精品解析：广东中山华辰实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（港澳班）

2023-2024学年广东中山华辰实验中学高二下期中数学考试（港澳班） 一、单选题 1. 已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知 故选：C 2. 抛物线过点，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入所过的点可求的值，从而可求焦点坐标. 【详解】因为抛物线过点，所以，故， 故，故焦点坐标为， 故选：C. 3. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ） A. 60 B. 48 C. 54 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，需分成两步完成，第一步安排甲，第二步安排乙和丙，运用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】因甲不选景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法； 第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法. 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种. 故选：B. 4. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 40 B. -40 C. 10 D. -10 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二项展开式的通项，根据题意要求确定的值，代入通项即可求得. 【详解】的展开式的通项为， 依题意需使，解得，故的系数是. 故选：A. 5. 已知等差数列的公差为,若成等比数列,则等于 A. 9 B. 3 C. -3 D. -9 【答案】D 【解析】 【分析】由成等比数列找到首项和公差的关系，求解出首项，然后即可求解的值. 【详解】因为成等比数列，所以，所以，又因为，所以，则， 故选D. 【点睛】本题考查等差数列基本量计算以及等差、等比数列的简单综合，难度较易.当等差数列的某几项成等比数列时，可通过列等式找到等差数列的首项和公差的关系. 6. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 即曲线在点处的切线的斜率，设倾斜角为， 则，又，所以. 故选：D 7. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 78 【答案】D 【解析】 【分析】将“宫”看为特殊元素，分类讨论：“宫”为首音节、“宫”不为首音节，由此求解出总的排法数. 【详解】①若“宫”为首音节，可排成的音序有种， ②若“宫”不为首音节，从“宫”“羽”之外的三个音阶中选一个作为首音节有种选法， 再安排“宫”音阶有种排法，剩余三个音阶可以全排列有种排法， 所以②一共有种排法， 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：D. 8. 三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，则三个项目都有学生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，共有种方法， 其中三个项目都有学生参加的方法有种，故所求的概率为. 故选：D 9. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 10. 在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得的值． 【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大， 即第四项和第五项的二项式系数最大； 当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大， 即第五项的二项式系数最大； 当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大， 即第五项和第六项的二项式系数最大. 当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大， 即第六项的二项式系数最大. 故选：D． 11. 若函数存在 ()个极值点，则称为折函数，例如为2折函数.已知函数，则为(　　) A. 2折函数 B. 3折函数 C. 4折函数 D. 5折函数 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数g（x）的极值点的个数. 【详解】解：∴f′（x）＝（x+2）ex﹣（x+2）（3x+2）＝（x+2）（ex﹣3x﹣2）， 由f′（x）＝0得3x+2＝ex，或x+2＝0 结合y＝3x+2与y＝ex的图象，可得方程3x+2＝ex有两根，且不为﹣2． ∴函数f（x）＝（x+1）ex﹣x（x+2）2有3个极值点，． 故选C． 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题． 12. 已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造并判断单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】由，可得， 令，结合，则， 所以在R上递减，故， 则原不等式解集为. 故选：A 二、填空题 13. 函数的单调递增区间为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得函数的定义域为． ∵，∴， 由可得，解得．故函数的单调增区间为．答案：． 14. 在等比数列中，若，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，利用求，由即可求解 【详解】设等比数列的公比为q，则或（舍）， 则. 故答案为：. 15. 的展开式中的系数是___________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式,即可求得的系数. 【详解】由二项式定理展开式可知, 展开式中的系数为 展开式中的系数为 所以的系数是 故答案为: 【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 16. 若双曲线(，)的渐近线方程为，则双曲线的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，再根据离心率公式求解即可. 【详解】解：双曲线(，)的渐近线方程为， 所以，双曲线的焦点在轴上，且 所以，双曲线的离心率． 故答案为： 17. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______． 【答案】 ①. ②. ##0.8 【解析】 【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望. 【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件， 则，， 所以； 由题意可得的取值为， ， 所以， 故答案为：；. 18. 数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据牛顿迭代法的知识求得. 【详解】构造函数，， 切线的方程为，与轴交点的横坐标为. ， 所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为. 故答案为： 三、解答题 19. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值； （2）求展开式中常数项； （3）计算式子的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，可得，由此求得的值． （2）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． （3）令代入计算可得． 【详解】解：（1）二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，即，解得或（舍去）． （2）解：由（1）知，∴， ∴， 由，得，∴展开式中常数项． （3）解：令得． 20. 等差数列中，，前6项的和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件列方程求，，根据等差数列的通项公式求； （2）由（1）得，裂项可得，利用裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由 得：① 由得，即② 联定①②， 【小问2详解】 由（1）得 所以 所以 21. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. （1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： （2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； （2）利用全概率公式可求出所求事件的概率. 【小问1详解】 解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为. 【小问2详解】 解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”， 记事件为“这道题被答对”， 则，，， ，，， 由全概率公式可得. 22. 已知函数． （1）若在上单调递减，求a的取值范围； （2）若的最小值为3，求a． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为在上恒成立，构造，，求导得到其单调性和最值情况，求出答案； （2）先由，得到，求导后，再令，求导结合隐零点得到的单调性，从而得到的最小值，得到方程，求出的值，舍去不合要求的解. 【小问1详解】 ， 由题意得在上恒成立，即， 即在上恒成立， 令，， ，令得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 故，a的取值范围是. 【小问2详解】 的定义域为， 其中， 因为的最小值为3，所以，解得， ， 当时，设，则， 故在上递增， 因为，， 所以存在，使得， 当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 故， 所以，又， 所以，解得或， 解得或， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）， 综上，. 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东中山华辰实验中学高二下期中数学考试（港澳班） 一、单选题 1. 已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线过点，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ） A. 60 B. 48 C. 54 D. 64 4. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 40 B. -40 C. 10 D. -10 5. 已知等差数列的公差为,若成等比数列,则等于 A. 9 B. 3 C. -3 D. -9 6. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 7. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 78 8. 三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，则三个项目都有学生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 10. 在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 若函数存在 ()个极值点，则称为折函数，例如为2折函数.已知函数，则为(　　) A. 2折函数 B. 3折函数 C. 4折函数 D. 5折函数 12. 已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 函数的单调递增区间为__________． 14. 在等比数列中，若，，则_____. 15. 的展开式中的系数是___________（用数字作答） 16. 若双曲线(，)的渐近线方程为，则双曲线的离心率______． 17. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______． 18. 数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________. 三、解答题 19. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值； （2）求展开式中常数项； （3）计算式子的值． 20. 等差数列中，，前6项的和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 21. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. （1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： （2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 22. 已知函数． （1）若在上单调递减，求a的取值范围； （2）若的最小值为3，求a． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $