2.3 整式　课件 2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

2.3 整式 22251 2.3.1 单项式 22251 1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念. 2.能判断一个式子是否是单项式. 3.能确定一个单项式的系数和次数. 学习目标 22251 列代数式： (1)若正方形的边长为a，则这个正方形的面积为________； (2)若三角形的一边长为a，这边上的高为h，则这个三角形的面积为______； (3)若m表示一个有理数，则它的相反数是__________； (4)小馨每月从零花钱中拿出x元钱捐给希望工程，一年下来小馨共捐款___________元. a2 -m 12x 复习导入 22251 列出的这些代数式有什么共同特点? a2 -m 12x 式子的特点 组成元素 元素之间的运算关系 数 字母 乘积 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式. 探究新知 22251 判断下列代数式是不是单项式. （1） a+b；（2）abc；（3）πa2；（4）53ab2；（5）y； （6） ；（7） . √ × √ √ √ × √ 注意： 1.数字和字母、字母和字母是相乘关系. 2.单独一个数或一个字母也是单项式. 3.π是数字. 单项式的分母中不能含有字母! 22251 思考：单项式中的数字和字母各有何意义呢? ﹣4x2y3 单项式中的数因数叫做这个单项式的系数. 系数 指数的和称为次数 例如: 的系数是 . 特别地，因为a2=1·a2，﹣m=(﹣1)·m，所以a2的系数是1，﹣m的系数是﹣1. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 例如， 的次数是2， 的次数是4，﹣m的次数是1. (2)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数的形式，例如 不要写成 . (1)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写，例如a2和﹣m； 注意： 22251 判断下列说法是否正确： 1.﹣7xy2的系数是7； （ ） 2.﹣x2y3与x3没有系数； （ ） 3.﹣ab3c2的次数是0+3+2； （ ） 4.﹣a3的系数是﹣1； （ ） 5.﹣32x2y3的次数是7； （ ） 6. 2πr2h的系数是4； （ ） 7. 7的系数是7，次数是0. （ ） × × × √ × × √ 拓展：（1）单独一个非零数的次数为0； （2）单项式的次数是几，就称这个单项式是几次单项式. 22251 例1 判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数： （1）x+1； （2） . 解：（1）x+1不是单项式，因为代数式中出现了加法运算. （2） 是单项式，它的系数是 ，次数是3. × √ 典例分析 22251 1.判断下列代数式是不是单项式： （1）a； （2） ； （3） ； （4） ； （5）xy . × √ √ √ √ 当堂检测 22251 2.说出下列单项式的系数和次数： （1）5a2； （2）mn； （3） ； （4） . 系数：5 次数：2 系数：1 次数：2 次数：4 系数： 次数：3 系数： 22251 3.判断下列说法是否正确，如果不正确，请说明理由： （1）单项式m既没有系数，也没有次数； （2）单项式5×105t的系数是5. × 单项式m的系数是1，次数也是1. 单项式5×105t的系数是5×105. × 22251 4. 单项式-5ab的系数是（ ） A.5 B.-5 C.2 D.-2 5. 是_________次单项式. B 3 6. 一列单项式：-x2，3x3，-5x4，7x5，…，按此规律排列，则第7个单项式为_______________. -13x8 22251 单项式 定义 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式. 系数 单项式中的数因数叫做这个单项式的系数. 次数 一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 注意事项 当单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写 字母指数不写时，表示这个字母指数是1，不是没有 课堂总结 22251 2.3.2 多项式 22251 1.理解多项式、整式的概念，能准确识别多项式、整式. 2.理解多项式的项、常数项和次数. 学习目标 22251 判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数： （1）3a2；（2）x﹣7；（3）-a2b3；（4）﹣πx2y； （5）2a+3b；（6） ； （7） . 复习导入 22251 列代数式： （1）若三角形的三条边长分别为a 、b、c，则这个三角形的周长为_________； （2）某班有男生x人，女生21人，这个班的学生一共有________人； （3）图中阴影部分的面积为_________. a+b+c x+21 2ar-πr2 你发现这些式子和上节课所学的单项式有什么不同? 探究新知 22251 a +b +c 列出的这些代数式有什么共同特点？ x +21 2ar﹣πr2 单项式+单项式 式子的特点 组成部分 单项式 各部分间的运算关系 和 几个单项式的和叫做多项式. 22251 判断：下列代数式哪些是多项式？ xy，-6， ， ， ， ，m2-2m+1，-p2q 注意： （1）一个式子是多项式需具备两个条件： ①式子中含有运算符号“+”或“﹣”； ②分母中不含字母. （2）多项式由单项式组成，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同概念 22251 定义：几个单项式的和叫做多项式. 3x2﹣2x +5 每个单项式叫做多项式的项. 不含字母的项叫做常数项. 注意：多项式的每一项都是单项式，且每一项都包括它的正负号. 多项式的项数 22251 3x2﹣2x +5 2次 1次 0次 多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数. 最高次数项的次数是2， 二次三项式 注意：多项式的次数不是所有项的次数之和. 22251 例1 指出下列多项式的项和次数： （1）a3-a2b+ab2-b3； （2）3n4-2n2+1. 解：（1）多项式a3-a2b+ab2-b3的项有a3、-a2b、ab2 、-b3，次数是3. （2）多项式3n4-2n2+1的项有3n4、-2n2 、1，次数是4. 多项式的每一项都包括它的正负号. 典例分析 22251 例2 指出下列多项式是几次几项式： （1）x3-x+1； （2）x3-2x2y2+3y2. 解：（1）x3-x+1是三次三项式. （2）x3-2x2y2+3y2是四次三项式. 22251 整式 定义：单项式与多项式统称为整式. 思考：你能说出单项式、多项式、整式三者之间的关系吗？ 单项式 多项式 注意：所有单项式和多项式都是整式；一个整式，不是单项式，就是多项式. 22251 1.指出下列多项式的项和次数，并说明其是几次几项式. （1） ； （2）-4x4-x2+x-4. 解：（1）多项式 的项有 、-2xy、-3，次数是3.它是三次三项式. （2）多项式-4x4-x2+x-4的项有-4x4、-x2、x、-4，次数是4.它是四次四项式. 当堂检测 22251 2.在代数式 ，3a，a-y+ ， ，xyz， ， 中有（ ） A.5个整式 B.4个单项式，3个多项式 C.6个整式，4个单项式 D.6个整式，单项式与多项式个数相同 D 22251 3.指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ x2+y2，-x， ，10，6xy+1， ， ，2x2-x-5， ，a7 单项式： 多项式： 整式： x2+y2 -x 10 6xy+1 2x2-x-5 a7 -x 10 a7 x2+y2 6xy+1 2x2-x-5 22251 4.若关于x的多项式-5x3+(m-1)x2+(2+n)x-1不含二次项和一次项，求m、n的值. 解：因为多项式-5x3+(m-1)x2+(2+n)x-1不含二次项和一次项，所以m-1=0，2+n=0，所以m=1，n=-2. 22251 整式 单项式 数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式 单项式的系数 单项式的次数 多项式 几个单项式的和叫做多项式 单项式的系数 单项式的次数 课堂总结 22251 2.3.3 升幂排列和降幂排列 22251 1.理解并能描述什么是升幂排列和降幂排列. 2.能够将一个多项式按某一字母升幂或降幂排列. 22251 什么是单项式？ 由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式. 什么是多项式？ 几个单项式的和叫做多项式. 例：单项式a2b2c的系数是_____，次数是_____. 多项式3x3y-5y2z+x2-y-1的四次项系数是_____，三次项系数是_____，常数项是_____ ，它是____________. 1 5 3 -5 -1 四次五项式 22251 思考：多项式x2+x+l的项分别是__________. x2、x、1 问题1：运用加法交换律，将多项式x2+x+1中各项的位置任意交换，可以得到哪些不同的排列方式？ x2+x+1 x2+1+x x+x2+1 x+1+x2 1+x2+x 1+x+x2 问题2：众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐？ 22251 x2+x+1 1+x+x2 这两种排列方式有什么特点？ 按字母x的指数从大到小的顺序排列的. 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列． 按字母x的指数从小到大的顺序排列的. 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列． 22251 例1 把多项式 按r的升幂排列. 解：按r的升幂排列为： 按r的降幂排列应该怎样排呢？ 按r的降幂排列为： 1 0 3 2 注意： 1.找准字母，分清是“升”还是“降”； 2.在字母上标记好指数； 3.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动； 4.常数项一般是最先或最后排. 22251 例2 把多项式 重新排列： a3+b2-3a2b-3ab3 （1）按a的升幂排列； （2）按a的降幂排列. 解 （1）按a的升幂排列为： 3 0 2 1 b2-3ab3-3a2b+a3 （2）按a的降幂排列为： a3-3a2b-3ab3+b2 试试看，你能将这个多项式按b的升幂（或降幂）排列吗? 22251 例3 例3 把多项式 重新排列： （1）按b的升幂排列； （2）按b的降幂排列. a3+b2-3a2b-3ab3 0 2 1 3 解 （1）按b的升幂排列为： a3-3a2b+b2-3ab3 -3ab3+b2-3a2b+a3 （2）按b的降幂排列为： 注意：含有两个或两个以上字母的多项式，通常按其中某一个字母的升幂或降幂排列. 22251 补充例题: 3mn2-2m2n3+5-8m3n （1）按m的降幂排列； （2）按n的升幂排列. -8m3n-2m2n3+3mn2+5 5-8m3n+3mn2-2m2n3 反过来应该怎样排呢？ 22251 （1）按m的升幂排列； （2）按n的降幂排列. -2m2n3+3mn2-8m3n+5 5+3mn2-2m2n3-8m3n 补充例题: 3mn2-2m2n3+5-8m3n 22251 1.把多项式 重新排列： （1）按x的升幂排列； （2）按x的降幂排列. 2 3 1 4 0 22251 2.把多项式x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3重新排列： （1）按x的降幂排列； （2）按x的升幂排列. x4+3x3y-5x2y3-2xy2-y4 4 0 3 1 2 -y4-2xy2-5x2y3+3x3y+x4 按y的升幂和降幂排列应该怎样排呢？ 22251 2.把多项式x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3重新排列： （3）按y的降幂排列； （4）按y的升幂排列. 0 4 1 2 3 x4+3x3y-2xy2-5x2y3-y4 -y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4 22251 3.已知多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式. （1）求m和n的值； （2）把这个多项式按x的升幂排列. （2）根据（1）得该多项式为-2+x3y+x2，把这个多项式按x的升幂排列为-2+x2+x3y. 解：（1）由多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式，得n=0，m-1+1=4，所以m=4，n=0. 22251 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列． 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列． 注意： 1.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动. 2.含有两个或两个以上字母的单项式，常常按照其中某一字母的指数进行升幂或降幂排列. 22251 $