中出现的字母”（如 漏写 ，正确应为 ）。 同底数幂除法指数计算错误（如 算成 ，正确应为 ）。 4. 解题技巧 分三步计算：① 先算系数相除（带符号）；② 再算同底数幂相除（指数相减）；③ 最后保留被除式独有的字母及指数。 计算后可通过“商除式=被除式”验证结果（如 ，与被除式一致则正确）。 【例题1】．（2024-2025•雁塔区校级三模）计算：（﹣3x2y）3÷（2x）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【解答】解：原式＝（﹣27x6y3）÷（2x）x5y3． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关的运算法则是关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•宝鸡校级二模）计算（﹣2xy）3÷（2x2y）结果正确的是（　　） A．4xy2 B．﹣4xy2 C．2x3y2 D．﹣2x3y2 【答案】B 【分析】先利用积的乘方法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣8x3y3÷（2x2y）＝﹣4xy2， 故选：B． 【点评】本题考查整式的除法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•陈仓区期末）计算6x3y6÷2xy2的结果正确的是（　　） A．3x2y4 B．3x3y4 C．12x4y8 D．3x3y3 【答案】A 【分析】利用单项式除以单项式的法则，进行计算即可解答． 【解答】解：原式x3﹣1•y6﹣2＝3x2y4． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•上蔡县三模）计算（x2y）3÷x3的结果是（　　） A．xy B．x2y3 C．x3y3 D．x4y3 【答案】C 【分析】先算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝x6y3÷x3＝x3y3， 故选：C． 【点评】本题考查整式的除法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型2】多项式除以单项式的基本运算 1. 知识点 多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 实质：将多项式除法转化为多个“单项式除以单项式”的运算，商的项数与原多项式的项数相同。 2. 考点 不含负号的多项式除法（如 ）。 含负号的多项式除法（如 ）。 含常数项的多项式除法（如 ）。 3. 易错点 漏除多项式中的某一项（如 漏除 $4x$，错得 ，正确应为 ）。 每一项除以单项式时符号错误（如 错得 ，正确应为 ）。 常数项除以单项式时计算错误（如 错得 ，正确应为 ，若为整数除法则需注意是否整除）。 4. 解题技巧 按“逐项除、再相加”的步骤计算：用多项式的每一项依次除以单项式，单独计算每一项的商，最后将所有商合并（注意符号）。 计算后通过“除式=被除式”验证（如 ，与被除式一致则正确）。 【例题2】．（2024-2025•峄城区校级月考）已知（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣4a2＝0且b＝2，则的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．2 【答案】A 【分析】计算过程中为使得计算简便应该先变形要求的整式．先通过整式的除法求出a，再变形要求的整式，最后代入具体值计算即得． 【解答】解：∵（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣4a2＝0， ∴3a（4a2﹣2a+1）÷3a﹣4a2＝0， ∴﹣2a+1＝0， ∴， ∵b＝2， ∴ab＝1， ∴原式 ． 故选：A． 【点评】本题考查整式的乘除法运算，熟练掌握整式的乘除法运算法则是解题的关键， 【变式题2-1】．（2024-2025•五华区期末）计算：（12x3﹣8x2+4x）÷（﹣4x）＝（　　） A．﹣3x2+2x B．﹣3x2﹣2x C．﹣3x2+2x﹣1 D．3x2﹣2x+1 【答案】C 【分析】根据多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（12x3﹣8x2+4x）÷（﹣4x） ＝﹣12x3÷4x+8x2÷4x﹣4x÷4x ＝﹣3x2+2x﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•乾县校级期末）计算：（3x2y+9xy2）÷3xy＝（　　） A．x+3y B．x+3xy C．x+xy D．x+3y2 【答案】A 【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：（3x2y+9xy2）÷3xy ＝3x2y÷3xy+9xy2÷3xy ＝x+3y， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•临海市期末）已知一个三角形的面积是x2y﹣xy2，一条边长为xy，则这条边上的高为（　　） A．y﹣x B．x﹣y C．2x﹣2y D．2y﹣2x 【答案】C 【分析】根据题意列式为2（x2y﹣xy2）÷xy，利用多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：2（x2y﹣xy2）÷xy ＝（2x2y﹣2xy2）÷xy ＝2x﹣2y， 即这条边上的高为2x﹣2y， 故选：C． 【点评】本题考查多项式除以单项式，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【题型3】多项式除以单项式中求被除式或除式 1. 知识点 除法逆运算：被除式 = 商 除式；除式 = 被除式商（适用于多项式与单项式的除法）。 核心：若 ，则反向可求被除式或除式。 2. 考点 已知商和除式求被除式（如已知商为 ，除式为 ，求被除式）。 已知被除式和商求除式（如已知被除式为 ，商为 ，求除式）。 含括号的多项式逆求（如已知 ，求括号内的被除式）。 3. 易错点 求被除式时漏乘某一项（如商为 ，除式为 2x，错得被除式 ，正确应为 ）。 求除式时，多项式的项数与商的项数不匹配（如被除式 ，商为 ，错得除式 3x，正确应为 ）。 符号处理错误（如已知被除式为 ，商为 2x，错得除式 ，正确应为 ，此处需注意符号一致性）。 4. 解题技巧 求被除式：用“商的每一项除式”，再将结果相加（即多项式乘单项式法则）； 求除式：用“被除式的每一项商的对应项”，再将结果相加（即多项式除以单项式法则）； 标注每一步的对应关系（如被除式的二次项对应商的一次项除式的一次项），避免漏项。 【例题3】．（2024-2025•兴平市期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（　　） A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2 【答案】D 【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【解答】解：小辰报的整式为（9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2）， 根据多项式除以单项式计算可得： （9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2） ＝﹣3x3y+2x2． 故选：D． 【点评】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•汝南县期末）已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【答案】B 【分析】根据被除式、除式、商之间的关系列出式子6x4y3÷2xy2，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：由题意得，6x4y3÷2xy2＝3x3y， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•龙文区校级期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 【答案】C 【分析】根据题意得到（x3﹣3x2+6x）÷x，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【解答】解：根据题意可知，（x3﹣3x2+6x）÷x＝x2﹣3x+6． 故选：C． 【点评】此题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•覃塘区期中）若□×xy＝2x2y+3xy，则□内应填的式子是（　　） A．2x+3 B．x+3 C．2xy+3 D．xy+3 【答案】A 【分析】根据题意列出式子（2x2y+3xy）÷xy，然后根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：根据题意得（2x2y+3xy）÷xy＝2x+3， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式法则是解题的关键． 【题型4】整式的混合运算 1. 知识点 运算顺序：先算乘方（积的乘方、幂的乘方），再算乘除（从左到右），最后算加减；有括号先算括号内的运算。 综合运用：结合单项式乘方、单项式除法、多项式除法，及乘法公式（平方差、完全平方）。 2. 考点 乘方+单项式除法（如 ）。 括号内多项式运算+除法（如 ）。 乘方+乘除混合（如 ）。 3. 易错点 运算顺序错误（如先算除法再算乘方，如 错算成 ，正确应为 ）。 乘方符号错误（如 错得 ，正确应为 ； 错得 ，正确应为 ）。 括号内运算不彻底（如 错算成 后漏算，正确应为 ）。 4. 解题技巧 按“运算顺序优先级”标注每一步的运算类型（如第一步：乘方；第二步：乘除；第三步：加减）； 复杂括号内的运算先单独展开（如用平方差公式展开 得 ，再进行后续运算）； 每一步运算后简化式子（合并同类项），避免式子过于复杂导致错误。 【例题4】．（2024-2025•渠县校级期末）计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 【答案】（1）； （2）2xy﹣2． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，以及乘方运算法则计算即可求出值； （2）原式括号中利用单项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷x2y ＝2x3y2÷x2y﹣2x2y÷x2y ＝2xy﹣2． 【点评】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，负整数指数幂．熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•渭滨区校级月考）已知A，B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣1）﹣2x2y2﹣xy+1，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”按样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）求A÷B的正确结果； （2）当xy＝2时，求A÷B的值． 【答案】（1）xy+1； （2）3． 【分析】（1）先根据平方差公式和合并同类项法则求出A，再根据A﹣B＝﹣x2y2，求出B，最后再列出算式，利用多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则求出A÷B即可； （2）把xy＝2代入（1）中所求的A÷B，进行计算即可． 【解答】解：A＝（xy+1）（xy﹣1）﹣2x2y2﹣xy+1 ＝x2y2﹣1﹣2x2y2+1﹣xy ＝x2y2﹣2x2y2+1﹣1﹣xy ＝﹣x2y2﹣xy， ∵A﹣B＝﹣x2y2， ﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2， ∴B＝﹣x2y2﹣xy+x2y2＝﹣xy， ∴A÷B ＝（﹣x2y2﹣xy）÷（﹣xy） ＝x2y2÷xy+xy÷xy ＝xy+1； （2）当xy＝2时， A÷B ＝xy+1 ＝2+1 ＝3． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握平方差公式、合并同类项法则、多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 【变式题4-2】．（2024-2025•榆次区期中）下面是小芳同学进行整式运算的过程，请仔细阅读，并完成相应任务． 化简：[x2+3y2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷y 解：原式＝[x2+3y2﹣（x2﹣4y2）]÷y……第①步 ＝（x2+3y2﹣x2﹣4y2）÷y……第②步 ＝﹣y2÷y……第③步 ＝﹣y……第④步 任务： （1）以上第①步中用到的整式乘法公式是 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　 （用字母表示公式）； （2）小芳同学的运算从第 　②　 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　去括号时，括号内第二项没有变号　 ； （3）请直接写出该整式运算的正确结果：　7y　 ． 【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）②，去括号时，括号内第二项没有变号； （3）7y． 【分析】（1）观察已知条件中的化简过程，根据平方差公式进行解答即可； （2）观察已知条件中的化简过程，找出错误步骤，指明原因即可； （3）写出正确的化简过程，求出答案即可． 【解答】解：（1）以上第①步中用到的整式乘法公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）小芳同学的运算从第②步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时，括号内第二项没有变号， 故答案为：②，去括号时，括号内第二项没有变号； （3）[x2+3y2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷y ＝（x2+3y2﹣x2+4y2）÷y ＝7y2÷y ＝7y， 故答案为：7y． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握平方差公式、多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和合并同类项法则． 【变式题4-3】．（2024-2025•安国市期中）阅读材料： 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如： 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 解决问题： （1）请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）用竖式计算求（5x2+3x﹣7）÷（x+2）的除式和商； （3）若多项式4x3+8x2﹣3x﹣9＝A×（x﹣1），则A＝ 　（2x+3）2　 ． 【答案】（1）2；﹣10x3﹣5x2；（2）3x﹣1；﹣5；（3）（2x+3）2． 【分析】（1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由4x3+8x2﹣3x﹣9＝A×（x﹣1），得A＝（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1），用竖式计算即可得到答案． 【解答】解：（1）（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1）＝3x3﹣5x2+2x﹣1， 故答案为：2；﹣10x3﹣5x2； （2）（3x2+5x﹣7）÷（x+2）＝3x﹣1…﹣5， 故答案为：3x﹣1；﹣5； （3）（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）＝4x2+12x+9， ∴4x3+8x2﹣3x﹣9＝（x﹣1）（4x2+12x+9）＝（2x+3）2， 故答案为：（2x+3）2． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． 【题型5】用科学记数法表示数的除法 1. 知识点 科学记数法形式：（其中 ， 为整数）； 除法法则：，结果需调整为标准科学记数法（确保 ）。 2. 考点 纯科学记数法除法（如 ）。 结合实际场景的计算（如太阳与地球距离 米，光速 米/秒，求光传播时间）。 结果验证（如飞机速度 千米/时，飞行距离 千米，求时间）。 3. 易错点 10的指数计算错误（如 错得 ，正确应为 ）； 系数除法后未调整为标准形式（如 ，未调整为 ）； 单位换算错误（如将千米与米混淆，导致指数偏差）。 4. 解题技巧 分两步计算：① 系数相除（）；② 10的指数相减（）； 若系数商 不符合 ，调整为标准形式（如 ，）； 实际场景中先明确物理量关系（如时间=距离速度），再代入科学记数法计算。 【例题5】．（2024-2025•礼泉县期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣8xy，12． 【分析】先根据完全平方公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解：原式＝4（x2﹣2xy+y2）+（﹣4x2﹣4y2） ＝4x2﹣8xy+4y2﹣4x2﹣4y2 ＝﹣8xy， 当时，原式． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，正确进行计算是解题关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•徐汇区校级期中）先化简，再求值：（3an+2+9an+1﹣an）÷（﹣6an），其中a＝﹣2（n为正整数）． 【答案】a2a，1． 【分析】先利用多项式除以单项式法则进行化简，再将a的值代入求出答案即可． 【解答】解：（3an+2+9an+1﹣an）÷（﹣6an） a2a， 当a＝﹣2时，原式（﹣2）21． 【点评】本题考查了整式的除法，牢记法则是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•五华县校级期末）先化简，再求值：[（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣2n）2]÷4n，其中m＝1，n． 【答案】﹣2n+m，原式＝2． 【分析】先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：[（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣2n）2]÷4n ＝（m2﹣4n2﹣m2+4mn﹣4n2）÷4n ＝（﹣8n2+4mn）÷4n ＝﹣2n+m， 当m＝1，n时，原式＝﹣2×（）+1＝1+1＝2． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式题5-3】．先化简，再求值： （1）[（﹣34x4y6z）÷17y4]，其中x＝1，y，z＝3． （2）16（a+b）6（a﹣b）5÷[2（a+b）3（a﹣b）]2，其中a＝﹣2，b＝﹣1． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝（﹣2x4y2z）÷（x3y2） xz， 当x＝1，y，z＝3时， 原式1×3＝8； （2）原式＝16（a+b）6（a﹣b）5÷[4（a+b）6（a﹣b）2] ＝4（a﹣b）3， 当a＝﹣2，b＝﹣1时， ∴原式＝4×（﹣1）3 ＝﹣4； 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 【题型6】整式除法中的化简求值 1. 知识点 步骤：先根据整式除法法则（及乘法公式）化简代数式，再将已知字母的值代入化简后的式子计算结果。 核心：化简是关键，需将代数式化为最简形式（不含除法运算，合并同类项），再代入数值可减少计算量。 2. 考点 单项式除法化简求值（如化简 ，再代入 ）。 多项式除法+乘法公式化简求值（如化简 ，再代入 ）。 整体代入求值（如已知 ，化简 后整体代入）。 3. 易错点 化简时符号错误（如 错得 ，正确应为 ，因 ）。 代入数值时计算错误（如代入 时， 错得 ，正确应为 ）。 未彻底化简就代入（如 未化简为 ，直接代入导致计算复杂）。 4. 解题技巧 化简步骤：先展开（乘法公式）合并同类项除法运算再合并同类项（确保最简）； 代入技巧：若已知条件为代数式（如 ），可将化简后的式子凑出该代数式（如 ），整体代入； 代入负数或分数时，加括号避免符号错误（如 代入 $2x$ 得 ，而非 ）。 【例题6】．（2024-2025•万柏林区月考）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为1.5×108km，光在真空中的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球大约需要 　5×102　 s． 【答案】5×102． 【分析】根据题意列式计算后将结果利用科学记数法表示出来即可． 【解答】解：1.5×108÷3×105 ＝0.5×103 ＝5×102（s）， 即太阳光照射到地球大约需要5×102s， 故答案为：5×102． 【点评】本题考查有理数的混合运算，科学记数法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•禅城区校级期中）一个大正方体容器的棱长为0.6m，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为2×10﹣2m．将大正方体容器的水全部倒出，能装满　2.7×104　 个小立方体容器．（用科学记数法表示） 【答案】2.7×104． 【分析】根据题意列式计算后将结果利用科学记数法表示出来即可． 【解答】解：（0.6×0.6×0.6）÷（2×10﹣2×2×10﹣2×2×10﹣2） ＝2.16×10﹣1÷（8×10﹣6） ＝0.27×105 ＝2.7×104， 故答案为：2.7×104． 【点评】本题考查有理数的混合运算，科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•郏县期中）某银行2022年新增居民存款6千万元人民币． （1）经测量，100张面值为100元的崭新人民币大约厚0.9厘米，如果将面值为100元的6千万元崭新人民币摞起来，大约有多高？ （2）一位出纳员数钱的速度是1.58×104张/时，按每天数2小时计算，如果让这位出纳员数一遍面值为100元的6千万元崭新人民币，她大约要数多少天？（结果保留整数） 【答案】（1）大约有5.4×103（cm）； （2）她大约要数19天． 【分析】（1）根据题意列出算式6×107÷100×0.9，计算即可； （2）用总的张数除以每天数的张数列式6×107÷（2×1.58×104）计算即可． 【解答】解：（1）∵6千万＝60000000＝6×107， ∴6千万元的总张数为6×107÷100＝6×105（张）， 6×105÷100×0.9＝5.4×103（cm）． 大约有5.4×103（cm）； （2）6×105÷（2×1.58×104）≈19天． 答：她大约要数19天． 【点评】本题考查科学记数法，正确记忆科学记数法的特征是解题关键． 【变式题6-3】（2024-2025•亳州期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费1.55×106立方米木材，若木材利用率为60%，则耗费木材2.58×106立方米．一棵生长了20年的大树相当于0.8立方米的木材． （1）1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） （2）2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】（1）3.49×104（双）；（2）3.225×106（棵）． 【分析】（1）根据消费一次性筷子900亿双，耗费木材2.58×106列式计算即可； （2）根据消费一次性筷子900亿双，耗费木材2.58×106和一颗生长了20年的大树相当于0.8立方米的木材列式计算即可． 【解答】解：（1）900亿＝9×1010÷（2.58×106）≈3.49×104（双）， 答：1立方米的木材约能生产 3.49×104 双一次性筷子． （2）2.58×106÷0.8＝3.225×106（棵）， 答：要砍伐 3.225×106 棵生长了20年的大树． 【点评】本题考查了科学记数法和有效数字，科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤‖a‖＜10，n为整数． 【题型7】利用整式的除法求参数值 1. 知识点 核心逻辑：以整式除法为桥梁，结合“错算结果逆推”“因式分解”“整式化简”等手段，建立与参数（如字母、代数式值等）相关的等式，进而求解参数。 关键关联运算：需融合整式除法法则（单项式/多项式除法）、乘法公式（如平方差公式）、因式分解（如分解为），且常涉及“除号与减号错用”的逆推场景（如误算求，再用关联参数）、。 参数求解本质：通过化简含除法的代数式，将已知条件（如输出结果、方程、正整数限制）转化为关于参数的一元方程或二元方程组，最终解出参数。 2. 考点 考点1：错算运算符号（÷变-）逆推除式参数，再用除法求关联参数。如已知，误算，先求除式（参数相关），再通过化简式，结合求参数关联值。 考点2：因式分解+整式除法求参数表达式值。 3. 解题技巧 技巧1：逆推法（错算场景）。若除号抄成减号，先根据“错算结果=被除式-除式”逆推除式（如），再通过整式除法化简A÷B，建立于参数的关联。 【例题7】．（2024-2025•奉贤区期中）已知7a3bm÷14anb2b2，那么m、n的取值依次为（　　） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【分析】先根据单项式除以单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值． 【解答】解：∵7a3bm÷14anb2a3﹣nbm﹣2， ∴3﹣n＝0，m﹣2＝2， 解得：m＝4，n＝3． 故选：B． 【点评】本题主要考查整式的除法，单项式除以单项式的法则：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．其中根据相同字母的次数相同列出方程是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•拱墅区校级月考）若x3﹣3kx2﹣kx被2x+1除后余3，那么k＝　4　 ． 【答案】4． 【分析】依据题意设商为，利用被除式＝除式×商+余式，列出算式，利用对应系数相同得到方程组解方程组即可求得结论． 【解答】解：设商为， ∴x3﹣3kx2﹣kx（2x+1）（）． ∴x3﹣3kx2﹣kxx3+（2b）x2+（b+2c）x+c+3． ∴． 解得：． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了整式的除法，利用被除＝除式×商+余式，列出算式是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025••诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给出的定义进行整式的相关运算，求出k的值． 【解答】解：由题意可令（x﹣3）（x+a）＝x2+kx﹣7， ∴x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2+kx﹣7， ∴﹣3a＝﹣7，a， a﹣3＝k，k3． 故选：B． 【点评】考查了新定义下的整式混合运算，关键要读懂新定义，会准确的整式混合运算． 【变式题7-3】．（2024-2025•汉阳区校级月考）阅读下列材料： ∵（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，∴（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3；这说明x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明多项式x2+x﹣6有一个因式为x﹣2；另外，当x＝2时，多项式x2+x﹣6的值为零． 回答下列问题： （1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式（x﹣2）、多项式能被（x﹣2）整除，这之间存在着一种什么样的联系？ （2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，那么M与代数式（x﹣k）之间有何种关系？ （3）应用：利用上面的结果求解，已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，求k． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意和多项式有因式x﹣2，说明多项式能被x﹣2整除，当x＝2时，多项式的值为0； （2）根据（1）得出的关系，能直接写出当x＝k时，M的值为0，M与代数式x﹣k之间的关系； （3）根据上面得出的结论，当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，再求出k的值即可． 【解答】解：（1）多项式有因式x﹣2，说明此多项式能被x﹣2整除，另外，当x＝2时，此多项式的值为零； （2）根据（1）得出的关系，得出M能被（x﹣k）整除； （3）∵x﹣2能整除x2+kx﹣14， ∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0， 当x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0， 解得：k＝5． 【点评】此题考查了整式的除法，是一道推理题，要掌握好整式的除法法则是解题的关键． 【题型8】整式除法与几何图形的应用 1. 知识点 1、几何公式2、结合整式：几何量用整式表示时，未知量通过整式除法求解。 2. 考点 长方形面积求边长 组合图形面积求未知量（如长方形减去正方形后面积为 ，已知一边长为 ，求另一边长）。 3. 易错点 几何公式记忆错误（如将圆柱体积公式记为“侧面积\times 高”，正确应为“底面积\times 高”）； 整式除法计算错误（如面积 ，长为 $2x$，错得宽 ，正确应为 ）； 忽略图形中的“重叠部分”或“空缺部分”（如无盖纸盒体积计算时，漏减空缺部分的体积）。 4. 解题技巧 第一步：明确所求几何量对应的公式（如求宽用“宽=面积 长”）； 第二步：将已知几何量用整式表示，代入公式列出除法算式； 第三步：按整式除法法则计算，结果需标注单位（若题目给出单位）。 【例题8】．（2024-2025•青山区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（　　） A． B．a﹣b C． D．a+b 【答案】C 【分析】用长方形的面积除以长可得． 【解答】解：（a2+ab+ab+b2）÷2（a+b）． 故选：C． 【点评】本题考查了整式除法的应用．熟练掌握运算法则是关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•秦都区校级月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以2x2的商为3x+4，余式为x﹣1，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数＝除数×商+余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商+余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式A； （2）小明继续探索，已知关于x的多项式6x2+mx+n除以（2x+1）的商为（3x﹣4），余式为2x，请你根据以上法则，分别求出m、n的值． 【答案】（1）6x3+8x2+x﹣1； （2）m＝﹣3，n＝﹣4． 【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可． 【解答】解：（1）A＝（3x+4）（2x2）+x﹣1＝6x3+8x2+x﹣1； （2）根据题意得，6x2+mx+n ＝（2x+1）•（3x﹣4）+2x ＝6x2﹣3x﹣4， 所以m＝﹣3，n＝﹣4． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•靖江市校级期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（2x2+3x﹣9）÷（x+3）＝　2x﹣3　 ． （2）（x3+4x2+5x﹣6）÷（x+2）的商是 　x2+2x+1　 ，余式是 　﹣8　 ． （3）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）．另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长（用只含有x的代数式表示）． 【答案】（1）2x﹣3； （2）x2+2x+1，﹣8； （3）a＝2x﹣6，3x﹣14． 【分析】（1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【解答】解：（1）用竖式进行计算： 故答案为：2x﹣3； （2）用竖式进行计算： 故答案为：x2+2x+1，﹣8； （3）长方形A的周长为：2（x+2+x﹣2）＝4x， 长方形B的周长为：2（x﹣2+a+x+2+6）＝4x+2a+12 ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12＝8x， ∴a＝2x﹣6， ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x﹣2+2x﹣6）＝（x+8）（3x﹣8）＝3x2+16x﹣64， ∴长方形C的面积为：3x2+16x﹣64﹣76＝3x2+16x﹣140， ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x﹣140）÷（x+10）＝3x﹣14， ∴长方形C的另一边长为：3x﹣14． 【点评】本题主要考查整式的除法，根据题意找出规律是解决此题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•海州区期中）【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴278÷12＝23…2，∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3，∵余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除． 根据阅读材料，请解答下列问题： （1）（x2+6x+5）÷（x+1）＝　x+5　 ； （2）求（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4），所得的余式； （3）已知x3﹣x2+ax+3能被x+3整除，则a＝　﹣11　 ； （4）如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为（a+5b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）x+5；（2）4x﹣5；（3）﹣11；（4）能，3a+b． 【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）列竖式进行计算，求出商式和余式即可； （3）列竖式进行计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到24张卡片的总面积是：3a2+16ab+5b2，列式计算，根据长方形的面积＝长×宽，求出另一边的边长． 【解答】解：（1）如图： （x2+6x+5）÷（x+1）＝x+5； 故答案为：x+5． （2）如图： 即（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4）＝2x+6……4x﹣5 所得的余式是4x﹣5． （3）列竖式如下： 因为x3﹣x2+ax+3能被x+3整除， 所以3﹣3（a+12）＝0， 得a＝﹣11． 故答案为：﹣11． （4）能． 24张卡片拼成的长方形的面积是： 3a2+16ab+5b2； 因为一边长为（a+5b）， 另一边长是：（3a2+16ab+5b2）÷（a+5b）＝3a+b． 【点评】本题考查了多项式除以多项式，整式的除法，解决本题的关键是注意同类项的对应． 【题型9】整式除法有关的阅读理解题 【例题9】．（2024-2025•哈尔滨一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝nm﹣m÷n（m，n均为整数，且m≠0）．例：，则（﹣2）*2＝ 　　 ． 【答案】． 【分析】根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可． 【解答】解：∵m*n＝nm﹣m÷n， ∴（﹣2）*2 ＝2﹣2﹣（﹣2）÷2 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解已知条件中的新定义． 【变式题9-1】．定义：f（x）＝8x5﹣12x3+10x2． （1）若M（x）＝f（x）÷（﹣2x2），求M（x）的值． （2）求M（﹣1）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加，可得答案； （2）根据代数式求值，可得答案． 【解答】解：（1）M（x）＝f（x）÷（﹣2x2） ＝（8x5﹣12x3+10x2）÷（﹣2x2） ＝﹣4x3+6x﹣5； （2）当x＝1时，M（1）＝﹣4×13+6×1﹣5＝﹣3． 【点评】本题考查了整式的除法，多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加． 【变式题9-2】．（2024-2025•锦江区校级期中）阅读材料：【材料1】将关于x的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如：f（x）＝2x2﹣x+1，当x＝3时，该多项式的值为f（3）＝2×32﹣3+1＝16．【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14．根据以上材料回答问题：已知多项式f（x）＝x2﹣2x﹣1，则f（﹣2）＝　7　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于 　23　 ；已知多项式f（x）＝mx2+nx+5（m、n为常数），若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为7，f（x）除以（x+1）时所得余数为3，则m2﹣n2的值为 　﹣4　 ． 【答案】7；23；﹣4． 【分析】根据材料1与2的定义即可求出答案．由题意可知：f（1）＝m+n+5＝7，f（﹣1）＝m﹣n+5＝3，列出方程组解出m+n与m﹣n的值即可求出答案． 【解答】解：依题意，∵f（x）＝x2﹣2x﹣1， ∴f（﹣2）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1＝4+4﹣1＝7； 依题意，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于f（6）＝（6）2﹣2×6﹣1＝23； ∵依题意，f（x）除以（x﹣1）时所得余数为f（1）＝m+n+5＝7， f（x）除以（x+1）时所得余数为f（﹣1）＝m﹣n+5＝3， ∴， ∴， ∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×（﹣2）＝﹣4． 故答案为：7，23，﹣4 【点评】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解题意，本题属于基础题型． 【变式题9-3】．（2024-2025•雁塔区校级月考）阅读材料： 【材料1】将关于a的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如，f（x）＝3x2﹣2x+4，当x＝﹣2时，该多项式的值为f（﹣2）＝3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）+4＝20． 【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14． 根据以上材料回答下列问题： （1）已知多项式f（x）＝x2﹣5x+7，则f（﹣2）＝　21　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于 　13　 ； （2）已知多项式f（x）＝ax2+bx﹣3，若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为3，f（x）除以（x+1）时所得余数为7，求a2﹣b2的值； （3）求多项式f（y）＝（y2+2y﹣4）2+（2y2+4y+1）2除以（y2+2y﹣2）所得的余数． 【答案】（1）21，13； （2）60； （3）29． 【分析】（1）根据材料1与2的定义即可求出答案． （2）由题意可知：f（1）＝3，f（﹣1）＝7，列出方程组解出a+b与a﹣b的值即可求出答案． （3）令x＝y2+2y，所以多项式（y2+2y﹣4）2+（2y2+4y+1）2除以（y2+2y﹣2）所得的余数相当于f（x）除以（x﹣2）所得的余数，求出f（2）即可得出答案． 【解答】解：（1）f（﹣2）＝4+10+7＝21， ＝36﹣30+7＝13； 故答案为：21；13． （2）由题意可知：f（1）＝3，f（﹣1）＝7， ∴， ∴a+b＝6，a﹣b＝10， ∴原式＝（a﹣b）（a+b）＝60； （3）令x＝y2+2y， ∴f（x）＝（x﹣4）2+（2x+1）2， ∴多项式（y2+2y﹣4）2+（2y2+4y+1）2除以（y2+2y﹣2）所得的余数相当于f（x）除以（x﹣2）所得的余数， ∵f（2）＝29， ∴多项式（y2+2y﹣4）2+（2y2+4y+1）2除以（y2+2y﹣2）所得的余数是29． 【点评】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解题意，本题属于基础题型． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 答案 C C B B 一．选择题（共4小题） 1．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（2a）2＝4a2 D．6a÷3a＝2a 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法的性质，对各个选项逐一计算，即可完成求解． 【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a2×3＝a6，故此选项不符合题意； C、（2a）2＝4a2，故此选项符合题意； D、6a÷3a＝2，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．计算：（﹣3x2y）3÷（2x）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【解答】解：原式＝（﹣27x6y3）÷（2x）x5y3． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关的运算法则是关键． 3．下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据单项式除法法则：系数相除作系数，相同字母根据同底数幂除法运算，多项式除以单项的除法法则：用每一个单项式除以单项式求解即可得到答案． 【解答】解：对于A，4x2y4xy＝16xy3，故①错误，不符合题意； 对于B，16a6b4c÷8a3b2＝2a3b2c，故②错误，不符合题意； 对于C，9x8y2÷3x3y＝3x5y，故③正确，符合题意； 对于D，（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝12m3÷（﹣2m）+8m2÷（﹣2m）+（﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2﹣4m+2，故④错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法运算，解决本题的关键是运用整式的计算法则计算． 4．已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【答案】B 【分析】根据被除式、除式、商之间的关系列出式子6x4y3÷2xy2，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：由题意得，6x4y3÷2xy2＝3x3y， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 5．计算：28x4y2÷7x4y＝　4y　 ． 【答案】4y． 【分析】利用单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝28x4y2÷7x4y＝4y， 故答案为：4y． 【点评】本题考查整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．如图，乐乐的作业本不小心被墨水遮住了一部分，留下一道残缺不全的题目，请你帮他推测出括号内被遮住的内容是　x2+1.5x﹣4　 ． 【答案】x2+1.5x﹣4． 【分析】根据题意列式为（2x3+3x2﹣8x）÷2x，将其计算即可． 【解答】解：（2x3+3x2﹣8x）÷2x＝x2+1.5x﹣4， 即括号内被遮住的内容是x2+1.5x﹣4， 故答案为：x2+1.5x﹣4． 【点评】本题考查整式的除法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 7．长方形的面积是6a2﹣3ab．若一边长是3a，则另一边长是 　2a﹣b　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先列式再计算即可． 【解答】解：（6a2﹣3ab）÷3a＝2a﹣b， 故另一边长是2a﹣b， 故答案为：2a﹣b． 【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是掌握整式是除法法则． 8．已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+21x3y3﹣7x3y2，则这个多项式是　4x+3y﹣1　 ． 【答案】4x+3y﹣1． 【分析】根据题意列出算式（28x4y2+21x3y3﹣7x3y2）÷7x3y2，然后根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【解答】解：根据题意得（28x4y2+21x3y3﹣7x3y2）÷7x3y2 ＝28x4y2÷7x3y2+21x3y3÷7x3y2﹣7x3y2÷7x3y2 ＝4x+3y﹣1， 即这个多项式是4x+3y﹣1， 故答案为：4x+3y﹣1． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 9．计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 【答案】（1）； （2）2xy﹣2． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，以及乘方运算法则计算即可求出值； （2）原式括号中利用单项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷x2y ＝2x3y2÷x2y﹣2x2y÷x2y ＝2xy﹣2． 【点评】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，负整数指数幂．熟练掌握以上知识点是关键． 10．已知某长方形的面积是6a2﹣8ab+2a，它的一边长为2a，求此长方形的周长． 【答案】10a﹣8b+2． 【分析】根据长方形面积先求出长方形的另外一条边长，然后再求出周长即可． 【解答】解：长方形的另一边长为：（6a2﹣8ab+2a）÷（2a）＝3a﹣4b+1， 故长方形的周长为：（2a+3a﹣4b+1）×2＝10a﹣8b+2． 【点评】本题主要考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 11．小红在做课后作业时，发现一道如下的三项式除以单项式的运算题被墨水弄污了，你能算出这两项被弄污的内容是什么吗？ （21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y． 【答案】被除式的第二项35x3y2；商的第一项﹣3x2y2． 【分析】多项式除以单项式，用多项式的每一个项分别除以单项式；再按照单项式的除法法则：数字与数字相除，相同字母的进行相除，对于只在被除数中拥有的字母包括字母的指数一起写在商里．由此可知商的第一项是21x4y3÷（﹣7x2y）＝；被除式的第二项﹣÷（﹣7x2y）＝5xy；进一步计算得出结论即可． 【解答】解：商的第一项＝21x4y3÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2； 被除式的第二项＝﹣（﹣7x2y）×5xy＝35x3y2． 【点评】此题考查多项式除以单项式，单项式与单项式的乘除运算方法等知识点，熟练掌握相关知识点是关键． 12．已知，且一个多项式与2x2myn的乘积等于2x3y2﹣6x2y3+4xy2，求这个多项式． 【答案】x2﹣3xy+2． 【分析】根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0求出m，n的值；求出2x2myn＝2xy2，再进行整式的除法即可． 【解答】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴2x2myn＝2xy2， ∴（2x3y2﹣6x2y3+4xy2）÷2xy2＝x2﹣3xy+2． 【点评】本题主要考查非负数的性质和整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式． （2）求整式B． 【答案】（1）﹣x2y2﹣xy； （2）B＝﹣xy． 【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据题意可得A﹣B＝﹣x2y2，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可； 【解答】解：（1）A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2 ＝x2y2﹣2xy+xy﹣2﹣2x2y2+2 ＝﹣x2y2﹣xy； （2）由题意，得A﹣B＝﹣x2y2， 由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， ∴﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2， ∴B＝﹣xy． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 14．如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+7，面积为S1；乙正方形的边长为m+4，面积为S2．（其中m为正整数） （1）请用含m的式子分别表示S1，S2；当m＝1时，求S1+S2的值； （2）比较S1与S2的大小，并说明理由． 【答案】（1）； ；41；（2）S1＜S2，理由见解析． 【分析】（1）根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算即可，根据代数式的值计算求解即可； （2）利用作差法计算比较即可． 【解答】解：（1）∵长方形的两边长分别为m+1，m+7，面积为S1， ∴S1＝（m+1）（m+7） ＝m2+7m+m+7 ＝m2+8m+7， ∵乙正方形的边长为m+4，面积为S2， ∴， ∴ ＝2m2+16m+23， 当m＝1时， S1+S2＝2+16+23＝41； （2）∵，， ∴ ＝m2+8m+7﹣m2﹣8m﹣16 ＝﹣9＜0， ∴S1＜S2． 【点评】本题考查了正式的除法，多项式乘以多项式，完全平方公式，掌握相应的定义是关键． 15．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：． （1）求所捂的多项式； （2）若x＝2，y＝3，求所捂多项式的值． 【答案】（1）﹣6x+y﹣1； （2）﹣7． 【分析】（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把x＝2，y＝3代入（1）所求结果中计算求解即可． 【解答】解：（1）6x+2y﹣1， ∴所捂的多项式为﹣6x+2y﹣1； （2）当x＝2，y＝3时，﹣6x+2y﹣1＝﹣6×2+2×3﹣1＝﹣7． 【点评】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（2x2+3x﹣9）÷（x+3）＝　2x﹣3　 ． （2）（x3+4x2+5x﹣6）÷（x+2）的商是 　x2+2x+1　 ，余式是 　﹣8　 ． （3）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）．另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长（用只含有x的代数式表示）． 【答案】（1）2x﹣3； （2）x2+2x+1，﹣8； （3）a＝2x﹣6，3x﹣14． 【分析】（1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【解答】解：（1）用竖式进行计算： 故答案为：2x﹣3； （2）用竖式进行计算： 故答案为：x2+2x+1，﹣8； （3）长方形A的周长为：2（x+2+x﹣2）＝4x， 长方形B的周长为：2（x﹣2+a+x+2+6）＝4x+2a+12 ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12＝8x， ∴a＝2x﹣6， ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x﹣2+2x﹣6）＝（x+8）（3x﹣8）＝3x2+16x﹣64， ∴长方形C的面积为：3x2+16x﹣64﹣76＝3x2+16x﹣140， ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x﹣140）÷（x+10）＝3x﹣14， ∴长方形C的另一边长为：3x﹣14． 【点评】本题主要考查整式的除法，根据题意找出规律是解决此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4整式的除法 【题型1】单项式除以单项式的基本运算 1. 知识点 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。 实质：将单项式除法转化为“有理数除法（系数部分）”和“同底数幂除法（字母部分）”的组合运算，结果仍为单项式。 2. 考点 直接计算不含符号的单项式除法（如 ）。 含负号的单项式除法（如 ）。 含多个字母的单项式除法（如 ）。 3. 易错点 系数相除时忽略符号（如将 算成 ，正确应为 ）。 遗漏“只在被除式中出现的字母”（如 漏写 ，正确应为 ）。 同底数幂除法指数计算错误（如 算成 ，正确应为 ）。 4. 解题技巧 分三步计算：① 先算系数相除（带符号）；② 再算同底数幂相除（指数相减）；③ 最后保留被除式独有的字母及指数。 计算后可通过“商除式=被除式”验证结果（如 ，与被除式一致则正确）。 【例题1】．（2024-2025•雁塔区校级三模）计算：（﹣3x2y）3÷（2x）＝（　　） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（2024-2025•宝鸡校级二模）计算（﹣2xy）3÷（2x2y）结果正确的是（　　） A．4xy2 B．﹣4xy2 C．2x3y2 D．﹣2x3y2 【变式题1-2】．（2024-2025•陈仓区期末）计算6x3y6÷2xy2的结果正确的是（　　） A．3x2y4 B．3x3y4 C．12x4y8 D．3x3y3 【变式题1-3】．（2024-2025•上蔡县三模）计算（x2y）3÷x3的结果是（　　） A．xy B．x2y3 C．x3y3 D．x4y3 【题型2】多项式除以单项式的基本运算 1. 知识点 多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 实质：将多项式除法转化为多个“单项式除以单项式”的运算，商的项数与原多项式的项数相同。 2. 考点 不含负号的多项式除法（如 ）。 含负号的多项式除法（如 ）。 含常数项的多项式除法（如 ）。 3. 易错点 漏除多项式中的某一项（如 漏除 $4x$，错得 ，正确应为 ）。 每一项除以单项式时符号错误（如 错得 ，正确应为 ）。 常数项除以单项式时计算错误（如 错得 ，正确应为 ，若为整数除法则需注意是否整除）。 4. 解题技巧 按“逐项除、再相加”的步骤计算：用多项式的每一项依次除以单项式，单独计算每一项的商，最后将所有商合并（注意符号）。 计算后通过“除式=被除式”验证（如 ，与被除式一致则正确）。 【例题2】．（2024-2025•峄城区校级月考）已知（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣4a2＝0且b＝2，则的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．2 【变式题2-1】．（2024-2025•五华区期末）计算：（12x3﹣8x2+4x）÷（﹣4x）＝（　　） A．﹣3x2+2x B．﹣3x2﹣2x C．﹣3x2+2x﹣1 D．3x2﹣2x+1 【变式题2-2】．（2024-2025•乾县校级期末）计算：（3x2y+9xy2）÷3xy＝（　　） A．x+3y B．x+3xy C．x+xy D．x+3y2 【变式题2-3】．（2024-2025•临海市期末）已知一个三角形的面积是x2y﹣xy2，一条边长为xy，则这条边上的高为（　　） A．y﹣x B．x﹣y C．2x﹣2y D．2y﹣2x 【题型3】多项式除以单项式中求被除式或除式 1. 知识点 除法逆运算：被除式 = 商 除式；除式 = 被除式商（适用于多项式与单项式的除法）。 核心：若 ，则反向可求被除式或除式。 2. 考点 已知商和除式求被除式（如已知商为 ，除式为 ，求被除式）。 已知被除式和商求除式（如已知被除式为 ，商为 ，求除式）。 含括号的多项式逆求（如已知 ，求括号内的被除式）。 3. 易错点 求被除式时漏乘某一项（如商为 ，除式为 2x，错得被除式 ，正确应为 ）。 求除式时，多项式的项数与商的项数不匹配（如被除式 ，商为 ，错得除式 3x，正确应为 ）。 符号处理错误（如已知被除式为 ，商为 2x，错得除式 ，正确应为 ，此处需注意符号一致性）。 4. 解题技巧 求被除式：用“商的每一项除式”，再将结果相加（即多项式乘单项式法则）； 求除式：用“被除式的每一项商的对应项”，再将结果相加（即多项式除以单项式法则）； 标注每一步的对应关系（如被除式的二次项对应商的一次项除式的一次项），避免漏项。 【例题3】．（2024-2025•兴平市期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（　　） A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2 【变式题3-1】．（2024-2025•汝南县期末）已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【变式题3-2】．（2024-2025•龙文区校级期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 【变式题3-3】．（2024-2025•覃塘区期中）若□×xy＝2x2y+3xy，则□内应填的式子是（　　） A．2x+3 B．x+3 C．2xy+3 D．xy+3 【题型4】整式的混合运算 1. 知识点 运算顺序：先算乘方（积的乘方、幂的乘方），再算乘除（从左到右），最后算加减；有括号先算括号内的运算。 综合运用：结合单项式乘方、单项式除法、多项式除法，及乘法公式（平方差、完全平方）。 2. 考点 乘方+单项式除法（如 ）。 括号内多项式运算+除法（如 ）。 乘方+乘除混合（如 ）。 3. 易错点 运算顺序错误（如先算除法再算乘方，如 错算成 ，正确应为 ）。 乘方符号错误（如 错得 ，正确应为 ； 错得 ，正确应为 ）。 括号内运算不彻底（如 错算成 后漏算，正确应为 ）。 4. 解题技巧 按“运算顺序优先级”标注每一步的运算类型（如第一步：乘方；第二步：乘除；第三步：加减）； 复杂括号内的运算先单独展开（如用平方差公式展开 得 ，再进行后续运算）； 每一步运算后简化式子（合并同类项），避免式子过于复杂导致错误。 【例题4】．（2024-2025•渠县校级期末）计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 【变式题4-1】．（2024-2025•渭滨区校级月考）已知A，B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣1）﹣2x2y2﹣xy+1，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”按样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）求A÷B的正确结果； （2）当xy＝2时，求A÷B的值． 【变式题4-2】．（2024-2025•榆次区期中）下面是小芳同学进行整式运算的过程，请仔细阅读，并完成相应任务． 化简：[x2+3y2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷y 解：原式＝[x2+3y2﹣（x2﹣4y2）]÷y……第①步 ＝（x2+3y2﹣x2﹣4y2）÷y……第②步 ＝﹣y2÷y……第③步 ＝﹣y……第④步 任务： （1）以上第①步中用到的整式乘法公式是 　 　 （用字母表示公式）； （2）小芳同学的运算从第 　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　 ； （3）请直接写出该整式运算的正确结果：　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•安国市期中）阅读材料： 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如： 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 解决问题： （1）请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）用竖式计算求（5x2+3x﹣7）÷（x+2）的除式和商； （3）若多项式4x3+8x2﹣3x﹣9＝A×（x﹣1），则A＝ 　 　 ． 【题型5】用科学记数法表示数的除法 1. 知识点 科学记数法形式：（其中 ， 为整数）； 除法法则：，结果需调整为标准科学记数法（确保 ）。 2. 考点 纯科学记数法除法（如 ）。 结合实际场景的计算（如太阳与地球距离 米，光速 米/秒，求光传播时间）。 结果验证（如飞机速度 千米/时，飞行距离 千米，求时间）。 3. 易错点 10的指数计算错误（如 错得 ，正确应为 ）； 系数除法后未调整为标准形式（如 ，未调整为 ）； 单位换算错误（如将千米与米混淆，导致指数偏差）。 4. 解题技巧 分两步计算：① 系数相除（）；② 10的指数相减（）； 若系数商 不符合 ，调整为标准形式（如 ，）； 实际场景中先明确物理量关系（如时间=距离速度），再代入科学记数法计算。 【例题5】．（2024-2025•礼泉县期末）先化简，再求值：，其中． 【变式题5-1】．（2024-2025•徐汇区校级期中）先化简，再求值：（3an+2+9an+1﹣an）÷（﹣6an），其中a＝﹣2（n为正整数）． 【变式题5-2】．（2024-2025•五华县校级期末）先化简，再求值：[（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣2n）2]÷4n，其中m＝1，n． 【变式题5-3】．先化简，再求值： （1）[（﹣34x4y6z）÷17y4]，其中x＝1，y，z＝3． （2）16（a+b）6（a﹣b）5÷[2（a+b）3（a﹣b）]2，其中a＝﹣2，b＝﹣1． 【题型6】整式除法中的化简求值 1. 知识点 步骤：先根据整式除法法则（及乘法公式）化简代数式，再将已知字母的值代入化简后的式子计算结果。 核心：化简是关键，需将代数式化为最简形式（不含除法运算，合并同类项），再代入数值可减少计算量。 2. 考点 单项式除法化简求值（如化简 ，再代入 ）。 多项式除法+乘法公式化简求值（如化简 ，再代入 ）。 整体代入求值（如已知 ，化简 后整体代入）。 3. 易错点 化简时符号错误（如 错得 ，正确应为 ，因 ）。 代入数值时计算错误（如代入 时， 错得 ，正确应为 ）。 未彻底化简就代入（如 未化简为 ，直接代入导致计算复杂）。 4. 解题技巧 化简步骤：先展开（乘法公式）合并同类项除法运算再合并同类项（确保最简）； 代入技巧：若已知条件为代数式（如 ），可将化简后的式子凑出该代数式（如 ），整体代入； 代入负数或分数时，加括号避免符号错误（如 代入 $2x$ 得 ，而非 ）。 【例题6】．（2024-2025•万柏林区月考）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为1.5×108km，光在真空中的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球大约需要 　 　 s． 【变式题6-1】．（2024-2025•禅城区校级期中）一个大正方体容器的棱长为0.6m，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为2×10﹣2m．将大正方体容器的水全部倒出，能装满　 　 个小立方体容器．（用科学记数法表示） 【变式题6-2】．（2024-2025•郏县期中）某银行2022年新增居民存款6千万元人民币． （1）经测量，100张面值为100元的崭新人民币大约厚0.9厘米，如果将面值为100元的6千万元崭新人民币摞起来，大约有多高？ （2）一位出纳员数钱的速度是1.58×104张/时，按每天数2小时计算，如果让这位出纳员数一遍面值为100元的6千万元崭新人民币，她大约要数多少天？（结果保留整数） 【变式题6-3】．（2024-2025•亳州期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费1.55×106立方米木材，若木材利用率为60%，则耗费木材2.58×106立方米．一棵生长了20年的大树相当于0.8立方米的木材． （1）1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） （2）2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【题型7】利用整式的除法求参数值 1. 知识点 核心逻辑：以整式除法为桥梁，结合“错算结果逆推”“因式分解”“整式化简”等手段，建立与参数（如字母、代数式值等）相关的等式，进而求解参数。 关键关联运算：需融合整式除法法则（单项式/多项式除法）、乘法公式（如平方差公式）、因式分解（如分解为），且常涉及“除号与减号错用”的逆推场景（如误算求，再用关联参数）、。 参数求解本质：通过化简含除法的代数式，将已知条件（如输出结果、方程、正整数限制）转化为关于参数的一元方程或二元方程组，最终解出参数。 2. 考点 考点1：错算运算符号（÷变-）逆推除式参数，再用除法求关联参数。如已知，误算，先求除式（参数相关），再通过化简式，结合求参数关联值。 考点2：因式分解+整式除法求参数表达式值。 3. 解题技巧 技巧1：逆推法（错算场景）。若除号抄成减号，先根据“错算结果=被除式-除式”逆推除式（如），再通过整式除法化简A÷B，建立于参数的关联。 【例题7】．（2024-2025•奉贤区期中）已知7a3bm÷14anb2b2，那么m、n的取值依次为（　　） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【变式题7-1】．（2024-2025•拱墅区校级月考）若x3﹣3kx2﹣kx被2x+1除后余3，那么k＝　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025••诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【变式题7-3】．（2024-2025•汉阳区校级月考）阅读下列材料： ∵（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，∴（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3；这说明x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明多项式x2+x﹣6有一个因式为x﹣2；另外，当x＝2时，多项式x2+x﹣6的值为零． 回答下列问题： （1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式（x﹣2）、多项式能被（x﹣2）整除，这之间存在着一种什么样的联系？ （2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，那么M与代数式（x﹣k）之间有何种关系？ （3）应用：利用上面的结果求解，已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，求k． 【题型8】整式除法与几何图形的应用 1. 知识点 1、几何公式2、结合整式：几何量用整式表示时，未知量通过整式除法求解。 2. 考点 长方形面积求边长 组合图形面积求未知量（如长方形减去正方形后面积为 ，已知一边长为 ，求另一边长）。 3. 易错点 几何公式记忆错误（如将圆柱体积公式记为“侧面积\times 高”，正确应为“底面积\times 高”）； 整式除法计算错误（如面积 ，长为 $2x$，错得宽 ，正确应为 ）； 忽略图形中的“重叠部分”或“空缺部分”（如无盖纸盒体积计算时，漏减空缺部分的体积）。 4. 解题技巧 第一步：明确所求几何量对应的公式（如求宽用“宽=面积 长”）； 第二步：将已知几何量用整式表示，代入公式列出除法算式； 第三步：按整式除法法则计算，结果需标注单位（若题目给出单位）。 【例题8】．（2024-2025•青山区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（　　） A． B．a﹣b C． D．a+b 【变式题8-1】．（2024-2025•秦都区校级月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以2x2的商为3x+4，余式为x﹣1，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数＝除数×商+余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商+余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式A； （2）小明继续探索，已知关于x的多项式6x2+mx+n除以（2x+1）的商为（3x﹣4），余式为2x，请你根据以上法则，分别求出m、n的值． 【变式题8-2】．（2024-2025•靖江市校级期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（2x2+3x﹣9）÷（x+3）＝　 　 ． （2）（x3+4x2+5x﹣6）÷（x+2）的商是 　 　 ，余式是 　 　 ． （3）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）．另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长（用只含有x的代数式表示）． 【变式题8-3】．（2024-2025•海州区期中）【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴278÷12＝23…2，∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3，∵余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除． 根据阅读材料，请解答下列问题： （1）（x2+6x+5）÷（x+1）＝　 　 ； （2）求（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4），所得的余式； （3）已知x3﹣x2+ax+3能被x+3整除，则a＝　 　 ； （4）如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为（a+5b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【题型9】整式除法有关的阅读理解题 【例题9】．（2024-2025•哈尔滨一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝nm﹣m÷n（m，n均为整数，且m≠0）．例：，则（﹣2）*2＝ 　 　 ． 【变式题9-1】．定义：f（x）＝8x5﹣12x3+10x2． （1）若M（x）＝f（x）÷（﹣2x2），求M（x）的值． （2）求M（﹣1）的值． 【变式题9-2】．（2024-2025•锦江区校级期中）阅读材料：【材料1】将关于x的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如：f（x）＝2x2﹣x+1，当x＝3时，该多项式的值为f（3）＝2×32﹣3+1＝16．【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14．根据以上材料回答问题：已知多项式f（x）＝x2﹣2x﹣1，则f（﹣2）＝　 　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于 　 　 ；已知多项式f（x）＝mx2+nx+5（m、n为常数），若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为7，f（x）除以（x+1）时所得余数为3，则m2﹣n2的值为 　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•雁塔区校级月考）阅读材料： 【材料1】将关于a的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如，f（x）＝3x2﹣2x+4，当x＝﹣2时，该多项式的值为f（﹣2）＝3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）+4＝20． 【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14． 根据以上材料回答下列问题： （1）已知多项式f（x）＝x2﹣5x+7，则f（﹣2）＝　 　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于 　 　 ； （2）已知多项式f（x）＝ax2+bx﹣3，若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为3，f（x）除以（x+1）时所得余数为7，求a2﹣b2的值； （3）求多项式f（y）＝（y2+2y﹣4）2+（2y2+4y+1）2除以（y2+2y﹣2）所得的余数． 同步练习 一．选择题（共4小题） 1．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（2a）2＝4a2 D．6a÷3a＝2a 2．计算：（﹣3x2y）3÷（2x）＝（　　） A． B． C． D． 3．下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 二．填空题（共4小题） 5．计算：28x4y2÷7x4y＝　 　 ． 6．如图，乐乐的作业本不小心被墨水遮住了一部分，留下一道残缺不全的题目，请你帮他推测出括号内被遮住的内容是　 　 ． 7．长方形的面积是6a2﹣3ab．若一边长是3a，则另一边长是 　 　 ． 8．已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+21x3y3﹣7x3y2，则这个多项式是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 9．计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 10．已知某长方形的面积是6a2﹣8ab+2a，它的一边长为2a，求此长方形的周长． 11．小红在做课后作业时，发现一道如下的三项式除以单项式的运算题被墨水弄污了，你能算出这两项被弄污的内容是什么吗？ （21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y． 12．已知，且一个多项式与2x2myn的乘积等于2x3y2﹣6x2y3+4xy2，求这个多项式． 13．已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式． （2）求整式B． 14．如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+7，面积为S1；乙正方形的边长为m+4，面积为S2．（其中m为正整数） （1）请用含m的式子分别表示S1，S2；当m＝1时，求S1+S2的值； （2）比较S1与S2的大小，并说明理由． 15．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：． （1）求所捂的多项式； （2）若x＝2，y＝3，求所捂多项式的值． 16．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（2x2+3x﹣9）÷（x+3）＝　 　 ． （2）（x3+4x2+5x﹣6）÷（x+2）的商是 　 　 ，余式是 　 　 ． （3）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）．另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长（用只含有x的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $