精品解析：广西桂林市临桂区临桂中学等校2026届高三上学期开学考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得. 故选：D 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法公式计算即可. 【详解】由. 故选：B 3. 已知数列为等差数列，若，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1013 D. 1012.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【详解】数列为等差数列，所以. 故选：C 4. 已知锐角满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用代入计算即可. 【详解】由已知，，因为锐角，所以，， 即. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题. 5. 已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出渐近线方程及右焦点坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】双曲线：的右焦点为，渐近线方程为， 所以. 故选：A 6. 在中，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，由可知为的中点，所以即，利用向量的线性运算结合数量积的运算律计算，可得，由此可得. 【详解】 因为，所以为的中点， 设，， 因为，所以， 则，， 所以， 所以，即． 故选：D． 7. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 8. 已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，将三棱锥补形为长方体，结合长方体的外接球的半径的求法求三棱锥的外接球半径，再根据球的表面积公式求结论. 【详解】如图， 三棱锥的三条侧棱两两垂直， 即，，， 如下图，将三棱锥补形为长方体， 因为三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为R， 因为，，， 所以， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，，是偶函数，D是. 故选：ACD 10. 对于函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正切型函数的最小正周期的公式求函数的最小正周期，判断A，设函数的图象关于对称，推出矛盾，判断B，求函数的单调递增区间，判断C，求函数的对称中心，判断D. 【详解】对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，若函数的图象关于对称，则， 所以，故恒成立，矛盾， 所以函数的图象不关于对称，故B错误； 由，，得，， 即的单调递增区间为，， 取，得函数在和上单调递增， 又时没有意义， 所以函数不在上单调递增，故C错误； 由，，得，， 所以函数图象的对称中心为，， 令知的图象关于点对称，故D正确． 故选：AD 11. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作出相应的图象，利用线面平行可得平面即可对A判断求解；利用线面垂直证明平面，从而可证即可对B判断求解；.过的截面为梯形，利用几何知识即可求出其周长，即可对C判断求解；截面将正方体分成三棱台和剩余的部分，先求出三棱台的体积，即可对D判断求解. 【详解】对于A，连接AC，则，，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，，平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 对于C，过的截面为梯形， ，，， 所以其周长为，故C错误； 对于D，截面将正方体分成三棱台和剩余的部分， 三棱台的体积为， 剩余部分的体积为，所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的展开式中常数项是___________. 【答案】252 【解析】 【分析】写出的展开式的通项公式，令，求得k值，代入通项公式，即可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得k=5， 所以常数项为. 故答案为：252 13. 已知向量，，且，则向量的坐标为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及模的坐标表示，列式计算得解. 【详解】向量，由，得， 而，则，解得， 所以或. 故答案为：或 14. 已知函数，，若关于x的方程恰有两个实数根，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】方程，即， 因为，所以， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，当时，，时，， 所以在关于x的方程恰有两个实数根时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 16. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： （1）的长； （2）直线和所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，，，得出，利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用空间向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接，设，，， 依题意， 而， ， 所以. 【小问2详解】 连接，， 所以 ， 又，， 所以， 故直线和所成角的余弦值为. 17. 将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连续抛掷三次，求下列事件的概率. （1）点数都为奇数； （2）至少出现一次3点； （3）三个点数之和为8. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出连续抛掷骰子三次的试验含有的基本事件总数，再求出点数都为奇数的事件含有的基本事件数，利用古典概率概型计算即得. （2）由（1）的信息，结合对立事件的概率公式求解. （3）由（1）的信息，利用列举法求出三个点数之和为8概率. 【小问1详解】 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次的试验，含有的基本事件总数为个， 点数都为奇数的事件含有的基本事件数为个， 所以点数都为奇数的事件概率. 【小问2详解】 事件 “至少出现一次3点”，其对立事件“没有出现3点”， 事件含有的基本事件数为个，则， 所以至少出现一次3点的概率为. 【小问3详解】 三次点数之和为8的情况有， ，共21个， 所以三次点数之和为8的概率. 18. 已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 【答案】（1） （2） ①因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. ②设， 由，得， 因， 设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 【解析】 【分析】（1）由题意建立关于的方程组，解方程组即可求解； （2）（i）根据面积关系结合面积公式可得平分，即可证得； （ii）联立直线方程和椭圆方程消元后结合在椭圆上化简前者后可得. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，利用切线方程求出导数值，进而求解参数. （2）先求出导函数，再通过研究导函数的导数，分析导函数的单调性，进而确定原函数的单调性. （3）将恒成立问题转化为求函数最值问题，通过构造函数，多次求导分析函数的单调性和最值，从而确定参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意知， 且曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得． 【小问2详解】 由（1）知，，则当时，． 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以，所以在上单调递增． 【小问3详解】 由曲线在点处的切线方程为，得， 又，所以． 当时，，则恒成立，所以． 当时，由，得． 令，则． 令，则， 再令，则， 令，则． ①当时，，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减， 因为，， 所以存在，使得， 于是在上单调递增，在上单调递减． 由于，，于是时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为． ②当时，令， 则， 所以在上单调递增，此时， 故当时，， 由①②知在上的最大值为， 所以，即a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等差数列，若，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1013 D. 1012.5 4. 已知锐角满足则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 在中，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 11. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的展开式中常数项是___________. 13. 已知向量，，且，则向量的坐标为_______. 14. 已知函数，，若关于x的方程恰有两个实数根，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： （1）的长； （2）直线和所成角的余弦值. 17. 将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连续抛掷三次，求下列事件的概率. （1）点数都为奇数； （2）至少出现一次3点； （3）三个点数之和为8. 18. 已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 19. 已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $