4.3坐标平面内图形的轴对称和平移 同步课堂　2025-2026学年浙教版数学八年级上册

本讲义聚焦坐标平面内图形的轴对称与平移，系统构建从点的对称规律到图形变换的完整知识链，由基础坐标性质切入，逐步过渡到复杂图形的作图与规律探究，形成“点→线→面”的认知进阶路径，为后续函数图像变换奠定空间观念基础。 资料设计突出数学眼光、思维与语言的融合应用，以真实情境题型为抓手，如通过点A（-3，4）到x轴上动点B的距离最小值问题培养几何直观，用平移路线判断训练逻辑推理能力，借助多维变式练习强化符号意识与模型观念。课中可辅助教师精准施教，课后便于学生查漏补缺，实现从理解概念到灵活迁移的闭环学习。

4.3坐标平面内图形的轴对称和平移 讲解目录 【知识点1】坐标与图形变化-对称 1 【知识点2】坐标与图形性质 1 【知识点3】利用轴对称设计图案 2 【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 2 【知识点5】作图-轴对称变换 2 【题型1】根据点的对称求字母的值 3 【题型2】坐标系中图形的平移 3 【题型3】写出点平移后的坐标 4 【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴 5 【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线 6 【题型6】坐标与图形变换--轴对称 7 【题型7】点的平移规律问题 9 【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标 13 知识讲解 【知识点1】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称      横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称      纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称      ①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）      ②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b） 【知识点2】坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 1.（2024春•韶关期末）在平面直角坐标系中，点A（-3，4），点B是x轴上任意一点，则线段AB的最小值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2.（2024秋•历城区校级月考）已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．-1 D．3 【知识点3】利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 【知识点5】作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 题型专练 【题型1】根据点的对称求字母的值 【典型例题】已点P1（a﹣1，5）和P2（3，b）关于x轴对称，则a+b的值为（　　） A.3 B.0 C.﹣1 D.1 【举一反三1】已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则（　　） A.﹣5 B.5 C. D. 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（﹣7，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则（　　） A.m＝3，n＝7 B.m＝﹣3，n＝7 C.m＝3，n＝﹣7 D.m＝﹣3，n＝﹣7 【举一反三3】已知点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1），则ab的值为（　　） A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3 【举一反三4】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝　　． 【举一反三5】已知点A（2，m+3），B（n，﹣4）关于y轴对称，则m+n＝　   　． 【举一反三6】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝　　． 【题型2】坐标系中图形的平移 【典型例题】如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（　　） A.（﹣x，y﹣2） B.（﹣x，y+2） C.（﹣x+2，﹣y） D.（﹣x+2，y+2） 【举一反三1】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（　　） A.（5，﹣2） B.（1，﹣2） C.（2，﹣1） D.（2，﹣2） 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（3，0）．现将线段AB平移，使点A，B分别平移到点A′，B'，其中点A′（1，4），则四边形AA'B'B的面积为 　  　． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，4），（6，1），将线段AB先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应线段A'B'； （1）写出A′，B′两点的坐标：A'（ 　　，　　），B'（ 　　，　　）； （2）连接OA'，OB'，求三角形A′OB′的面积． 【题型3】写出点平移后的坐标 【典型例题】点P（5，6）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的坐标是（　　） A.（7，9） B.（7，3） C.（3，9） D.（3，3） 【举一反三1】在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（　　） A.（2，﹣3） B.（﹣4，﹣3） C.（﹣1，0） D.（﹣1，﹣6） 【举一反三2】把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（　　） A.（1，﹣3） B.（﹣3，﹣1） C.（﹣1，﹣3） D.（﹣3，1） 【举一反三3】在平面直角坐标系内，线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　） A.（﹣8，﹣3） B.（4，2） C.（0，1） D.（1，8） 【举一反三4】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移4个单位后所得的点的坐标是（　　） A.（1，4） B.（﹣7，4） C.（﹣3，0） D.（﹣3，8） 【举一反三5】将点K（﹣1，1）向右平移2个单位所得的对应点的坐标为 　    　． 【举一反三6】将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是 　    　． 【举一反三7】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移3个单位后所得的点的坐标是 　   　． 【举一反三8】将点（1，2）向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后所得的点的坐标为 　    　． 【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴 【典型例题】将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘﹣1，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是（　　） A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.沿x轴向左平移1个单位长度 D.沿y轴向下平移1个单位长度 【举一反三1】平面内点A（﹣1，2）和点B（1，2）的对称轴是（　　） A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝﹣1 【举一反三2】在平面直角坐标系内，点P（1，2），点Q（1，﹣2），那么点P与点Q的对称轴是　   　． 【举一反三3】已知（如图所示）A（3，2），B（3，4），C（﹣4，﹣2），D（2，﹣2）， （1）A与B是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴； （2）C与D是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴； （3）已知点M（﹣1，﹣3），写出它关于x＝2对称的对称点N的坐标和它关于直线y＝1对称的对称点Q的坐标． 【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线 【典型例题】在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是（　　） A.先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移5个单位，再向下平移3个单位 C.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D.先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 【举一反三1】点（a﹣2，b+2）经过平移变换得到点（a，b），则这个平移变换是（　　） A.先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 【举一反三2】在直角坐标平面内，点P（﹣5，0）向　  　平移m（m＞0）个单位后落在第三象限．（填“上”或“下”或“左”或“右“） 【举一反三3】在如图所示的平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E、F、G都在网格的交叉点上，已知点A的坐标是（0，3）．回答下列问题： （1）B点的坐标是 　  　，D点的坐标是 　    　； （2）这些点中到x轴的距离是5的点有 　   　； （3）将点E怎样平移可以和点F重合？ 【题型6】坐标与图形变换--轴对称 【典型例题】已知点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于某条直线对称，则这条直线是（　　） A.x轴 B.y轴 C.过点（2，0）且垂直于x轴的直线 D.过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线 【举一反三1】点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（　　） A.关于直线x＝2对称 B.关于直线y＝2对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 【举一反三2】如图，将点A（﹣1，2）关于x轴作轴对称变换，则变换后点的坐标是（　　） A.（1，2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，﹣2） D.（﹣2，﹣1） 【举一反三3】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 　   　． 【举一反三4】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　    　． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD＝5，△ABC关于直线l对称． （1）求点A的坐标； （2）若点C的坐标为（﹣2，﹣2），判断△ABC的形状，并说明理由． 【题型7】点的平移规律问题 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0）第1次向右跳动1个单位至点P1（1，0），紧接着第2次向上跳动1个单位至点P2（1，1），第3次向左跳动2个单位至点P3（﹣1，1），第4次向上跳动1个单位至点P4，第5次又向右跳动3个单位至点P5，第6次向上跳动1个单位至点P6，…照此规律，P2026的坐标是（　　） A.（﹣506，1012） B.（507，1012） C.（507，1013） D.（506，1013） 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系上有个点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（　　） A.（﹣506，1012） B.（﹣507，1012） C.（507，1012） D.（506，1013） 【举一反三2】在平面直角坐标系中，小张玩走棋游戏，其走法：棋子从点（1，0）位置出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完2023步时，棋子所处的位置坐标是（　　） A.（2023，674） B.（2023，675） C.（2024，674） D.（2024，675） 【举一反三3】如图，将点A1（1，1）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；将点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；将点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4…按这个规律平移得到点An，则点A2024的横坐标为（　　） A.22024 B.22024﹣1 C.22023﹣1 D.22003+1 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别沿BC，BD向左、右分别运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从 C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（　　） A.（﹣2023，4048） B.（﹣2024，4048） C.（﹣2024，4046） D.（﹣2021，4048） 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，设一动点P自P0（2，0）处向下运动1个单位长度至P1（2，﹣1）处，然后向左运动2个单位长度至P2（0，﹣1）处，再向上运动2个单位长度至P3（0，1）处，再向左运动2个单位长度至P4（﹣2，1）处，再向下运动2个单位长度至P5（﹣2，﹣1）处，…，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…），则P2023的坐标是 　     　． 【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 　      　． 【举一反三7】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 　      　． 【举一反三8】如图，点A（0，0），向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点A1：点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向 上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3：点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4：……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为　   　． 【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标 【典型例题】在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（　　） A.（3，﹣2） B.（3，2） C.（﹣3，﹣2） D.（﹣3，2） 【举一反三1】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　） A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2） 【举一反三2】点（5，﹣2）关于x轴的对称点是（　　） A.（5，﹣2） B.（5，2） C.（﹣5，2） D.（﹣5．﹣2） 【举一反三3】已知一点A（2，0），则点A关于y轴的对称点是（　　） A.（﹣2，0） B.（0，﹣2） C.（0，2） D.（﹣2，﹣2） 【举一反三4】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　） A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2） 【举一反三5】在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 　    　． 【举一反三6】点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是　    　，关于y轴对称的点的坐标是　      　． 【举一反三7】若（b+2）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为　          　． 【举一反三8】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于x轴的对称点的坐标是（ 　　，　　）；关于y轴的对称点的坐标是（ 　　，　　）；关于原点的对称点的坐标是（ 　　，　　）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3坐标平面内图形的轴对称和平移 讲解目录 【知识点1】坐标与图形变化-对称 1 【知识点2】坐标与图形性质 1 【知识点3】利用轴对称设计图案 3 【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 3 【知识点5】作图-轴对称变换 3 【题型1】根据点的对称求字母的值 3 【题型2】坐标系中图形的平移 5 【题型3】写出点平移后的坐标 8 【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴 10 【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线 11 【题型6】坐标与图形变换--轴对称 13 【题型7】点的平移规律问题 17 【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标 24 知识讲解 【知识点1】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称      横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称      纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称      ①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）      ②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b） 【知识点2】坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 1.（2024春•韶关期末）在平面直角坐标系中，点A（-3，4），点B是x轴上任意一点，则线段AB的最小值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】过点A作AB⊥x轴，此时AB的长度最小，即可得出答案． 【解答】解：如图所示， 过点A作AB⊥x轴，此时AB的长度最小， 即AB的最小值为4． 故选：B． 2.（2024秋•历城区校级月考）已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．-1 D．3 【答案】C 【分析】根据直线AB∥x轴，即可得到A、B的纵坐标相同，由此求解即可． 【解答】解：∵点A（m+1，-2），点B（3，m-1）， ∴m-1=-2， 解得m=-1， 故选：C． 【知识点3】利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 【知识点5】作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 题型专练 【题型1】根据点的对称求字母的值 【典型例题】已点P1（a﹣1，5）和P2（3，b）关于x轴对称，则a+b的值为（　　） A.3 B.0 C.﹣1 D.1 【答案】C 【解析】∵点P1（a﹣1，5）和P2（3，b）关于x轴对称， ∴a﹣1＝3，b＝﹣5， ∴a＝4， ∴a+b＝4﹣5＝﹣1． 故选：C． 【举一反三1】已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则（　　） A.﹣5 B.5 C. D. 【答案】C 【解析】∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称， ∴a＝2，b＝3， 则． 故选：C． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（﹣7，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则（　　） A.m＝3，n＝7 B.m＝﹣3，n＝7 C.m＝3，n＝﹣7 D.m＝﹣3，n＝﹣7 【答案】D 【解析】∵A（﹣7，m）与点B（n，3）关于x轴对称， ∴n＝﹣7，m＝﹣3， 故选：D． 【举一反三3】已知点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1），则ab的值为（　　） A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3 【答案】A 【解析】因为点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1）， 所以a＝﹣1，b＝﹣2， 所以ab＝（﹣1）×（﹣2）＝2． 故选：A． 【举一反三4】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝　　． 【答案】-1 【解析】∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【举一反三5】已知点A（2，m+3），B（n，﹣4）关于y轴对称，则m+n＝　   　． 【答案】﹣9 【解析】∵点A（2，m+3），B（n，﹣4）关于y轴对称， ∴n＝﹣2，m+3＝﹣4， 解得m＝﹣7，n＝﹣2， ∴m+n＝﹣7﹣2＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【举一反三6】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝　　． 【答案】-1 【解析】∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【题型2】坐标系中图形的平移 【典型例题】如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（　　） A.（﹣x，y﹣2） B.（﹣x，y+2） C.（﹣x+2，﹣y） D.（﹣x+2，y+2） 【答案】B 【解析】∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′， ∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）． 故选：B． 【举一反三1】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（　　） A.（5，﹣2） B.（1，﹣2） C.（2，﹣1） D.（2，﹣2） 【答案】B 【解析】图中C点坐标为（3，3），根据平移时点的变化规律，平移后C点坐标为（3﹣2，3﹣5），即C（1，﹣2）． 故选：B． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（3，0）．现将线段AB平移，使点A，B分别平移到点A′，B'，其中点A′（1，4），则四边形AA'B'B的面积为 　  　． 【答案】6 【解析】如图，过点B′作B′E⊥AA′于点E，延长A′A交OB于点F． 由题意得，AB＝A′B′，AB∥A′B′， ∵点A（1，1），点B（3，0），点A′（1，4）， ∴AA′＝BB′＝3， ∵B′E⊥AA′， ∴四边形B′EFB是长方形， ∴AA′＝EF＝3， ∴四边形AA′B′B的面积＝四边形B′EFB的面积＝3×2＝6， 故答案为：6． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，4），（6，1），将线段AB先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应线段A'B'； （1）写出A′，B′两点的坐标：A'（ 　　，　　），B'（ 　　，　　）； （2）连接OA'，OB'，求三角形A′OB′的面积． 【答案】解：（1）A'（2，1），B'（4，﹣2）； 故答案为：2，1，4，﹣2； （2）如图： 三角形A′OB′的面积为4×32×12×34×2＝4． 【题型3】写出点平移后的坐标 【典型例题】点P（5，6）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的坐标是（　　） A.（7，9） B.（7，3） C.（3，9） D.（3，3） 【答案】C 【解析】根据题意，平移后点P的坐标的横坐标为：5﹣2＝3；纵坐标为6+3＝9； 即（3，9）． 故选：C． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（　　） A.（2，﹣3） B.（﹣4，﹣3） C.（﹣1，0） D.（﹣1，﹣6） 【答案】D 【解析】平移后点A的坐标为（﹣1，﹣3﹣3），即A（﹣1，﹣6）， 故选：D． 【举一反三2】把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（　　） A.（1，﹣3） B.（﹣3，﹣1） C.（﹣1，﹣3） D.（﹣3，1） 【答案】C 【解析】把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（2﹣3，﹣3），即（﹣1，﹣3）． 故选：C． 【举一反三3】在平面直角坐标系内，线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　） A.（﹣8，﹣3） B.（4，2） C.（0，1） D.（1，8） 【答案】C 【解析】点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），可知横坐标由﹣2变为2，向右移动了4个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位， 于是B（﹣4，﹣1）的对应点D的横坐标为﹣4+4＝0，点D的纵坐标为﹣1+2＝1， 故D（0，1）． 故选：C． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移4个单位后所得的点的坐标是（　　） A.（1，4） B.（﹣7，4） C.（﹣3，0） D.（﹣3，8） 【答案】B 【解析】将点A（﹣3，4）向左平移4个单位长度得到的点坐标为（﹣7，4）， 故选：B． 【举一反三5】将点K（﹣1，1）向右平移2个单位所得的对应点的坐标为 　    　． 【答案】（1，1） 【解析】将点K（﹣1，1）向右平移2个单位， 即横坐标加2，纵坐标不变． ∴对应点的坐标为（1，1）． 故答案为：（1，1）． 【举一反三6】将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是 　    　． 【答案】（1，﹣1） 【解析】点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是（﹣2+3，﹣3+2），即（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【举一反三7】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移3个单位后所得的点的坐标是 　   　． 【答案】（﹣6，4） 【解析】将点A（﹣3，4）向左平移3个单位后所得的点的坐标（﹣6，4）， 故答案为：（﹣6，4）． 【举一反三8】将点（1，2）向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后所得的点的坐标为 　    　． 【答案】（﹣1，5） 【解析】由题意可得，平移后点的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为2+3＝5， ∴所得的点的坐标为（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5）． 【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴 【典型例题】将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘﹣1，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是（　　） A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.沿x轴向左平移1个单位长度 D.沿y轴向下平移1个单位长度 【答案】B 【解析】将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘﹣1，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是关于x轴对称， 故选：B． 【举一反三1】平面内点A（﹣1，2）和点B（1，2）的对称轴是（　　） A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝﹣1 【答案】B 【解析】根据题意，可得平面内点A和点B的横坐标相反而纵坐标相等，故点A和点B关于y轴对称． 故选：B． 【举一反三2】在平面直角坐标系内，点P（1，2），点Q（1，﹣2），那么点P与点Q的对称轴是　   　． 【答案】x轴 【解析】∵点P（1，2），点Q（1，﹣2）， ∴点P与点Q的对称轴是：x轴． 故答案为：x轴． 【举一反三3】已知（如图所示）A（3，2），B（3，4），C（﹣4，﹣2），D（2，﹣2）， （1）A与B是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴； （2）C与D是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴； （3）已知点M（﹣1，﹣3），写出它关于x＝2对称的对称点N的坐标和它关于直线y＝1对称的对称点Q的坐标． 【答案】解：如图所示， （1）A与B是对称点，对称轴是直线y＝3； （2）C与D是对称点，对称轴是直线x＝﹣1； （3）点M（﹣1，﹣3）关于x＝2对称的对称点N的坐标（5，﹣3），关于直线y＝1对称的对称点Q的坐标（﹣1，5）． 【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线 【典型例题】在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是（　　） A.先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移5个单位，再向下平移3个单位 C.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D.先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 【答案】B 【解析】根据A的坐标是（0，2），点A′（5，﹣1）， 横坐标加5，纵坐标减3得出，故先向右平移5个单位，再向下平移3个单位， 故选：B． 【举一反三1】点（a﹣2，b+2）经过平移变换得到点（a，b），则这个平移变换是（　　） A.先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】C 【解析】点（a﹣2，b+2）向右平移2个单位、向下平移2各单位后坐标为（a﹣2+2，b+2﹣2）， 即经过平移变换得到点（a，b）， 故选：C． 【举一反三2】在直角坐标平面内，点P（﹣5，0）向　  　平移m（m＞0）个单位后落在第三象限．（填“上”或“下”或“左”或“右“） 【答案】下 【解析】∵P（﹣5，0）在x轴的负半轴上， ∴点P向下平移落在第三象限， 故答案为下． 【举一反三3】在如图所示的平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E、F、G都在网格的交叉点上，已知点A的坐标是（0，3）．回答下列问题： （1）B点的坐标是 　  　，D点的坐标是 　    　； （2）这些点中到x轴的距离是5的点有 　   　； （3）将点E怎样平移可以和点F重合？ 【答案】解：（1）B（1，﹣3），D（﹣3，﹣5）． 故答案为：（1，﹣3）（﹣3，﹣5）； （2）这些点中到x轴的距离是5的点有C、D、E． 故答案为：C、D、E； （3）点E向上平移1个单位，再向右平移2个单位可以和点F重合； 【题型6】坐标与图形变换--轴对称 【典型例题】已知点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于某条直线对称，则这条直线是（　　） A.x轴 B.y轴 C.过点（2，0）且垂直于x轴的直线 D.过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线 【答案】A 【解析】∵点P（2，﹣3），点Q（2，3）， ∴PQ∥y轴， 设PQ的中点为M， 则M点坐标为，即（2，0）， ∴点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于经过点（2，0）且垂直于y轴的直线对称， 即点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于x轴对称，故A正确． 故选：A． 【举一反三1】点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（　　） A.关于直线x＝2对称 B.关于直线y＝2对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 【答案】A 【解析】点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝2对称， 故选：A． 【举一反三2】如图，将点A（﹣1，2）关于x轴作轴对称变换，则变换后点的坐标是（　　） A.（1，2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，﹣2） D.（﹣2，﹣1） 【答案】C 【解析】∵将点A（﹣1，2）关于x轴作轴对称变换， ∴变换后点的坐标是（﹣1，﹣2）， 故选：C． 【举一反三3】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 　   　． 【答案】（0，3） 【解析】如图，A，A′关于直线y＝x对称， ∵直线y＝x是第一、三象限的平分线，点A（3，0）， ∴A′在y轴上，OA′＝OA＝3， ∴A′的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【举一反三4】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　    　． 【答案】（4，4） 【解析】过点（3，0）且平行于y轴的直线l为：x＝3， ∵点A与点B关于直线x＝3对称，且A（2，4）， ∴点B的纵坐标为4， 设点B的横坐标为x， 则，解得：x＝4， ∴B点的坐标为（4，4）， 故答案为：（4，4）． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD＝5，△ABC关于直线l对称． （1）求点A的坐标； （2）若点C的坐标为（﹣2，﹣2），判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD＝5， ∴点A的坐标为（﹣5，1）； （2）△ABC为等腰直角三角形， 理由：如图，设直线l与BC交于点E， ∵△ABC关于直线l对称， ∴BC⊥AD，BE＝CE，AB＝AC， ∵点C的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴点E的坐标为（﹣2，1）， ∴AE＝CE＝3， ∴∠CAE＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形． 【题型7】点的平移规律问题 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0）第1次向右跳动1个单位至点P1（1，0），紧接着第2次向上跳动1个单位至点P2（1，1），第3次向左跳动2个单位至点P3（﹣1，1），第4次向上跳动1个单位至点P4，第5次又向右跳动3个单位至点P5，第6次向上跳动1个单位至点P6，…照此规律，P2026的坐标是（　　） A.（﹣506，1012） B.（507，1012） C.（507，1013） D.（506，1013） 【答案】C 【解析】设第n次跳动至点Pn，观察发现：P1（1，0），P2（1，1），P3（﹣1，1），P4（﹣1，2），P5（2，2），P6（2，3），P7（﹣2，3），P8（﹣2，4），P9（3，4），..． ∴P4n（﹣n，2n），P4n+1（n+1，2n），P4n+2（n+1，2n+1），P4n+3（﹣n﹣1，2n+1），（n为自然数）， ∵2026＝506×4+2， ∴P2026（506+1，506×2+1），即（507，1013）． 故选：C． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系上有个点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（　　） A.（﹣506，1012） B.（﹣507，1012） C.（507，1012） D.（506，1013） 【答案】B 【解析】设第n次跳动至点An， 观察，发现：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），…， ∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）， ∵2024＝506×4， ∴A2024（﹣506﹣1，506×2），即（﹣507，1012）． 故选：B． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，小张玩走棋游戏，其走法：棋子从点（1，0）位置出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完2023步时，棋子所处的位置坐标是（　　） A.（2023，674） B.（2023，675） C.（2024，674） D.（2024，675） 【答案】C 【解析】设走完第n步时，棋子所处的位置为点Pn（n为自然数）， 观察，发现规律：P1（2，0），P2（4，0），P3（4，1），P4（5，1），…， ∴P3n+1（3n+2，n），P3n+2（3n+4，n），P3n+3（3n+4，n+1）， ∵2023＝3×674+1， ∴当n＝674时， ∴P2023（2024，674）． 故选：C． 【举一反三3】如图，将点A1（1，1）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；将点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；将点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4…按这个规律平移得到点An，则点A2024的横坐标为（　　） A.22024 B.22024﹣1 C.22023﹣1 D.22003+1 【答案】B 【解析】点A1的横坐标为1＝21﹣1， 点A2的横坐为标1+2＝3＝22﹣1， 点A3的横坐标为1+2+4＝7＝23﹣1， 点A4的横坐标为1+2+4+8＝15＝24﹣1， ……， ∴点An的横坐标为2n﹣1， ∴点A2024的横坐标为22024﹣1， 故选：B． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别沿BC，BD向左、右分别运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从 C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（　　） A.（﹣2023，4048） B.（﹣2024，4048） C.（﹣2024，4046） D.（﹣2021，4048） 【答案】D 【解析】由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减少1， 则动点A完成第2024次跳跃时，所有到达点的纵坐标为2024×2＝4048，左边第一个点横坐标为：1﹣2024＝﹣2023， 所以从左往右数的第二个点的坐标是（﹣2021，4048）． 故选：D． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，设一动点P自P0（2，0）处向下运动1个单位长度至P1（2，﹣1）处，然后向左运动2个单位长度至P2（0，﹣1）处，再向上运动2个单位长度至P3（0，1）处，再向左运动2个单位长度至P4（﹣2，1）处，再向下运动2个单位长度至P5（﹣2，﹣1）处，…，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…），则P2023的坐标是 　     　． 【答案】（﹣2025，1） 【解析】根据点P的运动方式可知， 点P1的坐标为（2，﹣1）； 点P2的坐标为（0，﹣1）； 点P3的坐标为（0，1）； 点P4的坐标为（﹣2，1）； 点P5的坐标为（﹣2，﹣1）； 点P6的坐标为（﹣4，﹣1）； 点P7的坐标为（﹣4，1）； 点P8的坐标为（﹣6，1）； 点P9的坐标为（﹣6，﹣1）； …， 由此可见，点P4n﹣3的横坐标为﹣4n+6，纵坐标为﹣1． 当n＝506时， 4n﹣3＝4×506﹣3＝2021， ﹣4n+6＝﹣4×506+1＝﹣2023， 所以点P2021的坐标为（﹣2023，﹣1）， 所以点P2023的坐标为（﹣2025，1）． 故答案为：（﹣2025，1）． 【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 　      　． 【答案】512572 【解析】∵点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…， ∴从点A开始，第偶数个点A2n的横坐标为： ， 纵坐标为：； 当第2024个点A2024时，2n＝2024， 解得：n＝1012， ∴A2024的横坐标为：． 故答案为：512572． 【举一反三7】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 　      　． 【答案】512572 【解析】∵点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…， ∴从点A开始，第偶数个点A2n的横坐标为： ， 纵坐标为：； 当第2024个点A2024时，2n＝2024， 解得：n＝1012， ∴A2024的横坐标为：． 故答案为：512572． 【举一反三8】如图，点A（0，0），向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点A1：点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向 上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3：点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4：……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为　   　． 【答案】2n﹣1 【解析】点A1的横坐标为1＝21﹣1，点A2的横坐为标3＝22﹣1，点A3：的横坐标为7＝23﹣1，点A4的横坐标为15＝24﹣1， 按这个规律平移得到点An为2n﹣1， 故答案为2n﹣1 【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标 【典型例题】在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（　　） A.（3，﹣2） B.（3，2） C.（﹣3，﹣2） D.（﹣3，2） 【答案】B 【解析】点（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为：（3，2）． 故选：B． 【举一反三1】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　） A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2） 【答案】A 【解析】∵点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8）， ∴点B的坐标是：（﹣2，﹣8）． 故选：A． 【举一反三2】点（5，﹣2）关于x轴的对称点是（　　） A.（5，﹣2） B.（5，2） C.（﹣5，2） D.（﹣5．﹣2） 【答案】B 【解析】5，﹣2）关于x轴的对称点为（5，2）， 故选：B． 【举一反三3】已知一点A（2，0），则点A关于y轴的对称点是（　　） A.（﹣2，0） B.（0，﹣2） C.（0，2） D.（﹣2，﹣2） 【答案】A 【解析】已知一点A（2，0），则点A关于y轴的对称点是（﹣2，0）． 故选：A． 【举一反三4】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　） A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2） 【答案】A 【解析】∵点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8）， ∴点B的坐标是：（﹣2，﹣8）． 故选：A． 【举一反三5】在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 　    　． 【答案】（﹣3，1） 【解析】点A（3，1）与点B关于y轴对称，则B的坐标为（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 【举一反三6】点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是　    　，关于y轴对称的点的坐标是　      　． 【答案】（2，3），（﹣2，﹣3） 【解析】点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 （2，3），关于y轴对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3）． 故答案为（2，3），（﹣2，﹣3）． 【举一反三7】若（b+2）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为　          　． 【答案】（﹣3，﹣2） 【解析】∵（b+2）2＝0， ∴a＝3，b＝﹣2； ∴点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2）． 【举一反三8】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于x轴的对称点的坐标是（ 　　，　　）；关于y轴的对称点的坐标是（ 　　，　　）；关于原点的对称点的坐标是（ 　　，　　）． 【答案】（﹣2，﹣5），（2，5），（2，﹣5） 【解析】点P（﹣2，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣5）；关于y轴的对称点的坐标是（2，5）；关于原点的对称点的坐标是（2，﹣5）． 故答案为：（﹣2，﹣5），（2，5），（2，﹣5）． 学科网（北京）股份有限公司 $