甘肃省兰州市城关区志成中学2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年甘肃省兰州市城关区志成中学九年级第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列交通警告标志中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.年月日早上时许，北京天安门广场举行国庆升旗仪式，约名市民游客齐聚广场，共同见证五星红旗冉冉升起的庄严时刻，庆祝新中国周年华诞，将用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列方程是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，已知一次函数是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是(    ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 6.根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是(    ) A. B. C. D. 8.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨，夏季立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑，秋季立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降，冬季立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为(    ) A. B. C. D. 9.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛这样的比赛叫做双循环比赛，共要比赛场．设有个球队参加比赛，根据题意，列出方程为(    ) A. B. C. D. 10.明代数学家吴敬的九章算法比类大全中的数学名题“宝塔装灯”原文：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问底层几盏灯题目大意是：远处有一座雄伟的七层宝塔，塔上挂了许多红灯，相邻两层下一层灯的盏数是上一层灯的盏数的倍，共有盏灯，则底层灯的盏数为(    ) A. B. C. D. 11.已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 12.如图，在菱形中，，点是边上的一动点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，当点从向点运动时，与的函数关系图所示，其中是图象上的最低点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.因式分解： ______； ______． 14.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______． 15.如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则       ． 16.人工智能的发展正在深刻地改变着我们的生活方式、工作方式在购买某电子产品时，小新对甲、乙两个品牌的电子产品的语音识别系统分别进行了次准确度测试，并将测试得分满分分进行了统计，如图所示，从语音识别系统准确度的稳定性角度考虑，小新应该选择      填“甲”或“乙”品牌的电子产品． 三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算： 18.本小题分 解不等式组：． 19.本小题分 先化简，再求值：，其中． 20.本小题分 解方程： ；公式法 配方法 21.本小题分 如图，四边形是正方形，为上一点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为，求证：． 22.本小题分 安全使用电动自行车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电动自行车专项宣传活动在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动自行车的市民，就骑电动自行车戴安全帽情况进行问卷调查活动前和活动后调查问卷相同，所有问卷全部收回且有效根据调查数据绘制成如下两幅统计图表． 骑电动自行车戴安全帽情况调查问卷 请在下面选项中选择骑电动自行车戴安全帽情况，并在其后的“”内打“”每位被调查市民只能选择其中一个选项，非常感谢您的配合． 每次戴 经常戴 偶尔戴 都不戴 活动前骑电动自行车戴安全帽情况统计表： 类别 人数 合计 ：每次戴 ：经常戴 ：偶尔戴 ：都不戴 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？ 若将活动前骑电动自行车戴安全帽情况统计表中的数据绘制成扇形统计图，求扇形统计图中“经常戴”对应扇形的圆心角的度数； 该市约有万人使用电动自行车，请估计活动前全市骑电动自行车“都不戴”安全帽的总人数； 小明认为，宣传活动后骑电动自行车“都不戴”安全帽的人数为，比活动前增加了人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 23.本小题分 如图，在平行四边形中，，点是线段上的一点，连接． 在线段上求作一点，使得要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 在所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由． 解：证明：在平行四边形中， ， ______， 四边形是矩形， ，，， 在和， ，≌， ______，， ， ______， 四边形为平行四边形两边分别相等的四边形为平行四边形． 24.本小题分 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； 去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与去年月份的营业额相等．求该商店去年、月份营业额的月增长率． 25.本小题分 某商店将进价为元的某种商品以元售出，平均每天能售出件调查发现，这种商品的售价每上涨元，其销售量就将减少件，该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润． 若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的，且商店想要获得平均每天元的利润，则这种商品应涨价多少元？ 该商店平均每天盈利能否为元？并说明理由． 26.本小题分 如图，在矩形中，点，分别在，上将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． 求证：矩形为正方形； 若，求的长． 27.本小题分 综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直点，，，在同一平面上，过点作于点． 【初步探究】如图，请你探究线段，，之间的数量关系； 【全等模型】如图，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，，则，，之间的数量关系为______； 【类比探究】如图，在中，，直线经过点，，，且，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 28.本小题分 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点，的“坐标直角三角形”图为点，的“坐标直角三角形”示意图如图，点的坐标为． 若点的坐标为，求点，的“坐标直角三角形”的面积； 点在轴上，若点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线的表达式； 点在直线上，且点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 本题考查了轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：． 故选：． 本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3.【答案】  【解析】解：根据一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，像这样的方程叫做一元二次方程． A.是关于的一元二次方程，故A符合题意； B.是分式方程，故B不符合题意； C.的最高次数是，故C不符合题意； D.含有个未知数，，故D不符合题意． 故选：． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：． 根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答． 本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并． 5.【答案】  【解析】解：一次函数是常数，，随的增大而减小， ， ， ， 一次函数是常数，的图象经过第二、三、四象限． 故选：． 先根据一次函数是常数，，随的增大而减小可知，再由可知，据此可得出结论． 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：时，；时，， 当取之间的某一个数时，， 方程的一个解的范围是． 故选：． 由于时，；时，，所以取之间的某一个数时，，从而得到方程的一个解的范围． 本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接、， 正方形和正方形中，，， ，， ， ， 由勾股定理得，， 是的中点， ． 故选：． 连接、，根据正方形性质求出、，，再求出，然后利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：． 直接由概率公式求解即可． 本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：设有个球队参加比赛， 由题意可得：． 故选：． 有个球队参加比赛，每两队之间都进行两场比赛即每个队伍都要进行场比赛，共进行场比赛，根据题意列方程即可． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 10.【答案】  【解析】解：设最顶层的灯的个数为个，根据题意得， ， 解得， 则． 所以底层的盏数为． 故选：． 先设最顶层的灯的个数为个，再表示出其它各层的个数，然后根据总数相等列出方程，求出解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出式子是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：把代入方程得，解得， 则原方程为， 解得，， 因为这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长， 当的腰为，底边为，则的周长为； 当的腰为，底边为时，不能构成三角形． 综上所述，该三角形的周长的． 故选：． 先根据一元二次方程的解的定义把代入方程求出得到原方程为，再解此方程得到得，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为，底边为，再计算三角形的周长． 本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：连接，作，垂足为，交于， 由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：，， ，， ，， 由三角形三边关系和垂线段最短知，， 即有最小值， 菱形中，，， 在中，， 解得，， 在中，， ， ， 是图象上的最低点， ， ，， 故选：． 从图知，是的最小值，从图作辅助线知；接下来求出，则求出，，最后得， 本题考查动点问题的函数图象，掌握菱形的轴对称性质，三角形三边关系及垂线段最短是解题的关键． 13.【答案】；     【解析】解：， 故答案为：； ， 故答案为：． 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 利用十字相乘法分解因式即可． 本题考查了因式分解十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14.【答案】且  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到且，计算即可． 【解答】 解：根据题意得且， 解得且． 即实数的取值范围是且． 15.【答案】  【解析】解：， ， 由线段垂直平分线的性质可得，， ， ， 故答案为：． 根据等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，推出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 本题考查等边对等角，中垂线的性质，关键是根据等边对等角，求出的度数解答． 16.【答案】乙  【解析】解：根据折线统计图可知乙品牌电子产品得分的波动幅度小，对语音识别准确度波动小更稳定， 所以小新应该选择乙品牌的电子产品，故答案为：乙． 根据方差的意义求解即可． 本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 17.【答案】解：原式 ．  【解析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案． 本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型． 18.【答案】解：， 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为．  【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19.【答案】解： ， 当时，．  【解析】先算括号里的，再算除法，最后代入计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】解：， ，，， ， ， ，； ， ， ， ， ， 所以，．  【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； 利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了配方法． 21.【答案】证明：四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中， ≌， ．  【解析】根据证明≌，可得结论． 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键． 22.【答案】宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多；   ；   万人；   交警部门开展的宣传活动有效果  【解析】宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多； ，所以扇形统计图中“经常戴”对应扇形的圆心角的度数为； 人， 所以估计活动前全市骑电动自行车“都不戴”安全帽的总人数万人； 小明分析数据的方法不合理； 宣传活动后骑电动自行车“都不戴”安全帽的百分比为， 活动前全市骑电动自行车“都不戴”安全帽的百分比为， ， 因此交警部门开展的宣传活动有效果． 用总人数减去各个类别的人数即可； 根据扇形统计图的意义解答；有统计表得出类“偶尔戴”的人数最多，先计算类占总数的比例，再乘以即可解答； 活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数在抽取的市民中“都不戴”的人数占抽取人数的百分比乘以万； 先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果． 本题考查用样本估计总体，掌握用样本估计总体、条形统计图是解题的关键． 23.【答案】      【解析】解：如图，点为所作； 理由如下： 在四边形为平行四边形中， ， ， 四边形是矩形， ，，， 在和， ， ≌， ，． ， ， 四边形为平行四边形两边分别相等的四边形为平行四边形． 故答案为：，，，． 理由基本作图作一个角等于已知角，交于点； 先证明四边形是矩形得到，，，再证明≌得到，所以，然后根据两边分别相等的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形． 本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 24.【答案】解：由题知，万元． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为万元． 设该商店去年、月份营业额的月增长率为， 依题意得， 解得，不合题意，舍去， 答：该商店去年、月份营业额的月增长率为．  【解析】本题考查一元二次方程的应用． 根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额前六天的总营业额第七天的营业额，即可求出结论； 设该商店去年、月份营业额的月增长率为，根据该商店去年月份及月份的营业额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 25.【答案】这种商品应涨价元；   该商店平均每天盈利不能为元，理由见解答  【解析】设这种商品应涨价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：这种商品应涨价元； 该商店平均每天盈利不能为元，理由如下： 假设该商店平均每天盈利能为元，设这种商品应涨价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该商店平均每天盈利不能为元． 设这种商品应涨价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的，即可确定结论； 假设该商店平均每天盈利能为元，设这种商品应涨价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该商店平均每天盈利不能为元． 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，原方程无实数根”． 26.【答案】证明：由翻折得，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，且， 四边形是正方形． 解：由翻折得，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 的长是．  【解析】由翻折得，，，则，所以，而，即可证明，而四边形是矩形，所以四边形是正方形； 由翻折得，，则，而，可证明，则，求得，则． 此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 27.【答案】；   ；   ，理由见解析．  【解析】解：， ， ，， ， ， ， ， ≌， ，， ， 即线段，，之间的数量关系为； 直线，直线， ， ， ， ， ， 又， ≌， ，， ， ， 故答案为：； ，理由如下： ，，， ， ， ，， ， ， 又， ≌， ，， ， ． 利用证明≌，可得结论； 利用证明≌，可得结论； 利用三角形外角的性质分别证明，，即可证明≌得到，，从而推出． 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确理解题意掌握一线三垂直模型是解题的关键． 28.【答案】解：由题意得：，， 则点，的“坐标直角三角形”的面积； 设点的坐标为， 点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形， 则，即， 解得：或， 则设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则或， 故直线的表达式为：或； 点的坐标为：， 点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形， ，即， 解得：或， 故点的坐标为：或  【解析】由三角形的面积即可求解； 设点的坐标为，点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，则，即，进而求解； 点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，则，即，进而求解． 本题为一次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算，奇妙地利用绝对值和理解新定义是本题解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $