精品解析：广东省广州市第二中学2025-2026学年上学期第一阶段学情反馈九年级数学试卷

广州市第二中学2025学年第一学期第一阶段学情反馈 初三年级数学试卷 （满分120分） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共25小题，满分120分，考试时间120分钟． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 下面是二次根式的是（ ） A. B. -3 C. D. 2. 在下列单项式中，与是同类项的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k有可能是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 5. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 7. 如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线，相交于点，，点，分别为线段，的中点，连接，，，求的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 已知、两地之间是一条直路，甲骑自行车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两人出发后相遇 B. 甲骑自行车的速度为 C. 乙到达目的地时两人相距 D. 乙比甲提前到达目的地 10. 已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 分解因式：=_________________________． 13. 若一元二次方程的两个实数根为，则的值为___________． 14. 如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为___________． 15. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，则的角平分线所在直线的函数关系式为______． 16. 如图，在矩形中，，点在边上．且，为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在△ABC中，AC＝BC，CD为∠ACB的角平分线，AE∥DC，AE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形ADCE为矩形 （2）连接DE，若AB＝10，CD＝12，求DE的长． 21. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 型号 14和16 15 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____； （2）请计算表中的值，（需要写出计算过程） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 22. 根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 填空：滑撑支架中的长度为___________，滑动轨道的长度是___________． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果保留根号）      23. 低空经济是培育新质生产力的重要方向，某城市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞-10分钟送达”的高时效服务，在部分地区开展无人机送餐服务． （1）经测试，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省10分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ （2）某日午高峰3小时内订单总数为72单．已知无人机配送成本为5元/单，但享受政府补贴2元/单，人工配送成本为8元/单．请求出总成本（元）与人工配送单数（单）的函数关系式； （3）在问题（2）的基础上，根据实际情况，无人机配送的单数不超过60单，但至少比人工配送多25单，如何安排配送服务使总成本最低？最低总成本是多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，点在直线上 （1）若点在直线上，则______；（用含的代数式表示） （2）若对于任意，总有，求的值； （3）已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小时的值，若不存在，请说明理由． 25. 已知点在正方形的边（不含端点）上，将沿翻折得到． （1）若点落在对角线上，请在图中作出（尺规作图，保留作图痕迹），并直接写出的度数； （2）如图，点是的延长线与的交点，连接， 求的度数； 如图，设与相交于点，连接，．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2025学年第一学期第一阶段学情反馈 初三年级数学试卷 （满分120分） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共25小题，满分120分，考试时间120分钟． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 下面是二次根式的是（ ） A. B. -3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义作答，即可求解． 【详解】解：，-3，都不是二次根式，只有符合二次根式的定义． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 2. 在下列单项式中，与是同类项的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关即可求解． 【详解】解：与是同类项的是， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 4. 一次函数，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k有可能是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴． 解得． 观察各选项，只有D选项的数字符合 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的交点求解二元一次方程组的解，解题的关键是掌握一次函数的交点是对应二元一次方程组的解，据此求解即可. 【详解】解：由图像可得，函数和的图象交于点P的坐标为， 则二元一次方程组的解为， 故选：B 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判定即可得到结论 【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：A 7. 如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，而的周长，即可求出的长． 【详解】∵的周长是， ∴ ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键． 8. 如图，在中，对角线，相交于点，，点，分别为线段，的中点，连接，，，求的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，得到，由三角形中位线定理得，由矩形的性质得，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵E，F分别为、的中点， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， 又，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线性质定理，熟练掌握矩形的判定，勾股定理是解题的关键． 9. 已知、两地之间是一条直路，甲骑自行车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两人出发后相遇 B. 甲骑自行车的速度为 C. 乙到达目的地时两人相距 D. 乙比甲提前到达目的地 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取相关信息，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 根据函数图象中的数据，可以分别计算甲、乙两人的速度，以及分析出甲、乙两人的运动状态，从而判断解题． 【详解】解：A. 由图知，两人出发后相遇，正确，不符合题意； B. 两人同时出发，乙先到达目的地， 甲骑自行车从地到地，用了， 甲骑自行车的速度为，正确，不符合题意； C. 两人出发后相遇， 两人速度和为， 乙骑摩托车的速度为， 乙骑摩托车从地到地所用时间为， 此时甲骑自行车的路程为， 即乙到达目的地时两人相距，正确，不符合题意； D. 由前面得出的条件可知，乙比甲提前到达目的地，错误，符合题意； 故选：D． 10. 已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式与平方差公式等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据可得①必定构成直角三角形；根据可得②必定构成直角三角形；根据可得③必定构成直角三角形；根据可得④必定构成直角三角形；由此即可得． 【详解】解：①，则必定构成直角三角形； ② ， ， 则，必定构成直角三角形； ③ ， 则，必定构成直角三角形； ④， ， ， 则，必定构成直角三角形； 综上，必定构成直角三角形的有4个， 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 13. 若一元二次方程的两个实数根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由根与系数的关系得到，再将其代入中计算求解，即可解题． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为， ， ； 故答案为：． 14. 如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，一次函数与几何综合，解题的关键在于根据建立等式． 利用解析式求出点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：直线交轴于点，交轴于点， 当时，，当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为， 点是轴上一点（不与点A重合），且， 点在点右侧， 设点的坐标为， 则， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 15. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，则的角平分线所在直线的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，依据点A的坐标为（3，4），即可得出B（8，4），再根据∠AOC的角平分线所在直线经过点B，即可得到函数关系式． 【详解】如图所示，延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴． ∵点A的坐标为（3，4），∴AD=3，OD=4，∴AO=AB=5，∴BD=3+5=8，∴B（8，4）． 设∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=kx． ∵菱形OABC中，∠AOC的角平分线所在直线经过点B， ∴4=8k，即k， ∴∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为yx． 故答案为yx． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用，正确得出B点坐标是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，点在边上．且，为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． 过点作于点，证明，推出 ，，再利用勾股定理，以及线段中点的性质求出，进而求出，最后利用直角三角形性质，以及勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 矩形中，， ，， ， ， 为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点，， ， ， ， 解得， ， ， 解得； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 18. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在△ABC中，AC＝BC，CD为∠ACB的角平分线，AE∥DC，AE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形ADCE为矩形 （2）连接DE，若AB＝10，CD＝12，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）13 【解析】 【分析】（1）先证四边形ADCE是平行四边形，再由等腰三角形的性质得CD⊥AB，则∠ADC=90°，即可得出平行四边形ADCE为矩形； （2）由等腰三角形的性质得BD=AD=AB=5，CD⊥AB，再由勾股定理求出AC=13，然后由矩形的性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵AE∥DC，AE=DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AC=BC，CD为∠ACB的角平分线， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE为矩形； （2）∵AC=BC，CD为∠ACB的角平分线， ∴BD=AD=AB=5，CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， ∴AC=， 由（1）得：四边形ADCE为矩形， ∴DE=AC=13． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 21. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 型号 14和16 15 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____； （2）请计算表中的值，（需要写出计算过程） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15 （2）1.4 （3）购买B型机器人， 因为从众数、中位数和平均数来看，B型机器人的相应数据都高于A型机器人， 所以应该购买B型机器人． 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和方差，以及利用相关数据作出决策，熟练掌握统计的基本知识是解题的关键； （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）从众数、中位数和平均数三个方面进行分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：B型号的智能机器人每天可分拣20万件的有5台，数量最多， 所以众数； A型号机器人分拣的快递件数从小到大排列后，最中间的两个数据是15，15， 所以中位数； 故答案为：20，15； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 22. 根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 填空：滑撑支架中的长度为___________，滑动轨道的长度是___________． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果保留根号）      【答案】任务1：；任务2：限位器应装在离点处 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 任务1：根据平行四边形性质求解，即可解题； 任务2：过点作于点，结合直角三角形性质得到，利用勾股定理求出，，再根据求解，即可解题． 【详解】解：任务1：四边形始终为平行四边形，其中，． ，， 当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上； ， 故答案为：． 任务2：过点作于点， 当点滑动到点时， ，， ， ， ， 限位器应装在离点处． 23. 低空经济是培育新质生产力的重要方向，某城市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞-10分钟送达”的高时效服务，在部分地区开展无人机送餐服务． （1）经测试，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省10分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ （2）某日午高峰3小时内订单总数为72单．已知无人机配送成本为5元/单，但享受政府补贴2元/单，人工配送成本为8元/单．请求出总成本（元）与人工配送单数（单）的函数关系式； （3）在问题（2）的基础上，根据实际情况，无人机配送的单数不超过60单，但至少比人工配送多25单，如何安排配送服务使总成本最低？最低总成本是多少元？ 【答案】（1）午高峰3小时内无人机送单数是单 （2） （3）安排无人机配送单，人工配送单总成本最低，最低总成本是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，求一次函数解析式，一元一次不等式组的应用，一次函数增减性，解题的关键在于正确理解题意找出等量关系或不等关系． （1）设午高峰3小时内无人机送单数是单，则人工送单数为单，根据无人机配送每单可节省10分钟，建立方程求解，即可解题； （2）根据题意列出关系式即可； （3）根据题意列出一元一次不等式组，求出取值范围，再结合一次函数增减性求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设午高峰3小时内无人机送单数是单，则人工送单数为单， 无人机送餐“5分钟起飞-10分钟送达” ，且用无人机配送每单可节省10分钟， 又3小时分钟， ， 解得， 经检验，使得， 则是该方程的解， （单）， 则午高峰3小时内无人机送单数是单． 【小问2详解】 解：由题知，； 【小问3详解】 解：无人机配送的单数不超过60单，但至少比人工配送多25单， ， 解得， 中随的增大而增大， 越小，配送服务总成本越低， 取正整数， 当时，总成本最低， （单）， 即安排无人机配送单，人工配送单总成本最低，最低总成本是元． 24. 在平面直角坐标系中，点在直线上 （1）若点在直线上，则______；（用含的代数式表示） （2）若对于任意，总有，求的值； （3）已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，平行四边形的周长最小． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、平行四边形的性质以及不等式的应用． （1）将点A，B的坐标代入关系式可表示出m，n，再将点C的坐标代入可得答案； （2）先整理不等式可得，即可得当，且时恒成立，进而得出答案； （3）根据与的中点重合可得点Q的坐标，再根据取最小值时，平行四边形的周长最小可得答案． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， 解得 ∴直线l的关系式为∶ ∵点在直线l上， ． 解得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于任意x，总有， ∴恒成立， ∴，且， 解得，且， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴n的值是； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴与的中点重合． 设， ∵点，， ∴， 解得， ∴点． ，． 平行四边形的周长为． 点在直线运动，，为定点． 该问题可转化为在直线：上找一点A，使其到P，Q两点的距离之和最小． 由轴对称知识，作点P关于直线：的对称点，当A为线段与直线的交点时周长最小．此时点坐标为， ，解得． 存在，当时，平行四边形的周长最小． 25. 已知点在正方形的边（不含端点）上，将沿翻折得到． （1）若点落在对角线上，请在图中作出（尺规作图，保留作图痕迹），并直接写出的度数； （2）如图，点是的延长线与的交点，连接， 求的度数； 如图，设与相交于点，连接，．若，求的值． 【答案】（1）即为所求；； （2）；． 【解析】 【分析】（）作角平分线，然后过作垂线即可，再根据正方形性质得，，故有，证明，则，，从而可知即为所求，再通过等腰三角形性质三角形内角和定理得，最后通过角度和差即可求解； （）由四边形是正方形，得，，根据折叠性质可知，，设，，通过等腰三角形性质及三角形内角和定理得，，，又，得，即，即，然后通过平角定义即可求解； 过作，交延长线于点，则，由四边形是正方形，得，，由折叠性质可知，，，设，，所以，，，，又，所以，，，则，，证明，所以，，所以，得，，，，则，证明，所以，，又垂直平分，，所以，根据勾股定理得，然后代入即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由作图可知，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即为所求，， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，， ∴， 设，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 如图，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知：，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形性质，垂直平分线定义，多边形内角和等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $