4.3坐标平面内图形的轴对称和平移（分层作业，15大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型02 作图——轴对称变换 题型03 图形在平面直角坐标系中的平移 题型04 根据平移确定点的位置 题型05 求平移后点的坐标 B组 能力进阶 题型01 由平移方式确定点的坐标 题型02 由平移前后点的坐标确定平移方式 题型03 由平移后点的坐标求原坐标 题型04 中点坐标 C组 思维拔高 题型01 平移与坐标的变化规律问题 题型02 坐标与轴对称的变化规律问题 题型03 平面直角坐标系中点的规律探究问题 题型04 面积与坐标 题型05 平移与几何综合问题 题型06 坐标平移与新定义问题 关于x轴、y轴对称的点的坐标题型01 1．（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此判断即可． 【详解】解：关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 故点关于轴的对称点坐标是． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知点关于轴的对称点为点，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标平面内关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，即可分别求出点B和点C的坐标． 【详解】解：根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数， 且点坐标为，点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为， 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则_________． 【答案】0 【分析】直接利用关于直线对称点的坐标特点：横坐标不变，是两个点的纵坐标的中点，得出的值，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于直线对称 故答案为：0． 【点睛】本题考查了关于直线对称点的性质，解决问题的关键是正确得出的值. 5．点P（a＋2，2a﹣5）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据P关于y轴的对称点在第二象限，可得点P在第一象限，再根据第一象限内点的坐标符号列不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】∵点P（a+2，2a-5）关于y轴的对称点在第二象限， ∴点P在第一象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 作图——轴对称变换题型02 1．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是添加一个点，使四点构成的图形为轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．根据轴对称的定义分析即可． 【详解】解：如图所示， C点的位置为，，A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形为轴对称图形； C点的位置为，x轴是对称轴， C点的位置为，直线为对称轴 满足的有：，，，． 故选：D 2．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·质检）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所作，点的坐标为； (2) 【分析】本题考查作图—轴对称图形， （1）根据轴对称的性质，得出的三个顶点各个对应点，再顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可； 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）略 （2）点关于轴的对称点的坐标为． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)求的面积； (2)作出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查网格中求三角形面积、网格中对称作图及写出点的坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）由网格中的，利用三角形面积公式代入计算即可得到答案； （2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，连接点即可得到，数形结合即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： 的面积为； （2）解：如图所示： ． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，点即为所求． 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是画出图形． （1）利用轴对称的性质分别作出点、的对应点分别为点、，依次连接即可； （2）作点关于轴对称的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，故点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 如图，即为所求作； (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、关于坐标轴对称或关于直线对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中画图以及关于对称找点的坐标特征是解题的关键． （1）首先根据点关于y轴对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （2）首先根据点关于直线对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （3）首先利用轴得到横坐标相等，再根据线段的长度为4，得到存在两个满足条件的点D，再进行求解即可； （4）利用点关于直线对称的坐标特征，直接列出方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点， ∵线段轴，且线段的长度为4， ∴，， ∴点或； （4）解：∵点关于直线的对称点为， ∴，解得：， ∴点的坐标是． 图形在平面直角坐标系中的平移题型03 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，三架飞机A，B，C保持编队飞行（即在同一平面内，三架飞机相对距离保持不变）．某时刻在坐标系中的坐标分别为．不久后，飞机A飞到位置，则飞机的位置为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出平移规律是解题的关键． 直接利用A点平移规律进而得出B点平移后位置，即可得出答案． 【详解】解：，， 是点A向左平移4个单位，向上平移5个单位长度， ， ， 故选C 2．（25-26·陕西榆林·期中）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______． 【答案】 【分析】由将线段向右平移4个单位长度，可得点A向右边平移了4个单位与C对应，再利用“右移加”即可得到答案． 【详解】解：∵将线段向右平移4个单位长度， ∴点A向右边平移了4个单位与C对应， ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是平移的坐标变化规律，熟记“右移加，左移减，上移加，下移减”是解本题的关键． 4．如图，第二象限内有两点，，将线段平移使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 【答案】或 【分析】设平移后点A、B的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上．本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是、． 分两种情况：①在y轴上，在x轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ∵点与点A的横坐标的差为：， ∴， ∴点B平移后的对应点的坐标是；； ②在x轴上，在y轴上．，则纵坐标为0，横坐标为0， ∵点与点A的纵坐标的差为：， ∴， ∴点B平移后的对应点的坐标是；； 故答案为：或． 5．（25-26七年级·甘肃·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．将三角形经过平移后得到三角形，已知点． (1)点的坐标是_______； (2)画出平移后的三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先根据点的坐标确定平移方式，然后确定点的坐标即可； （2）首先确定点在平面直角坐标系中的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴该三角形的平移方式为先向右移动4个单位长度，再向下移动1个单位长度， ∵， ∴平移后点的坐标为； （2）如下图，即为所求． 根据平移确定点的位置题型04 1．点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：将点先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到点，结合图象，可知点符合题意． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的点B是直角坐标系中（    ） A．第一象限的点 B．第二象限的点 C．第三象限的点 D．第四象限的点 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标与图形变化—平移，判断点所在的象限，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出的坐标，每个象限内点的特征即可得到答案． 根据平移规律确定点B的坐标，再判断其所在象限．向右平移4个单位，横坐标加4；向下平移1个单位，纵坐标减1．计算后点B的坐标为，位于第一象限． 【详解】解：将点向右平移4个单位，横坐标变为；再向下平移1个单位，纵坐标变为， 因此点的坐标为． 在平面直角坐标系中，第一象限的点横、纵坐标均为正数，故点在第一象限， 选选：A． 3．（25-26·北京·期末）将点向左平移个单位长度后落在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用轴上点的横坐标为列方程，解方程即可． 【详解】解：将点向左平移个单位长度所得到的点的坐标为，即为， ∵将点向左平移个单位长度后落在轴上， ∴点在轴上， ∴， ∴． 4．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 【答案】4 【分析】当正方形的顶点不是整点时，就能保证有更多的整点位于正方形内部． 【详解】解：正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有4个，如图所示． 5．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，－2a）． （1）当a＝－1时，点M在坐标系的第_____象限；（直接填写答案） （2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围． 【答案】（1）二；（2）＜a＜2 【分析】（1）当a=-1时点M的坐标为（-1，2），所以M在第二象限； （2）根据平移方法，可得到N点坐标，N在第三象限，所以横坐标小于0，纵坐标小于0解不等式组可得a的取值范围． 【详解】解：（1）当a=-1时点M的坐标为（-1，2），所以M在第二象限， 故填“二”； （2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N， 点M的坐标为（a，-2a），所以N点坐标为（a-2，-2a+1）， 因为N点在第三象限，所以， 解得＜a＜2， 所以a的取值范围为＜a＜2． 【点睛】本题考查了图形的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变． 求平移后点的坐标题型05 1．在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向上平移一个单位，则得到的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，沿y轴平移时横坐标不变，只改变纵坐标，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点沿轴方向向上平移个单位， ∴平移后点的坐标为． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据的长度，得计算B点的纵坐标即可． 本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：根据A点的坐标为，轴， 得到， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故B点的坐标为或， 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期末）平面直角坐标系中，将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则下列结论：①点的坐标为；②线段的长为个单位长度；③线段所在的直线与轴垂直；④点可能在线段上；⑤点一定在线段上．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标，根据平移的性质确定点Q的坐标，进而判断各结论的正确性． 【详解】解：将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则点的坐标为，故①正确； ∵，点的坐标为； ∴，故②正确； ∵P和Q的横坐标相同，纵坐标不同， ∴线段轴，故③正确； 点的横坐标与相同，纵坐标需满足， ∵， ∴，且， 因此，点M一定在线段上，故结论④正确； 点的横坐标与相同，纵坐标需满足， 当时，，此时点N不在线段上， 因此，点N不一定在线段上，故结论⑤错误， 综上：正确的结论为①②③④，共4个， 故选：C． 4．已知轴，点A的坐标为，B在A的右侧），则点B的坐标是___________________． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，确定点的纵坐标，再根据点在点的右侧，计算得到点的横坐标即可． 【详解】解：轴，点的坐标为，， 点的纵坐标为， 点在点的右侧， 点的横坐标为， 此时点的坐标为． 5．（24-25七年级下·海南·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，标出满足下列条件的各点，并分别写出它们的坐标． (1)点在轴上、轴的左侧，且到轴的距离为3个单位长度； (2)点在轴上、轴的下方，到轴的距离为2个单位长度； (3)点在第四象限，且到两条坐标轴的距离均为4个单位长度； (4)点在轴的右侧，到轴的距离为3个单位长度，到轴的距离为2个单位长度； (5)由点沿着轴向上平移5个单位得到点． 【答案】(1)如图所示，即为所求 (2)如图所示，即为所求 (3)如图所示，即为所求 (4)如图所示，或即为所求 (5)如图所示， 【分析】（1）因为点在轴上、轴的左侧，得出点的横坐标为负数，纵坐标为0，结合到轴的距离为3个单位长度，即可作答． （2）因为点在轴上、轴的下方，得出点B的纵坐标为正数，横坐标为0，结合到轴的距离为2个单位长度，即可作答． （3）因为点在第四象限，得点的横坐标为正数，纵坐标为负数，再结合到两条坐标轴的距离均为4个单位长度，再写出对应点的坐标即可． （4）根据点在轴的右侧，所以点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标，在坐标系中先描出点的位置，再写出点的坐标即可． （5）根据由点沿着轴向上平移5个单位得到点，列式计算，即可作答． 本题主要考查了点的坐标，点到坐标轴的距离，熟知到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】（1）解：略； （2）解：略 （3）解：略 （4）解：略； （5）解：略． 由平移方式确定点的坐标题型01 1．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点平移的坐标变化规律：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，即可求解． 【详解】解：∵将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点， ∴点的坐标为，即． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系．熟练掌握了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系是解题的关键． 坐标系平移时，点在新坐标系中的坐标可通过点相对于原坐标系进行相反的平移得到．轴向上平移2个单位，相当于点向下平移2个单位；轴向左平移3个单位，相当于点向右平移3个单位． 【详解】∵轴向上平移2个单位， ∴ 点的坐标减少2； ∵轴向左平移3个单位， ∴ 点的坐标增加3． ∴ 新坐标，，即点在新坐标系中的坐标为． 故选D． 3．如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解． 【详解】连接，过C点作于点M，如图， 根据平移有：， ∴， 根据翻转，可知：，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴，即， 根据对称，点O的对应点为点C，有：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴解得：，即， ∴， ∵， ∴根据平移可知：点C向右平移得到点F， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键． 4．（25-26八年级下·广东清远·期末）将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点在平面直角坐标系中的平移规律解答即可． 【详解】解：已知点的坐标为，将点沿轴正方向平移个单位长度， 则平移后纵坐标不变，横坐标增加， 故点的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将平移，使点与点重合，点，的对应点分别是点，． (1)请画出平移后的； (2)点是内一点，当平移到时，点的对应点的坐标为（________，________）． 【答案】(1) 解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： ； (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点P的对应点的坐标为， ∴点P的坐标为； 由平移前后点的坐标确定平移方式题型02 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点， ∴， 解得． 2．在平面直角坐标系中，点A'（2，﹣3）可以由点A（﹣2，3）通过两次平移得到，正确的是（　　） A．先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 【答案】D 【分析】利用点A与点的横纵坐标的关系确定平移的方向和平移的距离即可． 【详解】把点先向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到点． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加或减去一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移a个单位长度．掌握平移规律是解题的关键. 3．（25-26七年级·山西忻州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，平移后点的坐标为，点的坐标为，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段平移的坐标变化规律：左右平移，横坐标左减右加；上下平移，纵坐标上加下减；平移前后对应点的坐标变化规律一致，即横坐标、纵坐标的变化量分别相等；先通过点A与点的纵坐标变化，求出平移的纵坐标变化量；再通过点B与点的横坐标变化，求出平移的横坐标变化量；利用该变化量，分别求出，的值，进而计算． 【详解】点的坐标为， 线段向下平移了一个单位长度， 点的坐标为， 线段向左平移了3个单位长度， ，， ． 4．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________； (2)是由怎样平移得到的？ (3)若点是内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)，，； (2)是由向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； (3)m和n的值分别为和． 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标的平移，二元一次方程组的应用，利用数形结合 的思想解决问题是关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出坐标即可； （2）由平面直角坐标系可知，点的对应点，进而得出点的平移方式，即可作答； （3）结合（2）的平移方式，列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：由平面直角坐标系可知，点的对应点， 点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 是由向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； （3）解：点是内部一点，平移后对应点N的坐标为， ，解得：， m和n的值分别为和． 5．已知，，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求出的度数； (3)如图2，把直线以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点． 【答案】(1)，， (2) (3)3秒 【分析】本题考查了坐标与图形的平移、与角平分线有关的三角形内角和问题、非负数的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题． （2）延长交的延长线于H，设，，设交x轴于F，想办法求出的值即可解决问题． （3）利用图象法，解决问题即可． 【详解】（1）∵． 又∵，，， ∴，， ∴，， （2）延长交的延长线于H．，，设交x轴于F． ∵， ∴，， ∵． ∴， ∴， 在，． （3）如图，观察图象可知，直线向左平移3个单位，经过， 解法二：设直线向左平移后的直线为，过点B作轴交直线于C．设， ∵ ∴， ∴， 所以，即经过3秒后，该直线与y轴交于点． 由平移后点的坐标求原坐标题型03 1．（24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，逆向思考，把点向下平移个单位长度后即可得到点的坐标．解题的关键是掌握点平移的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此解答即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位长度后的坐标为，即， ∴点的坐标为． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且， 将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段， ∵点B的对应点为， ∴， 点的坐标为． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：把原点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为， 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点；若将点向上平移可得到点，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据向左边平移，点的纵坐标不变可得点的纵坐标为2，根据向上平移，点的横坐标不变可得点的横坐标为3，由此即可得． 【详解】解：将点向左平移可得到点， 点的纵坐标为2， 将点向上平移可得到点， 点的横坐标为3， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到． (1)请画出平移后的； (2)求的面积； (3)已知点为中任意一点，按照的平移规则平移后的对应点为，若的坐标，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) 解：如图，即为所求： (2) (3)点的坐标为 【分析】本题考查了坐标点的平移、三角形的面积公式，利用平移的性质正确作图是解题的关键． （1）利用平移的性质分别画出顶点的对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用割补法即可求出的面积； （3）设点的坐标为，利用平移的规则和点的坐标表示出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：的面积． （3）解：设点的坐标为， 根据平移规则可得，点向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到点， ， 解得：， 点的坐标为． 中点坐标题型04 1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的中点坐标为． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理解题． 【详解】解：由题意知，，即， ∴． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点，N， ∴线段MN的中点 ∵点恰好位于轴上，且到轴的距离是3， ∴ 解得：或 ∴或 综上所述，的值等于或 故答案为：或． 4．（25-26七年级·河南开封·期末）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，则线段的中点的坐标是______． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据已知条件代入点的坐标计算即可． （2）设点，根据已知点坐标和中点的坐标列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴线段的中点的坐标为， 即； （2）解：设点， 根据题意可得：， 解得， ∴点的坐标为． 5．（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 平移与坐标的变化规律问题题型01 1．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点；按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点坐标规律的探索，理解题意找到坐标变化的规律是解题的关键． 根据题意可知，，，……，由此得到,进行求解即可． 【详解】解： 由题意可得：，， …， 以此类推可知当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限， ∵， ∴点在第三象限， ∵，，， ∴可以推出， ∴，即 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，平移点一次，可以得到点或点．将点进行若干次这样的平移后得到的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移（已知点平移前后的坐标，判断平移方式；由平移方式确定点的坐标），解二元一次方程组（求二元一次方程组的非负整数解）等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——平移及二元一次方程组的解法是解题的关键． 由题意可知，平移点一次，可以得到点或点，即横坐标，纵坐标或横坐标，纵坐标，则将点进行次横坐标，纵坐标和次横坐标，纵坐标的平移后得到的点的坐标为，即，其中，、均为非负整数，然后，分别利用各选项坐标建立二元一次方程组，求其非负整数解即可． 【详解】解：由题意可知，平移点一次，可以得到点或点， 即：横坐标，纵坐标或横坐标，纵坐标， 则将点进行次横坐标，纵坐标和次横坐标，纵坐标的平移后得到的点的坐标为，即， 其中，、均为非负整数， 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 则， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 则， 故方程组的非负整数解为，选项符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 故选：． 3．在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键． 根据题意，计算出各点的坐标，找出规律，由此得出结果． 【详解】解：∵的坐标为，的坐标为，的坐标为，且点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3， ∴的横坐标为：， 的纵坐标为：， ∴当时，，， 故点的坐标为， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知：下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限， 因为，，，…， ∴， 当时，， 所以点的坐标为． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0； (2) (3)向右． 【分析】（1）本题考查了在平面坐标系中点的坐标特点，根据题意知道按向上、向右、向下、向右的方向每次移动1个单位，即可解题． （2）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，观察点的位置，由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，得出的值，再根据点在轴的正半轴上，即可解题． （3）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，根据点的坐标，分析可得点的坐标，再结合题意知道按方向每次移动1个单位，得到点和点的坐标，即可解题． 【详解】（1）解：由图可知，点，点，点都在轴的正半轴上， 小蚂蚁每次移动1个单位， ，，， ，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0． （2）解：由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期， ，点在轴的正半轴上， ． （3）解：当时， ， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 蚂蚁从点到点的移动方向为向右． 坐标与轴对称的变化规律问题题型02 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中点的对称变换和平移变换，由，根据题意得第一次变换后点的坐标变为；第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；第四次变换后点的坐标变为；；则有奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，然后通过规律即可求出连续经过次变换后点的坐标，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第一次变换后点的坐标变为； 第二次变换后点的坐标变为； 第三次变换后点的坐标变为； 第四次变换后点的坐标变为； ； ∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”， ∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标变为， 故选：． 2．（2025·山西吕梁·模拟）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称及规律探索．先求得点的坐标是，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征“关于轴对称的点坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，找到图形的变换规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，且，点为的中点，∴点的坐标是， 由题意可得，图形第一次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第二次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第三次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第四次关于轴对称后，点的对应点的坐标是，与原点重合， 由此可得，点的对应点的坐标随图形变换每4次一循环， ， 图形经过第2025次变换后，相当于第一次关于轴对称后的图形，此时点的对应点的坐标为， 故选：C． 3．（24-25八年级·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律探索，先根据前面几个点的坐标发现并总结出规律是解题的关键．根据题意得出，，，，总结得出坐标规律，则，最后写出结果即可． 【详解】解：由题意可得，点，将先关于x轴对称，再向右平移一个单位长度得到，继续对称平移后得到，，， ∴由点坐标规律可得， ∴的坐标为． 故选：D． 平面直角坐标系中点的规律探究问题题型03 1．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成，，；第二次将变换成，，，第三次将变换成，…，则的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标，发现点的横坐标依次增加2倍是解题的关键．依次求出点，，，…，的横坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点B的横坐标为：， 点的横坐标为：， 点的横坐标为：， …， 依次类推，点的横坐标为：； 当时， 点的横坐标为． 故选：D． 2．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着循环爬行，其中A的坐标为，B的坐标为，C的坐标为，D的坐标为．当蚂蚁爬了2024个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索，由题意知：，，，，可求出蚂蚁爬行一周的路程为12个单位，然后求出2024个单位能爬168圈还剩8个单位，结合图形即可确定位置为．根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键． 【详解】解：由题意知：，，，， ∴蚂蚁爬行一周的路程为：（单位）， （圈）（单位），即离起点差4个单位， 即蚂蚁爬行2024个单位时，所处的位置是点的位置， ∴其坐标为． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点，，，，…，用你发现的规律确定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出，再根据所给的坐标，找出规律的坐标是，再把代入即可． 【详解】解：设， 当时，，即，， 当时，，即，； 当时，，即，； 当时，，即，； 的坐标是， 点的坐标为，， 点的坐标为，． 故选B． 【点睛】此题考查了点的坐标，通过观察找出点的横坐标和纵坐标与的关系，的坐标是是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为(      ) 　 A．(14，8) B．(13，0) C．(100，99) D．(15，14) 【答案】A 【分析】由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由，，可得第91个点的坐标为，第100个点横坐标为14，继而求得答案． 【详解】解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、，且横坐标是偶数时，箭头朝上， ，， 第91个点的坐标为，第100个点横坐标为14． 在第14行点的走向为向上， 纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8； 第100个点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 5．长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 面积与坐标题型04 1．已知每个小正方形网格的边长为1，在如图所示的平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在网格交点上． (1)写出点A，B的坐标； (2)画出三角形ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位后得到的三角形A1B1C1； (3)求三角形ABC的面积． 【答案】（1）A（-5，5  ）B（0，-3) ； （2）如图， (3) 【分析】（1）根据点与坐标的关系解答即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移5个单位，向下平移2个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （3）直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：（1）A（-5，5  ）B（0，-3) ； （2）略 （3）三角形ABC的面积= 【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)和关于轴对称，点，的对应点分别为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若与关于轴对称，点，的对应点分别为，请写出点和点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)；； (2) (3)的面积为 【分析】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，三角形的面积； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解； （3）根据长方形的面积，减去三个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，和关于轴对称， ∴，， 故答案为：     ． （2）∵与关于轴对称， ∴． （3）． 答：的面积为11.5． 3．如图，在平面直角坐标系中，若三角形是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，已知：，，．    (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)点在轴上，若三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) 如图，三角形即为所求；    (2)2.5； (3)或． 【分析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 利用分割法求出三角形的面积即可； 设，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点经过平移后的对应点为， ∴平移规则为：先向左平移4个单位，再向上平移2个单位； （2）三角形的面积； （3）设点，由题意，得：， ， 点的坐标或． 【点睛】本题考查作图平移变换，坐标与图形性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． 4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内． (1) ________， ________，点B的坐标为________． (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积： (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动（即：沿着长方形移动一周）．在移动过程中，是否存在点P使，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4；6； (2)9 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，非负性的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据非负数的性质可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）利用割补法求出三角形面积即可； （3）分四种情况讨论：当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴， ∴，， 由长方形的性质可得， ∴点B的坐标是． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∵点D、E分别为、的中点， ∴，， ； （3）解：当点P在上时，根据题意可知：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意可知：， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意得：， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意得：， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或或或． 5．（2025·吉林·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为．设，正方形与重叠部分的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①；② 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形在坐标系中的位置与平移，等腰直角三角形的性质、正方形的性质，分情况讨论确定重叠部分的面积． （1）过点作于点，根据是等腰直角三角形，得到，得到点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标． （2）①当点与点重合时，得到，即； ②分别讨论当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质得到对应的关于的表达式． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是, 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①当点与点重合时，如下图所示， ， 此时， ， ②当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图①所示， ， 由题意，得， ， 当时， 正方形与重叠部分为五边形， 如图②所示， , 由图可知：, 由（1）可知：，，， ， ， 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图③所示， ， 由题意，得， ， ， 整理得：， 综上所述，． 平移与几何综合问题题型05 1．（25-26七年级·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、．把三角形向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，平移后点，，的对应点分别为，，． (1)画出平移后的三角形； (2)写出点，的坐标； (3)写出线段与之间的位置和大小关系． 【答案】(1)解：如图所示： (2)， (3)， 【分析】（1）利用坐标平移的变化规律求解即可； （2）由（1）可得点，的坐标； （3）利用平移图形对应点连线平行且相等的性质可得出线段关系． 【详解】（1）解：向上平移个单位长度，纵坐标，向右平移个单位长度，横坐标， 故平移后点，，对应点的坐标分别为、、，即、、， 图略； （2）略 （3）解：如图，连接、： 平移后点，，的对应点分别为，，， ，． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出平移后的三角形，写出的坐标； (2)连接，D为上的动点，求出的最小值． 【答案】(1) 如图，三角形即为所求． 由图可得，的坐标为 (2)CD的最小值为 【分析】本题考查作图——平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值， 的最小值为． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为原点建立平面直角坐标系，其中三角形的顶点坐标为，，．把三角形平移得到三角形，点的对应点为，点对应点，点对应点．依次完成下列问题． (1)画三角形，并直接写出点的坐标； (2)连接，，并直接写出线段在平移过程中扫过的面积； (3)仅用无刻度的直尺在所给网格中画图．点是与格线的交点，先在线段上画点，使；再在线段上画点，使． 【答案】(1)即为所求： ； (2)19 (3)如图，点Q、T即为所求； 【分析】（1）根据点的对应点，得出向右平移2个单位，向下平移3个单位得到，画出图形，根据图形得出点E的坐标即可； （2）利用割补法求出线段在平移过程中扫过的面积即可； （3）取与格线的交点，即为点Q，取格点M，连接并延长交于点T，则点T即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：线段在平移过程中扫过的面积为： ； （3）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 根据平移可得：，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为________． (3)点是直线上一动点，连接，当点在直线上运动（不与点，重合）直接写出，，之间的数量关系． (4)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒2个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒3个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后两点距离最短？并写出点，的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或； (4)秒后两点距离最短，此时点，的坐标分别为、． 【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标即可； （2）由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况求解：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，过点作，利用平行线的性质分别求解即可； （4）设运动时间为秒，进而表示出点、的坐标，由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段， 因为，点、的坐标为和， 所以，点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：；； （2）解：因为点、的坐标为、， ，， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， 所以，即的最小值为， 故答案为：； （3）解：或，理由如下： ①当点在线段上时，如图，过点作， ， 由平移的性质可知，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，如图，过点作， ， 由平移的性质可知，， ， ， ； （4）解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， 因为点、的坐标分别为、， 所以点、的坐标分别为、， 由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同， ， 解得：，即秒后两点距离最短， 此时点，的坐标分别为、． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，垂线段最短，平行线的判定和性质，平移的性质，一元一次方程的应用，动点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 5．（25-26八年级上·湖北·月考）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      【答案】 （1）解：完成画图，如图， ； （2）如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点． ，； （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的轴对称变换，图形的面积等知识点，解题关键是熟练掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先完成画图，再设，根据，列出关于的方程求解，即可求得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，根据，，列出方程求解即可； （3）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，先利用“”易证出，可得，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）设， ，， ． ， ， ． ， ， 解得：， ． （2）根据对称可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ， ， 即，解得． ∴， ∴． ∴． 坐标平移与新定义问题题型06 1．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一种新型的运算法则，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是理解两种运算改变了哪个坐标的符号．根据变换定义，先计算内层函数，再计算外层函数g的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”，已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次下去得到，，…，．若点的坐标为，则点在第一、第三象限角平分线上的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，由题意得出，，，得到点在第一、第三象限角平分线上，4个点为一个循环，由此即可得出答案，理解题意，正确求出点的坐标是解此题的关键． 【详解】解：对于点，我们把叫做点P的“伴随点”， 已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…， 当时，，，， ∴点在第一、第三象限角平分线上，4个点为一个循环， ，，， 在点中，点在第一、第三象限角平分线上． 故选C． 3．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）阅读理解，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点若点B的坐标为，则称点B为点A的“k级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标； (2)已知点Q的“4级牵挂点”为，求Q点的坐标； (3)已知点的“2级牵挂点”在x轴上，求点的坐标； (4)如果点的“2级牵挂点”在第二象限，当c取最大整数时，过点作轴于点，连接，将向右平移4个单位长度得到，其中、、的对应点分别为、Q、D，连接，直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意知道，从而写出点的坐标； （2）由题意知道，然后写出点Q的坐标； （3）由题意可以得到关于m的方程，解方程求出m的值后即可求出点的坐标； （4）由题意可以用c表示的坐标，根据在第二象限可以求得c的取值范围，得到c的最大整数值，由题意作出四边形后可以求得其面积． 【详解】（1）解：∵点的“级牵挂点”为， ∴，， 即； （2）解：∵点Q的“4级牵挂点”为， 设点Q的坐标为，则， ， 解得， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵点的“2级牵挂点”为， ∴，， 即， ∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； （4）解：∵点的“2级牵挂点” 为， ∴，， 即， ∵点在第二象限 ， ∴， 解得， ∴c的最大整数为， ∴，如图： ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义——点的“k级牵挂点”．熟练掌握新定义，直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特征，各象限的点的坐标特征，图形平移及图形面积的计算，通过阅读材料归纳出级牵挂点的计算方法是解题关键． 4．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“方田点”的定义即可得出结论； （2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“方田点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“方田点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，轴， 由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段， ∴，， 画图如下： 由图可知，点和是线段的“方田点”； 故答案为：，； （2）解：∵点， ∴点在直线上，点在直线上， ∴线段介于直线和直线之间， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在线段上，则， 当点恰好落在线段上，则， ∴由图可得，当时，线段与正方形有交点， ∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：∵点， ∴，轴， 由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴线段的“方田点”在正方形的边上， ∵点是线段的“方田点”， ∴点在正方形的边上， 将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形， ∵点向下平移个单位长度，得到点， ∴点落在正方形的边上， 将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形， 由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段， ∴点和点分别落在正方形和正方形的边上， ∴由图可得，线段的“方田点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； ∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，则的取值范围为或． 5．我们规定：将图形先向右平移个单位，得到图形，再作出图形关于直线的对称图形，则称图形是图形的，平对图形． (1)已知点，若，，则点的坐标是________；点的坐标是________； (2)已知点，它的平对图形，求出与的数量关系； (3)已知的半径为，其中，若存在实数，使的平对图形与直线有公共点，直接写出的最小值及相应的的值． 【答案】(1)点的坐标是；点的坐标是 (2) (3)的最小值为，相应的的值为 【分析】（1）根据坐标的平移和轴对称规律，结合新定义解答即可； （2）根据新定义和坐标平移，轴对称坐标的变化规律列式变形即可求出与的数量关系； （3）先求出圆心的平对点的坐标，求出到直线的距离，再根据的平对图形与直线有公共点，则到直线的距离不大于半径，列式求解即可． 【详解】（1）解：点向右平移个单位，得到，即， 关于直线的对称点，即， 故答案为：，； （2）点，它的平对图形， ,向右平移个单位长度，得到 '，关于直线 的对称图形 ''， ， ； （3）圆心向右右平移个单位，得到关于直线的对称点， 画出示意图如下，连接''，图中，，，于点， ，，， ， 使的平对图形与直线有公共点，只要到直线的距离不大于半径即可， ，即， 当时，解得，此时有最小值， ， ，随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为； 当时，解得，此时有最大值，不合题意， 故的最小值为，相应的的值为． 【点睛】本题以新定义为背景，考查几何变换，解答中涉及平移，轴对称，坐标与变换，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，面积法，一次函数图象，不等式变形等，理解新定义是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型02 作图——轴对称变换 题型03 图形在平面直角坐标系中的平移 题型04 根据平移确定点的位置 题型05 求平移后点的坐标 B组 能力进阶 题型01 由平移方式确定点的坐标 题型02 由平移前后点的坐标确定平移方式 题型03 由平移后点的坐标求原坐标 题型04 中点坐标 C组 思维拔高 题型01 平移与坐标的变化规律问题 题型02 坐标与轴对称的变化规律问题 题型03 平面直角坐标系中点的规律探究问题 题型04 面积与坐标 题型05 平移与几何综合问题 题型06 坐标平移与新定义问题 关于x轴、y轴对称的点的坐标题型01 1．（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知点关于轴的对称点为点，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 4．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则_________． 5．点P（a＋2，2a﹣5）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是______． 作图——轴对称变换题型02 1．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置分别是，和．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·质检）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)求的面积； (2)作出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 5．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 图形在平面直角坐标系中的平移题型03 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，三架飞机A，B，C保持编队飞行（即在同一平面内，三架飞机相对距离保持不变）．某时刻在坐标系中的坐标分别为．不久后，飞机A飞到位置，则飞机的位置为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26·陕西榆林·期中）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______． 4．如图，第二象限内有两点，，将线段平移使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 5．（25-26七年级·甘肃·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．将三角形经过平移后得到三角形，已知点． (1)点的坐标是_______； (2)画出平移后的三角形． 根据平移确定点的位置题型04 1．点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的点B是直角坐标系中（    ） A．第一象限的点 B．第二象限的点 C．第三象限的点 D．第四象限的点 3．（25-26·北京·期末）将点向左平移个单位长度后落在轴上，则的值为________． 4．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 5．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，－2a）． （1）当a＝－1时，点M在坐标系的第_____象限；（直接填写答案） （2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围． 求平移后点的坐标题型05 1．在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向上平移一个单位，则得到的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级下·山东临沂·期末）平面直角坐标系中，将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则下列结论：①点的坐标为；②线段的长为个单位长度；③线段所在的直线与轴垂直；④点可能在线段上；⑤点一定在线段上．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知轴，点A的坐标为，B在A的右侧），则点B的坐标是___________________． 5．（24-25七年级下·海南·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，标出满足下列条件的各点，并分别写出它们的坐标． (1)点在轴上、轴的左侧，且到轴的距离为3个单位长度； (2)点在轴上、轴的下方，到轴的距离为2个单位长度； (3)点在第四象限，且到两条坐标轴的距离均为4个单位长度； (4)点在轴的右侧，到轴的距离为3个单位长度，到轴的距离为2个单位长度； (5)由点沿着轴向上平移5个单位得到点． 由平移方式确定点的坐标题型01 1．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东清远·期末）将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将平移，使点与点重合，点，的对应点分别是点，． (1)请画出平移后的； (2)点是内一点，当平移到时，点的对应点的坐标为（________，________）． 由平移前后点的坐标确定平移方式题型02 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．在平面直角坐标系中，点A'（2，﹣3）可以由点A（﹣2，3）通过两次平移得到，正确的是（　　） A．先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 3．（25-26七年级·山西忻州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，平移后点的坐标为，点的坐标为，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________； (2)是由怎样平移得到的？ (3)若点是内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值． 5．已知，，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求出的度数； (3)如图2，把直线以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点． 由平移后点的坐标求原坐标题型03 1．（24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为______． 4．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点；若将点向上平移可得到点，则点的坐标是__________． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到． (1)请画出平移后的； (2)求的面积； (3)已知点为中任意一点，按照的平移规则平移后的对应点为，若的坐标，请直接写出点的坐标． 中点坐标题型04 1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于______． 4．（25-26七年级·河南开封·期末）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，则线段的中点的坐标是______． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． 5．（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 平移与坐标的变化规律问题题型01 1．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点；按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，平移点一次，可以得到点或点．将点进行若干次这样的平移后得到的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为_________． 4．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为______． 5．如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 坐标与轴对称的变化规律问题题型02 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山西吕梁·模拟）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 平面直角坐标系中点的规律探究问题题型03 1．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成，，；第二次将变换成，，，第三次将变换成，…，则的横坐标为（ ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着循环爬行，其中A的坐标为，B的坐标为，C的坐标为，D的坐标为．当蚂蚁爬了2024个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（    ）． A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，，，，…，用你发现的规律确定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为(      ) 　 A．(14，8) B．(13，0) C．(100，99) D．(15，14) 5．长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 面积与坐标题型04 1．已知每个小正方形网格的边长为1，在如图所示的平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在网格交点上． (1)写出点A，B的坐标； (2)画出三角形ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位后得到的三角形A1B1C1； (3)求三角形ABC的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)和关于轴对称，点，的对应点分别为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若与关于轴对称，点，的对应点分别为，请写出点和点的坐标； (3)求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，若三角形是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，已知：，，．    (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)点在轴上，若三角形的面积为，求点的坐标． 4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内． (1) ________， ________，点B的坐标为________． (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积： (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动（即：沿着长方形移动一周）．在移动过程中，是否存在点P使，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2025·吉林·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为．设，正方形与重叠部分的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 平移与几何综合问题题型05 1．（25-26七年级·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、．把三角形向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，平移后点，，的对应点分别为，，． (1)画出平移后的三角形； (2)写出点，的坐标； (3)写出线段与之间的位置和大小关系． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出平移后的三角形，写出的坐标； (2)连接，D为上的动点，求出的最小值． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为原点建立平面直角坐标系，其中三角形的顶点坐标为，，．把三角形平移得到三角形，点的对应点为，点对应点，点对应点．依次完成下列问题． (1)画三角形，并直接写出点的坐标； (2)连接，，并直接写出线段在平移过程中扫过的面积； (3)仅用无刻度的直尺在所给网格中画图．点是与格线的交点，先在线段上画点，使；再在线段上画点，使． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为________． (3)点是直线上一动点，连接，当点在直线上运动（不与点，重合）直接写出，，之间的数量关系． (4)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒2个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒3个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后两点距离最短？并写出点，的坐标． 5．（25-26八年级上·湖北·月考）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      坐标平移与新定义问题题型06 1．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”，已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次下去得到，，…，．若点的坐标为，则点在第一、第三象限角平分线上的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）阅读理解，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点若点B的坐标为，则称点B为点A的“k级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标； (2)已知点Q的“4级牵挂点”为，求Q点的坐标； (3)已知点的“2级牵挂点”在x轴上，求点的坐标； (4)如果点的“2级牵挂点”在第二象限，当c取最大整数时，过点作轴于点，连接，将向右平移4个单位长度得到，其中、、的对应点分别为、Q、D，连接，直接写出四边形的面积为 ． 4．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 5．我们规定：将图形先向右平移个单位，得到图形，再作出图形关于直线的对称图形，则称图形是图形的，平对图形． (1)已知点，若，，则点的坐标是________；点的坐标是________； (2)已知点，它的平对图形，求出与的数量关系； (3)已知的半径为，其中，若存在实数，使的平对图形与直线有公共点，直接写出的最小值及相应的的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $