辽宁省朝阳一中联盟校2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷　

2024-2025学年辽宁省朝阳一中联盟校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列三角函数值是有理数的是（　　） A. sin60° B. cos60° C. tan60° D. sin45° 2.如果一个一元二次方程的根是x1=x2=-3，那么这个方程可以是（　　） A. x2+9=0 B. x2+6x+9=0 C. x2=9 D. x2-6x+9=0 3.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4.下列式子运算正确的是（　　） A. 33+32=35 B. （-a2）3=-a6 C. （-a2b）2=-a3b2 D. （-2）-2=4 5.在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与直线y=kx-5相交于点P（3，n），则关于x、y的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 6.下列命题正确的是（　　） A. 已知：线段a=1cm,b=2cm,c=3cm,d=4cm,则a,b,c,d是比例线段 B. 方程x2-2x+2=0没有实数根 C. 已知点A（-1，y1），B（-2，y2）是函数图象上的两点，则y2＞y1 D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 7.把抛物线y=-3x2+2向右平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A. y=-3（x-2）2-1 B. y=-3（x+2）2-1 C. y=-3（x+2）2+1 D. y=-3（x-2）2+1 8.如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③；④；其中能判断△APC∽△ACB的有（    ） ​​​​​​​ A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 9.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，使点A′落在AC上.已知∠C=40°，AC∥BC'，则∠A′BC=（　　） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 10.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（　　） ①abc＞0；②3a+c＜0；③若m,n（m＜n）是方程ax2+（b+2）x=x-c的两个根，则m＜-1，n＞0. A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，-b），则ab的值为______． 12.已知3x=2y,则的值等于      . 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosB的值为      . 14.如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连接ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，若正方形ABCD边长为7，则正方形FPQG面积为      . 15.如图，直线y=-2x+5与双曲线y=（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C.S△BOC=，若将直线y=-2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y=（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题10分) （1）解不等式组：； （2）化简：. 17.(本小题6分) 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 18.(本小题9分) 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A.跳绳；B.篮球；C.排球；D.足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加.全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图. （1）若抽取的同学的测试成绩落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率. 19.(本小题8分) 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE=EC，在AD边上取一点F，使得DF=BE，连接CF.过点D作DG⊥AE于G. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB=4，BE=3，求DG的长. 20.(本小题8分) 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 21.(本小题10分) 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； （2）当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22.(本小题12分) 综合与探究：如图，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A. （1）【操作判断】 如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，四边形APCO是那种特殊四边形？并证明你的结论； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM+ON=2PA； （3）【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON=3OM，请直接写出的值. 23.(本小题12分) 在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线C：y=ax2+bx+c的顶点在直线l：y=px+q上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线.例如：抛物线y=x2-4x+9的顶点为P（2，5），且点P在直线y=2x+1上，那么抛物线y=x2-4x+9是直线y=2x+1的关联抛物线. （1）判断抛物线y=-x2-8x-18是否是直线y=x+2的关联抛物线，并说明理由； （2）如果抛物线是直线y=x+2的一条关联抛物线，且经过点A（4，0），求抛物线C1的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线C1的顶点为B，将抛物线C1平移后成为直线y=x+2的另一条关联抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点M.当∠MAB=45°时，求：抛物线C2的顶点M的坐标. 1.【答案】B  2.【答案】B  3.【答案】C  4.【答案】B  5.【答案】A  6.【答案】B  7.【答案】A  8.【答案】D  9.【答案】A  10.【答案】C  11.【答案】-12  12.【答案】-  13.【答案】  14.【答案】20  15.【答案】1  16.【答案】x＜-2；   a2-2a+1  17.【答案】解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50-x）个， 根据题意得：540x+380（50-x）≤21000， 解得：x≤12.5， ∵x为整数， ∴x取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．  18.【答案】（1）162；162． （2）175；108． （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为=．  19.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵BE=DF， ∴AD-DF=BC-BE， 即AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE=EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，AD=BC， 在Rt△ABE中，AB=4，BE=3， 根据勾股定理,得AE===5, ∵四边形AECF是菱形， ∴EC=AE=5， ∴AD=BC=BE+EC=3+5=8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA=∠B=90°， ∴△ADG∽△EAB， =,即=, DG=.  20.【答案】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E， 设CE=x米， ∵CD=60米， ∴DE=CE+CD=（x+60）米， ∵∠ACB=15°，∠BCD=120°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°， 在Rt△AEC中，AE=CE•tan45°=x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， ∴tan30°===， ∴x=30+30， 经检验：x=30+30是原方程的根， ∴AE=（30+30）米， ∴河的宽度为（30+30）米； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE=AE=BF=（30+30）米，AB=EF， ∵∠BCD=120°， ∴∠BCF=180°-∠BCD=60°， 在Rt△BCF中，CF===（30+10）米， ∴AB=EF=CE-CF=30+30-（30+10）=20（米）， ∴古树A、B之间的距离为20米．  21.【答案】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元， 根据题意，得-=100， 解得m=3， 经检验m=3是方程的解， ∴1.5m=4.5， ∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30（元）， 答：每盒产品的成本为30元； （2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元， 根据题意，得w=（x-30）[500-10（x-60）]=-10x2+1400x-33000=-10（x-70）2+16000， ∴当x=70时，每天的利润最大，最大利润为16000元， 答：当每盒产品的售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是16000元．  22.【答案】过点P作PC⊥OB于点C，如图，连接OP， ∵∠AOB=90°，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴四边形AOCP为矩形， ∵点P在∠AOB的平分线上， ∴OP平分∠AOB， ∴∠AOP=45°， ∴△AOP为等腰直角三角形， ∴AO=AP， ∴四边形AOCP为正方形；   过点P作PC⊥OB于点C，如图， 由  知：四边形AOCP为正方形， ∴AP=PC=OC=OA，∠PAM=∠PCO=∠APC=90°， ∴∠PCN=90°=∠PAM， ∵PN⊥PM， ∴∠MPN=90°=∠APC， ∴∠APM=∠CPN=90°-∠CPM， ∴△PAM≌△PCN， ∴AM=CN， ∵OA=OC， ∴OM+ON=OA-AM+OC+MN=OA+OC=2OA， ∵OA=PA， ∴OM+ON=2PA；  或  23.【答案】解：（1）抛物线y=-x2-8x-18是直线y=x+2的关联抛物线；理由如下： ∵y=-x2-8x-18=-（x+4）2-2， ∴抛物线的顶点坐标为（-4，-2）， ∵y=x+2，当x=-4时，y=-4+2=-2， ∴（-4，-2）在直线y=x+2上， ∴抛物线y=-x2-8x-18是直线y=x+2的关联抛物线； （2）如果抛物线是直线y=x+2的一条关联抛物线，且经过点A（4，0），将点A的坐标代入得： ∴0=16a+4b, ∴b=-4a, ∴y=ax2-4ax=a（x-2）2-4a, ∴顶点坐标为：（2，-4a）， 依据关联抛物线的定义知：点（2，-4a）在直线y=x+2上， ∴-4a=2+2， ∴a=-1， ∴y=-x2+4x； （3）由（2）可知：B（2，4）， 当点M在点B下方时：取点D（1，1）， ∵A（4，0）， ∴， ∴AD2+BD2=AB2，且AD=BD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAD=45°， ∵∠BAM=45°， ∴M在直线AD上， 由题意可知：点M在直线y=x+2上， ∴点M为直线AD与直线y=x+2的交点， 设直线AD的解析式为：y=kx+b,将A，D的坐标代入得： ， 解得：， ∴， 联立， 解得：， ∴； 当点M在点B上方时，取点E（5，3）， 则：， ∴AE=BE，AE2+BE2=AB2， ∴∠BAE=45°， 同理：点M为直线AE与直线y=x+2的交点， 同理可得：直线AE的解析式为：y=3x-12， 联立， 解得：， ∴M（7，9）； 综上：或M（7，9）．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $