1.1.探索勾股定理　课件 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，从直角三角形的定义出发，通过测量探究、图形分析与实际问题解决，逐步构建起“两直角边平方和等于斜边平方”的核心概念，形成由直观感知到抽象概括的学习支架，前后知识衔接自然，逻辑清晰。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以“测量验证—几何直观—建模应用”为主线，突出学生主动探究与理性推理。例如在钢索长度问题中引导学生用数学语言表达现实情境，在正方形面积变式题中发展几何直观与模型意识。这种教学设计既提升学生的问题解决能力，又帮助教师高效落实新课标要求，实现知识建构与素养培育的双重目标。

第一章 勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 知识关联 课堂引入 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1.什么叫直角三角形? 2.直角三角形三个内角之间有什么关系? 有一个角是直角的三角形叫直角三角形。 三个内角的和等于 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系。让我们一起去探索吧！ 课堂引入 如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索? 韵 (韵) - 设计意图：利用生活中的实际情境,点燃学生的求知欲,充分调动学生的学习积极性,以景激情,以情激思,引领学生进入学习情境,从而为下面的继续学习做好铺垫. 【探究】勾股定理 【思考 交流】 1.在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流. 探究与应用 • 结论：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 韵 (韵) - 处理方式： 教师让学生在练习本上利用直角三角板画直角三角形,然后再进行测量,比较直角三角形三边长的平方之间的关系.教师注意指导学生规范画图. 【探究】勾股定理 【思考 交流】 2.如图1,直角三角形三边长的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?与同伴进行交流.图2中的直角三角形是否也具有这样的关系?你又是如何计算的呢? 图1 图2 探究与应用 • 归纳：四个直角三角形中,不论是等腰直角三角形,还是一般的直角三角形,都存在SA+SB=SC,即两直角边的平方和等于斜边的平方. 韵 (韵) - 说明： 学生在计算正方形C的面积时,会有困难,教师要注意利用“割补法”进行指导. 【探究】勾股定理 【思考 交流】 3.如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由. 探究与应用 • 同样成立,因为任意的直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 【探究】勾股定理 【概括新知】 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 探究与应用 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦. 因此,人们把上面的结论称为勾股定理. 【探究】勾股定理 【尝试•思考】回顾课堂引入中的问题： 如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索? 探究与应用 由勾股定理得, 需要钢索的长度==10 m. 韵 (韵) - 说明：利用勾股定理时,要分清直角边和斜边.已知两直角边时,斜边等于两直角边的平方和的算术平方根;已知斜边和一直角边时,另一直角边等于斜边和这条直角边平方差的算术平方根. 【探究】勾股定理 【应用】 例　在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)若a=3,b=4,求c的值; (2)若a=5,c=13,求b的值; (3)若a∶b=3∶4,c=10,求a,b的值. （1）∵a=3，b=4，∠C=90°，∴c===5； （2）∵a=5，c=13，∠C=90°，∴b===12； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=10， 设a=3x,则b=4x, ∵a2+b2=c2，即9x2+16x2=102， 解得x=2， ∴a=3x=6，b=4x=8． 探究与应用 韵 (韵) - 处理方式:先让学生明确三角形的直角边和斜边,然后独立完成解题过程,再进行讲评,注意格式的指导与规范. 【探究】勾股定理 变式 1.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都 是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B, C,D的面积的和是　　　 cm2.  2.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a=8,c=b+4, 求b,c的值. 49 解：∵a=8，c=b+4，∠C=90°， ∴由勾股定理得，a2+b2=c2, 即82+b2=（b+4)2, 解得，b=6, ∴c=6+4=10. 探究与应用 韵 (韵) - 处理方式:让学生在小组内讨论、交流各自的解题思路.问题1要通过图形确定各正方形的面积之间的关系;问题2可让学生先画出图形,然后再利用方程的思想和勾股定理进行解答. 【拓展提升】 如图是“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形拼成的图形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1.设直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则a+b的值是　　　　 .  5 探究与应用 解：根据勾股定理可得a2+b2=13， 四个直角三角形的面积是：ab×4=13-1=12， 即：2ab=12 则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25． 所以a+b=5（负值舍去）． 达标检测 1.下列说法中,正确的是 (　　) A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c2 2.如图,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只 小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 (　　) A.8 m　　B.10 m C.12 m D.14 m C B 课堂小结与检测 达标检测 3.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答). 4.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：如图，∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴CD== 课堂小结与检测 125 8 $