精品解析：辽宁省沈阳市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷练习卷

2025-2026学年度辽宁省沈阳市九上第一次月考数学模拟试卷 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程求得，然后根据即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 则， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 4. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 5. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 7. 如图，在中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AB//CD，AD//BC，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABF=∠AFB=∠FBC=∠G，可得AB=AF，BC=CG，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AD//BC，AB=CD， ∴∠AFB=∠FBC，∠ABF=∠G， ∵BG为∠ABC的角平分线， ∴∠ABF=∠FBC， ∴∠ABF=∠AFB=∠FBC=∠G， ∴AB=AF，BC=CG， ∵AD//BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴， ∴，故A选项正确， ∵AD//BC， ∴△GFD∽△GBC， ∴，故B选项错误， ∵AB//CG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， ∵CG≠DG， ∴≠，故C选项错误， ∵AB//CG， ∴△ABF∽△DGF， ∴，故D选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 8. 如图，在正方形ABCD右侧作△CDE，使DE＝DC，随着∠CDE逐渐增大，∠AEC的度数（　　） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变大后变小 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质与已知条件得到DE＝DC=DA，通过角度之间的代换得到∠DCG=∠DEA+∠AEF+∠FEC+∠ECG=2∠AEF+2∠FEC=90°，最后得出结论． 【详解】解：如图，作EF//BC，延长BC到点G， ∵四边形ABCD是正方形，且DE＝DC， ∴DE＝DC=DA,∠DAE=∠DEA，AD//EF，EF//BG， ∴∠DAE=∠AEF=∠DEA，∠FEC=∠ECG， ∵DE＝DC， ∴∠DCE=∠DEC=∠DEA+∠AEF+∠FEC， ∴∠DCG=∠DEA+∠AEF+∠FEC+∠ECG=2∠AEF+2∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠FEC=45°， ∴∠AEC=45°， 随着∠CDE逐渐增大，∠AEC的度数都满足45°保持不变， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质与平行的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 9. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BE，BD，则△BCD是等边三角形，则求出BE的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出EF的长度． 详解】解：如图，连接BE，BD， ∵AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C， ∴△BCD是等边三角形， ∵E是CD中点 ∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°， ∴BE=CE=2， ∵CD∥AB， ∴∠ABE=∠CEB=90°， 由折叠可得AF=EF， ∵EF2=BE2+BF2， ∴EF2=12+（4-EF）2， ∴EF=． 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度． 10. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质．连接，如图，先利用基本作图可判断垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再利用菱形的性质得到，，则可判断和都为等边三角形，从而可对①进行判断；利用勾股定理在中计算出，接着在中计算出，从而可对②进行判断；利用，可对③进行判断；最后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ，，， 四边形为菱形， ，， ， 和都为等边三角形， ，所以①正确； ， ，， 在中，， ，， ， ， ，所以②正确； ，， ，所以③错误； ，， 而， ，所以④正确． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．将变为即，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 【答案】2018 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：2018． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 13. 如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为米，米，已知小鹏的身高米，小倩的身高米，则该路灯的高度为_____ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，推出，得到，接着证明是等腰直角三角形，得到，然后代入和，解方程即可算得，最后算得． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， （）， 米，米， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （）， 故答案为：． 14. 如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，且， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 15. 如图，四边形是菱形，是对角线，E是边上的一点，连接，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在的延长线上，若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，过点作于点，连接，交于点，先解直角三角形求出，，再设，则，，然后证出，则可得，解直角三角形可得，从而可得的值，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将一元二次方程化为，再根据公式法计算即可； （2）根据配方法将一元二次方程化为，再开平方计算即可． 小问1详解】 ， ， 则， 所以， 故 【小问2详解】 ， ， ， ， 则， 所以． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为__． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求出的坐标是解题的关键． 根据题意，得出，勾股定理求得，即可求解， 【详解】解：连接、，    ∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形， ， ， 依题意，， ，则， ， ， ， 故答案为：30． 18. 京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【答案】（1）原计划每天铺设轨道80米 （2）镶上的木质框架的宽为0.2米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成，列出一元一次方程，即可求解； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 设原计划每天铺设轨道x米， 根据题意得：， 解得：， 答：原计划每天铺设轨道80米； 【小问2详解】 设镶上的木质框架的宽为y米， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 20. 如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，，．在中，利用勾股定理计算的长度，进而得到的长度．利用菱形的面积公式计算面积． 【小问1详解】 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ． ． ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，四边形是菱形， ，． 在中，由勾股定理得：． ． ， ． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 22. 在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明三角形全等得到线段相等，再结合线段的和差关系求证； （2）同样先证三角形全等，再依据线段的和差推导数量关系； （3）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，得出点的运动轨迹，利用垂线段最短求线段最小值． 【小问1详解】 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，以为原点，和所在的直线为坐标轴建立坐标系，则，作于，交于点G，则，， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， 又∵点为线段的中点， ∴， 即， ∴， ∴点在直线上运动，当直线时，最小， 设直线交直线于，交轴于，作于， 由得， ， ∴， ∴， 由得， ， ∴最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及一次函数的应用，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫做强等线四边形． （1）理解运用】 下列四边形中，一定是等线四边形的是________（只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）【拓展提升】 如图，中，，分别以，为边向外作菱形和 菱形，且，连接，，． ①求证：四边形是强等线四边形； ②若，，，分别是，的中点，连接，直接写出的长． 【答案】（1）②④； （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据等线四边形的定义及特殊四边形的有关性质解答； （2）①连接，交于点，交于点，先证，得到，可得到四边形是等线四边形，再证其是强等线四边形； ②连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM 、QM，先证得∠CGE+∠BEG= 90°，再根据中位线定理可得PM=BE=2，PM//BE，QM=CG=，QM//CG，最后由勾股定理求得PQ的长． 【小问1详解】 解：②④．理由如下： ①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形； ②矩形对角线相等，它一定是等线四边形； ③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形； ④正方形对角线相等，它一定等线四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①如图，连接，交于点，交于点． ， ， 即． ∵四边形和均为菱形， ，． ． ，． ∴四边形是等线四边形． ，． ． ∴四边形是强等线四边形． ②在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，∠BAC=30°， ∴ 菱形ACFG和菱形ABDE中，AG=AC=，AE=AB=4，∠CAG=∠BAE=60°， ∴ΔACG、ΔABE都是等边三角形，∠GAE=∠CAG+∠BAC+∠BAE=150°， ∴CG=AC=，BE=AB=4，∠AGC=∠AEB=60°，∠AGE+∠AEG=180°-∠GAE=30°， ∴∠CGE+∠BEG=∠AGC+∠AEB-（∠AGE+∠AEG）= 90°， 连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM 、QM，如图所示， ∵P．Q分别是BC、GE的中点， ∴PM，QM分别是ABCE、ACGE的中位线， ∴PM=BE=2，PM//BE，QM=CG=，QM//CG， ∴∠CMP=∠CEB，∠MQE=∠CGE，∠CMQ=∠MQE+∠CEG， ∵∠CMQ=∠CGE+∠CEG， ∴∠CMQ+∠CMP=∠CGE+∠CEG+∠CEB=90°， 在Rt△PQM中，由勾股定理，得 即PQ的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形和勾股定理、解直角三角形等有关知识点，解决本题的关键是理解等线四边形的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度辽宁省沈阳市九上第一次月考数学模拟试卷 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 观察下列表格，估计一元二次方程一个解的大致范围是（ ） x 1.1 12 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 7. 如图，在中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形ABCD右侧作△CDE，使DE＝DC，随着∠CDE逐渐增大，∠AEC的度数（　　） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变大后变小 D. 保持不变 9. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则__________ ． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 13. 如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为米，米，已知小鹏的身高米，小倩的身高米，则该路灯的高度为_____ 米． 14. 如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为________． 15. 如图，四边形是菱形，是对角线，E是边上的一点，连接，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在的延长线上，若，，则______． 三．解答题（共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为__． 18. 京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 20. 如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 22. 在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为 ． 23. 【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫做强等线四边形． （1）【理解运用】 下列四边形中，一定是等线四边形的是________（只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）【拓展提升】 如图，中，，分别以，为边向外作菱形和 菱形，且，连接，，． ①求证：四边形是强等线四边形； ②若，，，分别是，的中点，连接，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $