第21章《一元二次方程》　单元检测　2025—2026学年人教版九年级数学上册

第21章《一元二次方程》人教版2025年秋季学期广西南宁市兴宁区九年级数学学业质量检测模拟试题参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C C C D D B A C B A C 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣4y＝0 B．x3﹣4x＝5 C．x2+6＝12x D． 【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，由此判断即可． 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程，故此选项符合题意； D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 2．若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 【分析】直接把x＝3代入一元二次方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0， 解得m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．一元二次方程x2﹣6x＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝6 B．x1＝x2＝﹣6 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：x2﹣6x＝0， x（x﹣6）＝0， x＝0或x﹣6＝0， ∴x1＝6，x2＝0， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键熟练掌握因式分解法解方程． 4．若菱形ABCD的一组邻边长分别为方程x2﹣6x+8＝0的两根，则菱形ABCD的周长为 A．6 B．8 C．16 D．8或16 【分析】求出已知方程的解确定出AB的长，即可求出周长． 【解答】解：方程x2﹣6x+8＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， 可得x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x＝2或x＝4， 当AB＝2时，2+2=4菱形周长为4； 当AB＝4时，菱形周长为16． 故选：D． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 5．银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低为1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（　　） A．2.25%（1﹣2x）＝1.21% B．1.21%（1+2x）＝2.25% C．1.21%（1+x）2＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.21% 【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%． 【解答】解：经过一次降息，是2.25%（1﹣x）， 经过两次降息，是2.25%（1﹣x）2， 则有方程2.25%（1﹣x）2＝1.21%． 故选：D． 【点评】考查了列一元二次方程解应用题的问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言． 6．为提高比赛热度，主办方发起了转发海报集赞得门票的活动，规则如下：参与者将宣传海报转发到自己的朋友圈，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，若经过2轮转发后，共有73人参与了转发活动，则可列方程为（　　） A．1+x+x＝73 B．（1+x）2＝73 C．x（1+x）＝73 D．1+x+x2＝73 【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有73个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝73， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际情况抽象出一元二次方程，正确地理解题意找出等量关系是解题的关键． 7．某品牌手机专卖店，今年1月份销售品牌手机共200部，第一季度的总销量为728部，设每月销售的平均增长率为x，则可列方程（　　） A．200（1+x）2＝728 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝728 C．200（1+2x）2＝728 D．200+200（1+x）+200（1+2x）2＝728 【分析】根据增长率表示出2月，3月的销售量，第一季度的销售量为1，2，3月的销量之和，据此建立方程． 【解答】解：∵1月份销量为200部，每月增长率为x， ∴2月份销量为200（1+x），3月份销量为200（1+x）2， ∵第一季度的总销量为728部， ∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的等量关系是解题的关键． 8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．2[x+（x+60）]＝864 【分析】根据题意，设宽为x步，则长为（60﹣x）步，利用矩形面积公式即可列出方程． 【解答】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： x（60﹣x）＝864， 故选：A． 【点评】本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键． 9．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（　　）cm． A． B． C． D． 【分析】根据中央矩形的长＝封面的长﹣2×上下边衬的宽，中央矩形的宽＝封面的宽﹣2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积＝长×宽列式即可； 【解答】解：设上下边衬的宽均为9x cm，则左右边衬均为7x cm． ∵一本书的封面长为27cm，宽为21cm， ∴中央矩形的长为（27﹣18x）cm，宽为（21﹣14x）cm，中央矩形的面积为（27﹣18x）（21﹣14x）cm2． 由题意，得（27﹣18x）（21﹣14x）＝（1﹣）×27×21， 解得x1＝，x2＝（不合题意舍去）． ∴上下边衬的宽为：cm， 左右边衬的宽为：cm． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整体面积＝各部分面积之和；剩余面积＝原面积﹣截去的面积，然后根据题意列出方程，求出未知数． 10．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【分析】根据一元二次方程的解的意义可得2a2＝6a﹣4，从而可得a2﹣3a＝﹣2，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11.在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，表1是嘉嘉的配方过程，表2是琪琪的配方过程，对于两人的配方过程，说法正确的是（　　） 表1：2x2+4x＝﹣1， 4x2+8x＝﹣2， 4x2+8x+4＝2， （2x+2）2＝2． 表2：2x2+4x＝﹣1， x2+2x＝﹣， x2+2x+1＝﹣+1， （x+1）2＝． A．都正确 B．嘉嘉的正确，琪琪的不正确 C．嘉嘉的不正确，琪琪的正确 D．都不正确 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，对两人的解题过程进行检查即可． 【解答】解：由题知， 嘉嘉的配方是可将4x2看成（2x）2， 则8x＝2×（2x）×2， 所以配上2的平方，即4便可以． 琪琪的配方是将平方项的系数化为了1， 所以配上一次项系数一半的平方，即1便可以， 所以两人的配方过程都正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 12．对于实数a、b定义新运算“*”如下：，如（﹣5）*2＝﹣5×2﹣2＝﹣12，3*2＝2×3+2＝8，若一元二次方程x2+x﹣6＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则x1*x2的结果是（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．﹣8 D．2 【分析】求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果． 【解答】解：方程x2+x﹣6＝0变形得（x+3）（x﹣2）＝0， ∵x1＜x2， 解得x1＝﹣3，x2＝2， ∴x1*x2＝（﹣3）*2＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程及新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二．填空题（共4小题） 13．若（a﹣3）x2﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程，则实数a满足的条件是 　a≠3　 ． 【分析】利用二次项系数非零，可得出a﹣3≠0，解之即可得出a的取值范围． 【解答】解：∵（a﹣3）x2﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴a﹣3≠0， 解得：a≠3， ∴实数a满足的条件是a≠3． 故答案为：a≠3． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 14．方程x2＝﹣2x的根是 　x1＝0，x2＝﹣2　 ． 【分析】方程x2＝﹣2x移项，运用因式分解的方法解方程即可 【解答】解：（1）∵x2＝﹣2x ∴x2+2x＝0，即x（x+2）＝0 ∴x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 15．一元二次方程x2﹣10x+2＝0的根的判别式的值是 　92　 ． 【分析】根据一元二次方程的判别式列式计算即可． 【解答】解：在x2﹣10x+2＝0中，a＝1，b＝﹣10，c＝2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×1×（2）＝92； 故答案为：92． 【点评】本题考查一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握准确的计算． 16．要使关于x的一元二次方程2x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的取值范围是 　c≤2　 ． 【分析】一元二次方程2x2﹣4x+c＝0有实数根，说明根的判别式大于等于0．由此即可解决问题． 【解答】解：∵一元二次方程有实根， ∴Δ≥0，即（﹣4）2﹣4×2c≥0， 解得c≤2． 故答案为：c≤2． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是掌握根与Δ＝b2﹣4ac的关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 三．解答题（共6小题） 17．(1)用配方法解方程：x2+2x﹣10＝0． 【分析】根据完全平方公式处理，将原式化为（x+1）2＝11求解． 【解答】解：x2+2x﹣10＝0， x2+2x+1＝10+1， （x+1）2＝11， ∴， ∴． 【点评】本题考查一元二次方程配方法求解，掌握配方法是解题的关键． (2)用因式分解法解方程：x（x﹣2）+x-2＝0 分解因式得：（x﹣2）（x+1）＝0， 可得x﹣2＝0或x+1＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1． 18．公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程． 【观察与分析】小张在解方程x2﹣6x＝7时，他的解答过程如下： 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝7，（第一步） ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×7＝8＞0．（第二步） ∴方程有两个不相等的实数根 x＝＝3±．（第三步） ∴，．（第四步） 【思考与应用】 （1）小张的解答过程是否正确？ （2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程． 【分析】（1）小张的解答过程不正确，其错误原因是方程没有化成一般式； （2）根据解一元二次方程的公式法解方程即可． 【解答】解：（1）小张的解答过程不正确； （2）小张从第一步开始出错； 方程化为x2﹣6x﹣7＝0， ∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣7， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣7）＝64＞0， ∴方程有两个不相等的实数根 x＝＝3±4， ∴x1＝7，x＝﹣1． 【点评】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求． 19.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下： 把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形，理由如下： 根据题意得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 20．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　3　 ，x1x2＝　﹣5　 ． （2）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为m、n，求的值． 【分析】（1）根据材料即可求解； （2）根据即可求解； 【解答】解：（1），， 故答案为：3，﹣5； （2）由题意得：m+n＝3，mn＝﹣5， ∴； 21．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP＝　6　 cm，BQ＝　12　 cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论； （2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论； （3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）由题意，得 AP＝6cm，BQ＝12cm． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm， ∴BP＝12﹣6＝6cm． 故答案为：6、12． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 设BD＝x， 当∠PQB＝90°时， ∴∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝12﹣x，BQ＝2x， ∴12﹣x＝2×2x， ∴x＝， 当∠QPB＝90°时， ∴∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴2x＝2（12﹣x）， x＝6 答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形； （3）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB＝90°， ∴∠DQB＝30°， ∴DB＝BQ＝x， 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQ＝x， ∴， 解得；x1＝10，x2＝2， ∵x＝10时，2x＞12，故舍去 ∴x＝2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2． 【点评】本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22．根据背景材料，探案问题． 端午粽子销售价格的探究 生活中的问题 端午节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的粽子，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 市场调查 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋粽子每降价2元，超市平均可多售出20袋，但最低每袋要盈利15元． 销售设置 第二周结束后，该超市将对剩余的粽子一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周每袋粽子降低x元，则第二周每袋的盈利是 　（20﹣x）　 元，销量是 　（150+10x）　 袋． 任务2 ①经两周后还剩余粽子 　（200﹣10x）　 袋．（用x的代数式表示） ②若该超市想通过销售这批粽子获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【分析】任务1：第二周每袋的盈利＝第一周每袋的售价﹣每袋的进价﹣每袋的降价x元，第二周的销量＝第一周的销量+10×降低的价格； 任务2：①经两周后还剩余粽子袋数＝购进粽子的袋数﹣第一周的销量﹣第二周的销量； ②第一周粽子的利润+第二周粽子的利润+第二周结束后粽子的利润＝5160，把相关数值代入求得合适的x的值，进而求得第二周的单价即可． 【解答】解：任务1：第二周每袋的盈利＝50﹣30﹣x＝（20﹣x）元，销量＝150+x＝（150+10x）袋， 故答案为：（20﹣x），（150+10x）； 任务2：①经两周后还剩余粽子袋数＝500﹣150﹣（150+10x）＝（200﹣10x）袋， 故答案为：（200﹣10x）； ②第二周每袋粽子降低x元， 由题意得：（50﹣30）×150+（50﹣x﹣30）（150+10x）+（25﹣30）（200﹣10x）＝5160， ∴x2+10x+16＝0， 解得：x1＝2或x2＝8， ∵第二周最低每袋要盈利15元， ∴50﹣x﹣30≥15， ∴x≤5， ∴x＝8（不合题意，舍去）， ∴x＝2， ∴第二周的单价每袋应是（50﹣2）＝48（元）． 答：第二周的单价每袋应是48元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用．分别判断出第二周，及两周后每袋粽子的利润和销量是解决本题的难点． 23.综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求﹣2x2+4x+3的最大值，过程如下： ﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x+1）+3+2＝﹣2（x﹣1）2+5 ∴当x＝1时，﹣2x2+4x+3有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形ABCD． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再在中间裁掉一块正方形BCFE，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形ABCD． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 　（40﹣2x）2　 cm2（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到900cm2． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面AB边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【分析】任务1：根据题意用含x的代数式表示出AB，即可表示出底面的面积； 任务2：首先用x的代数式表示出AD，根据中间的四边形BCFE为正方形可表示出AB； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两种方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即可得到答案； 任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积为含x的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可． 【解答】解：任务1：根据题意得：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为（40﹣2x）2cm2， 故答案为：（40﹣2x）2； 令（40﹣2x）2＝900， 解得：x1＝5，x2＝35（不符合题意，舍去）， 则此时底面积能达到900cm2； 任务2：根据题意得：AB＝[80﹣2x﹣（40﹣2x）]＝×（80﹣2x﹣40+2x）＝×40＝20（cm）； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大； 由任务1可知：方案1的底面积为：（40﹣2x）2 cm2； 由任务2可知：方案2的底面积为：20（40﹣2x）cm2； 根据题意知：，故0＜x＜20， 当（40﹣2x）2＞20（40﹣2x）时，解得0＜x＜10， 当（40﹣2x）2＝20（40﹣2x）时，解得x＝10， 当（40﹣2x）2＜20（40﹣2x）时，解得10＜x＜20； 故当0＜x＜10时，方案一的纸盒体积大；当x＝10时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当10＜x＜20时，方案二的纸盒体积大． 任务4：方案二中纸盒的体积为：20（40﹣2x）x＝﹣40x2+800x＝﹣40（x﹣10）2+4000； 当x＝10时，纸盒体积有最大值为4000cm3． 【点评】本题考查了列代数式以及配方法求二次多项式最值问题等知识的实际应用，根据题意列出代数式是本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/10 17:00:47；用户：周银萍；邮箱：17777137273；学号：46068381 0 16:02:41；用户：周银萍；邮箱：17777137273；学号：46068381 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章《一元二次方程》人教版2025年秋季学期广西南宁市兴宁区九年级数学学业质量检测模拟试题 （形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 1、 选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中一定是一元二次方程的是 A．x2﹣4y＝0 B．x3﹣4x＝5 C．x2+6＝12x D． 2．若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是 A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 3．一元二次方程x2﹣6x＝0的解是 A．x=6 B．x1=x2=0 C．x1=x2=6 D．x1=0，x2=6 4．若菱形ABCD的一组邻边长分别为方程x2﹣6x+8＝0的两根，则菱形ABCD的周长为 A．6 B．8 C．16 D．8或16 5．银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低为1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程 A．2.25%（1﹣2x）＝1.21% B．1.21%（1+2x）＝2.25% C．1.21%（1+x）2＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.21% 6．为提高比赛热度，主办方发起了转发海报集赞得门票的活动，规则如下：参与者将宣传海报转发到自己的朋友圈，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，若经过2轮转发后，共有73人参与了转发活动，则可列方程为 A．1+x+x＝73 B．（1+x）2＝73 C．x（1+x）＝73 D．1+x+x2＝73 7．某品牌手机专卖店，今年1月份销售品牌手机共200部，第一季度的总销量为728部，设每月销售的平均增长率为x，则可列方程 A．200（1+x）2＝728 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝728 C．200（1+2x）2＝728 D．200+200（1+x）+200（1+2x）2＝728 8．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，求其长是几步.若设它的长为x步，则可列方程是 A．x（60+x）＝864 B．x（60﹣x）＝864 C．x+（60+x）＝864 D．x+（60﹣x）＝864 9．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（第9题图） A．cm B．cm C．cm D．cm 10．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为 A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 11.在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，表1是嘉嘉的配方过程，表2是琪琪的配方过程，对于两人的配方过程，说法正确的是 表1：2x2+4x＝﹣1， 4x2+8x＝﹣2， 4x2+8x+4＝2， （2x+2）2＝2． 表2：2x2+4x＝﹣1， x2+2x＝﹣， x2+2x+1＝﹣+1， （x+1）2＝． A．都正确 B．嘉嘉的正确，琪琪的不正确 C．嘉嘉的不正确，琪琪的正确 D．都不正确 12．对于实数a、b定义新运算“*”如下：，如（﹣5）*2＝﹣5×2﹣2＝﹣12，3*2＝2×3+2＝8，若一元二次方程x2+x﹣6＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则x1*x2的结果是 A．﹣3 B．﹣6 C．﹣8 D．2 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．若（a﹣3）x2﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程，则实数a满足的条件是 　 a≠3 　． 14．方程x2＝﹣2x的根是 　 x1＝0，x2＝﹣2 　． 15．一元二次方程x2﹣10x+2＝0的根的判别式Δ= 　 92 　． 16．要使关于x的一元二次方程2x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的取值范围是 　c≤2 　． 三、解答题：（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（1）（4分）用配方法解方程：x2+2x﹣10＝0 （2）（4分）用因式分解法解方程：x(x-2)+x-2＝0． 18．（本题满分10分）【探究与应用】 公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程． 【观察与分析】小张在解方程x2﹣6x＝7时，他的解答过程如下： 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝7，（第一步） ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×7＝8＞0．（第二步） ∴方程有两个不相等的实数根 x＝＝3±．（第三步） ∴，．（第四步） 【思考与应用】 （1）（3分）小张的解答过程是否正确？ （2）（7分）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程． 19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 20．（本题满分10分）阅读材料： 材料1；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）（4分）材料理解：一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）（6分）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为m，n，求的值． 21．（本题满分10分）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP＝　 　 cm，BQ＝　 　 cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 22．（本题满分12分）根据背景材料，探案问题． 端午粽子销售价格的探究 生活中的问题 端午节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的粽子，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 市场调查 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋粽子每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元． 销售设置 第二周结束后，该超市将对剩余的粽子一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周每袋粽子降低x元，则第二周每袋的盈利是 　 　元，销量是 　袋．（2分+2分=4分） 任务2 ①经两周后还剩余粽子 　 　袋．（用x的代数式表示）（3分） ②若该超市想通过销售这批粽子获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？（5分） 23.（本题满分12分）综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求﹣2x2+4x+3的最大值，过程如下： ﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x+1）+3+2＝﹣2（x﹣1）2+5 ∴当x＝1时，﹣2x2+4x+3有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形ABCD． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再在中间裁掉一块正方形BCFE，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形ABCD． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 　（40﹣2x）2　 cm2（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到900cm2． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面AB边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 九年级上册数学 第 2 页 共 4 页 九年级上册数学第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $