精品解析：吉林省长春市新解放学校初中部2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

新解放学校初中部2025-2026学年上学期 九年级数学学科 满分：90分 时间：95分钟 9月2日 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可． 【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个， 故选：B． 2. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 4. 设、、表示三种不同物体，先用天平称了两次，情况如图所示，则这三个物体按质量从大到小应为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质及等式的性质，解题关键是根据图形列出不等式和等式．根据不等式和等式的性质求解即可． 【详解】解：观察天平知，且，即，故． 故选：A． 5. 下列说法不正确的是(　　　) A. 是2个数a的和 B. 是2和数a的积 C. 是单项式 D. 是偶数 【答案】D 【解析】 【分析】根据2a的意义，分别判断各项即可. 【详解】解：A、=a+a，是2个数a的和，故选项正确； B、=2×a，是2和数a的积，故选项正确； C、是单项式，故选项正确； D、当a为无理数时，是无理数，不是偶数，故选项错误； 故选D. 【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键. 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 7. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与合并同类二次根式的能力．先将化简为最简二次根式，与是同类二次根式，然后合并即可解答． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的基本方法:提公因式法的应用能力．关键观察多项式各项的系数和变量部分，找到公共的因式进行提取． 【详解】解：在多项式中，公因式是, 将公因式提取出来:，， 所以． 故答案为：． 11. 若点在函数的图象上，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 把代入中，可得，然后把代入，然后即可求解； 【详解】解：把代入中，可得，移项可得：， ∴把代入可得：， 故答案为：， 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】由题意可知，， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得，，即实数的值为． 故答案为：． 13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平角的度数及平行线的性质．首先通过平角计算邻补角，再利用平行线的内错角相等，将已知角转化为与相关的角最终求和得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在中，，，平分，，为垂足，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的相关性质，包括角平分线定义、直角三角形边角关系(三角函数)、相似三角形判定、勾股定理、三角函数特殊值以及分式化简(分母有理化)等知识点，综合运用这些知识来判断关于三角形的几个结论的正确性． 【详解】解：结论① ∵平分， ∴，而就是， ∴，结论①正确； 结论② 在中，， 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可得， 再根据勾股定理，结论②正确； 结论③ 假设， 则， 但不是(因为，是的一个外角：)， 所以与不相似，结论③错误； 结论④ 设，由结论②可知，， ∵平分， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴, , ∴，结论④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共6小题，共48分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简:包括通分、因式分解、约分等运算；分式的求值:将给定的值代入化简后的式子进行计算．先计算括号内分式减法，再将除法转化为乘法，分解因式后约分，最后代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 故答案为：． 16. 列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 【答案】大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个 【解析】 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，找准数量关系，列方程是解题的关键；设编织大号中国结个，则小号中国结编织个，根据题意列方程即可； 【详解】解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， 解得 ， ， 答：大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个． 17. 如图，在中，为对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； （2）连结、，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图进行画图即可； （2）由垂直平分线定理可知，由平行四边形的性质易得，即可判定，得出，进而得出四边形是平行四边形，又由可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：是的垂直平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定定理是解题的关键． 18. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为 ． 【方法运用】如图③，正方形与矩形在直线的同侧，边、在直线上．，，，连接、．当矩形移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴； （2），， 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到，再结合已知条件，从而得出． （2）求的大小：由()知，且是等边三角形，，推出，求线段长度的最小值：当根据平行四边形的性质，，时，最短；在中，运用含30度角的直角三角形的性质得到的长度，即的最小值． [方法应用]在上取一点P，使得，连接，可得四边形是平行四边形，当点共线时，的值最小，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， 当时，最小，即最小， 此时， ∴长度的最小值为； [方法应用]根据题意，如图， 在上取一点P，使得，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点共线时，的值最小， 在中，， ∴． 20. 如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． （1）求证：； （2）当时，的面积为 ； （3）当为等腰直角三角形时，求线段的长； （4）作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】（1）见详解 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【小问1详解】 证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． 【小问3详解】 解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． 【小问4详解】 解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新解放学校初中部2025-2026学年上学期 九年级数学学科 满分：90分 时间：95分钟 9月2日 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设、、表示三种不同物体，先用天平称了两次，情况如图所示，则这三个物体按质量从大到小应为（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是(　　　) A. 是2个数a的和 B. 是2和数a的积 C. 是单项式 D. 是偶数 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_____． 10. 分解因式：_____． 11. 若点在函数的图象上，则代数式的值为_____． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是_____度． 14. 如图，在中，，，平分，，为垂足，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本题共6小题，共48分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 17. 如图，在中，为对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； （2）连结、，求证：四边形是菱形． 18. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 19. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为 ． 【方法运用】如图③，正方形与矩形在直线的同侧，边、在直线上．，，，连接、．当矩形移动的过程中，的最小值是 ． 20. 如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． （1）求证：； （2）当时，的面积为 ； （3）当为等腰直角三角形时，求线段的长； （4）作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $