精品解析：湖南省常德市石门县2023年初中毕业模拟考试数学试题

石门县2023届初中毕业模拟考试 九年级数学试题卷 考生注意： 1、本堂考试时量为120分钟，满分120分； 2、本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上； 3、请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，以x＝2为解的方程是（　　） A. 2（x+2）＝0 B. 3（x﹣1）＝9 C. 4x﹣1＝3x D. 3x+1＝2x+3 3. 下列命题中，一定是真命题是（ ） A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 有一个角是40°，且腰相等的两个等腰三角形全等 4. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD= OB，则BAC = ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 5. 在平面直角坐标系中，点到x轴距离是（ ） A. -3 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在正五边形中，连接，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是（　　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 数a、b在数轴上对应点的位置如图所示．则a_______b(填“>”、“<”或“＝”)． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 11. 方程的解为________． 12. 如图，已知，，，则的度数是______． 13. 我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧______吨煤所产生的能量． 14. 小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，她从中随机抽取1个，抽中代数或几何题的概率是_______． 15. 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为，则_________． 16. 如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB＝8，BC＝6，则AG的长为____________ ． 三、（本大题共2个小题，每小题5分，满分10分） 17. 计算： 18 解不等式组． 四、（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分） 19. 先化简再求值：，其中，． 20. 如图，一次函数（、b为常数，）的图象与反比例函数（，）的图象交于点与点．求一次函数与反比例函数的解析式． 五、（每小题7分，满分14分） 21. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，） 22. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球的单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？ 六、解答下列各题（每小题8分，满分16分） 23. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中m的值为_____________； （Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 24. 如图，在Rt中，，，，点在线段上，且，以点为圆心，为半径的交线段于点，交线段的延长线于点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）求证：． 七、解答下列各题（每小题10分，满分20分）． 25. 如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求证四边形为菱形； （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门县2023届初中毕业模拟考试 九年级数学试题卷 考生注意： 1、本堂考试时量为120分钟，满分120分； 2、本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上； 3、请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据两数的乘积为，则两数互为倒数，即可得出答案． 【详解】解：的倒数是， 故选A． 2. 下列方程中，以x＝2为解的方程是（　　） A. 2（x+2）＝0 B. 3（x﹣1）＝9 C. 4x﹣1＝3x D. 3x+1＝2x+3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，即可求解． 【详解】解：A、当x＝2时，左边=2（2+2）＝8≠0，故本选项不符合题意； B、当x＝2时，左边=3（2﹣1）＝3≠9，故本选项不符合题意； C、当x＝2时，左边=4×2-1=7，右边=3×2=6，所以左边≠右边，故本选项不符合题意； D、当x＝2时，左边=3×2+1=7，右边=2×2+3=7，所以左边=右边，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 3. 下列命题中，一定是真命题的是（ ） A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 有一个角是40°，且腰相等的两个等腰三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法判定A和D错误，利用角平分线的性质得到B正确，关键等腰三角形的性质得到C错误． 【详解】解：A.两个锐角对应相等的两个直角三角形不全等，缺少等边，错误； B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确； C.等腰三角形底边上的高、中线、角平分线互相重合，故错误， D.有一个角是40°，且腰相等的两个等腰三角形不一定全等，这个角如果一个是顶角另一个角是底角时不全等，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 4. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD= OB，则BAC = ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】首先通过等边△OCD得到∠D=60°，再利用圆周角定理的推论得出结果． 【详解】解：连结OC， ∵CD=OB，OB=OD=OC， ∴OC=OB=DC， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠D=60°， ∴∠A=∠D=60°， 故选择C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质以及圆周角定理的推论，在圆中通过弧确定角的关系是解决问题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（ ） A. -3 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征与点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答． 【详解】解：点（-4，3）在第二象限，到x轴的距离是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解决的关键． 6. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正五边形内角和公式求出正五边形的一个内角，再根据等腰三角形的性质求出角度即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可得正五边形内角和为， ∴， ∵在正五边形中， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查正五边形的性质，掌握正多边形的内角和公式以及等腰三角形的性质是解决问题的关键． 7. 对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于负半轴，即可判断①，根据抛物线与x轴有两个交点，Δ＝b2﹣4ac＞0，即可判断②，根据函数图象即可判断③⑤，由抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，当时，取得最小值，最小值为，即可判断④ ． 【详解】①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于负半轴， ∴a＞0，﹣＝1，c＜0， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，结论①不正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，结论②正确； ③∵当x＝0时，y＜0，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝2时，y＜0， 即4a+2b+c＜0，结论③不正确； ④∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数m,有am2+bm+c≥a+b+c， ∴a+b≤m（am+b）（m为任意实数），结论④正确； ⑤∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有②④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质与系数的关系，抛物线与轴交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是（　　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先证得△BPC和△APG都是等边三角形，过点F作FH⊥轴于点H，连接AC和BF，设菱形的边长为，求得点A（，），点F（，），再列方程求解即可． 【详解】解：∵菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，且∠APO=120°， ∴AP∥CE∥FG，∠APG=∠ECG=60°，DC=DG， ∴∠DCG=∠DGC=∠APG=60°，∠BCP=∠DGC=60°， △BPC和△APG和△CDG都是等边三角形， 过点F作FH⊥轴于点H，连接AC和BF，则BF∥轴， 设菱形的边长为，则AP=2a，PC=a，AC=， ∴GN=，FH=， ∵点P（1，0）， ∴点A（，），点F（，）， ∵点A，F在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上， ∴， 解得， ∴点A（，）， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 数a、b在数轴上对应点的位置如图所示．则a_______b(填“>”、“<”或“＝”)． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【详解】如图所示，因为a在b的左边，所以a＜b．故答案为＜． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程转化为或，即可求解． 【详解】解：， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 12. 如图，已知，，，则的度数是______． 【答案】30° 【解析】 【分析】先利用对顶角相等求解 再利用三角形的外角的性质可得：从而可得答案. 【详解】解： 故答案： 【点睛】本题考查的是对顶角相等，三角形的外角的性质，掌握利用三角形的外角的性质求解与三角形相关的角的大小是解题的关键. 13. 我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧______吨煤所产生的能量． 【答案】 【解析】 【分析】根据每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量乘以我国陆地面积，计算即可得到所求的结果． 【详解】根据题意得：（）×（1.3×105）＝． 故答案为： 【点睛】此题考查了整式的混合运算，是一道应用题，弄清题意是解本题的关键． 14. 小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，她从中随机抽取1个，抽中代数或几何题的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，共计个题，她从中随机抽取1个也就有种可能，抽中代数或几何题的情况有种，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，共计个题， ∴小观从中随机抽取1个也就有种可能，抽中代数或几何题的情况有种，则抽中代数或几何题的概率是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式的应用，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率公式是解决问题的关键． 15. 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为，则_________． 【答案】60°． 【解析】 【分析】 【详解】∵OA⊥BC，BC=2， ∴根据垂径定理得：BD=BC=1． 在Rt△ABD中，sin∠A=． ∴∠A=30°． ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO=90°． ∴∠AOB=60°． 16. 如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB＝8，BC＝6，则AG的长为____________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】由勾股定理得出DB＝10，由折叠的性质可知，DE＝DA＝6，AG＝EG，得出BE＝BD﹣DE＝4，设AG＝EG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△EBG中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：作GE⊥DB于点E，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6，∠A＝90°， 由勾股定理得，DB＝＝＝10， 由折叠的性质可知，DE＝DA＝6，AG＝EG， ∴BE＝DB﹣DE＝4， 设AG＝EG＝x，则BG＝8﹣x， 在Rt△EBG中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 即AG的长为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 三、（本大题共2个小题，每小题5分，满分10分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查实数的运算，根据零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质分别化简，再进行实数的加减法运算． 【详解】解： ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 四、（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分） 19. 先化简再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则将式子化简，再将a，b的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝， ＝． 当，时，． 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 20. 如图，一次函数（、b为常数，）的图象与反比例函数（，）的图象交于点与点．求一次函数与反比例函数的解析式． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式等知识点，熟练运用待定系数法以及数形结合的思想是解题的关键． 将代入可得即可确定反比例函数解析式，再确定；然后运用待定系数法求得一次函数解析式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴点A的坐标为， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为． 五、（每小题7分，满分14分） 21. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，） 【答案】m 【解析】 【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°， 设CF＝x， ∴CD＝CF+DF＝（x+3）， 在Rt△ACF中，∠AFC＝42°， ∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m）， 在Rt△ACD中，∠ADC＝31°， ∴tan31°， ∴x＝6， 经检验：x＝6是原方程的根， ∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m）， ∴凉亭AB的高约为6.9m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？ 【答案】（1）绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 （2）购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个 【解析】 【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题； （2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题． 【小问1详解】 解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元， 根据题意，得：， 解分式方程，得：， 经检验可知是所列方程的解，且满足实际意义， ∴， 答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元． 【小问2详解】 设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条， 根据题意，得：， 解得 ∴ 答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 六、解答下列各题（每小题8分，满分16分） 23. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中m的值为_____________； （Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 【答案】（Ⅰ）40，25；（Ⅱ）平均数是1.5，众数为1.5，中位数为1.5；（Ⅲ）每天在校体育活动时间大于1h的学生人数约为720. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得直方图中各组人数的和即可求得学生人数，利用百分比的意义求得m； （Ⅱ）利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数定义求解； （Ⅲ）利用总人数乘以对应的百分比即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4+8+15+10+3=40（人）， m=100×=25． 故答案是：40，25； （Ⅱ）观察条形统计图， ∵， ∴这组数据的平均数是1.5． ∵在这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为1.5． ∵将这组数据按从小到大的顺序棑列，其中处于中间的两个数都是1.5，有， ∴这组数据的中位数为1.5． （Ⅲ）∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据中，每天在校体育活动时间大于1h的学生人数占90%， ∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h的人数约占90%．有． ∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h的学生人数约为720． 【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用，还考查了加权平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 24. 如图，在Rt中，，，，点在线段上，且，以点为圆心，为半径的交线段于点，交线段的延长线于点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点．在中，利用勾股定理即可求出AB长．由结合三角形面积公式可得出，即可求出OH的长，从而判定OH为⊙O半径，即证明是的切线． （2）连接，．由圆周角定理可证明．即可推出．由圆的基本性质可证明．即得出．即易证∽．得出．由DE为直径即，即，即可推出． 【详解】证明：（1）如图，过点作于点． 在中，． ∵，即， ∴， ∴． ∵， ∴，即OH为⊙O半径． 又∵， ∴是的切线． （2）如图，连接，． ∵是的直径， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴∽． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查勾股定理，圆的基本性质，切线的判定，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解答本题的关键． 七、解答下列各题（每小题10分，满分20分）． 25. 如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求证四边形为菱形； （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据在中，，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解； （2）根据（1）的结论分别求得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证； （3）分和两种情况分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：如图 四边形是矩形，，， ，， 将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 【小问2详解】 ， ， 四边形矩形， ， ， ， ， ， 中，， ， ， 四边形为菱形； 【小问3详解】 ，设，是直角三角形 设 由（2）可得 ①当时，如图， ， 解得； ②当时， 同理可得 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），A（﹣2，0）；C（0，4） （2）存在点M使AM＋OM最小， M（，） （3）存在， P（2，4） 【解析】 【分析】（1）将B（4，0）代入，求出函数解析式即可求解； （2）作O点关于BC的对称点，连接A交BC 于点M，连接B，当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，分别求出直线A的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点； （3）连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G， 设，则G（t，－t＋4），由求出，再由PFCD，可得 则 当t＝2时，有最大值，同时可求P的坐标． 【小问1详解】 将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m， ∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0， 解得m＝2， ∴y＝﹣＋x＋4， 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， 令y＝0，则﹣＋x＋4＝0， 解得x＝4或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）； 【小问2详解】 存在点M使AM＋OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B， 由对称性可知，OM＝M， ∴AM＋OM＝AM＋MA， 当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠BM＝45°， ∴B⊥BO， ∴（4，4）， 设直线A的解析式为y＝kx＋b， ∴， 解得， ∴y＝x＋， 设直线BC的解析式为， ∴4＋4＝0， ∴＝﹣1， ∴y＝﹣x＋4， 联立方程组， 解得， ∴M（）； 【小问3详解】 在点P，使得最大，理由如下： 连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G， 设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4）， ∴PG＝﹣＋2t， ∵OB＝OC＝4， ∴BC＝4， ∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF， ∴PF＝﹣＋t， ∵CD⊥BC，PF⊥BC， ∴PFCD， ∴＝， ∵＝， ∴＝， ∵B、D两点关于y轴对称， ∴CD＝4， ∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋， ∵P点在第一象限内， ∴0＜t＜4， ∴当t＝2时，有最大值， 此时P（2，4）． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $