第二十二章 二次函数 单元测试卷 2025-2026学年人教版九年级数学

第二十二章二次函数测试卷 一、选择题： 1.对于二次函数y=2(x+1)2-2的描述正确的是() A.对称轴是直线x=1 B.顶点坐标是(1，-2) C.图象开口向下，且函数有最大值-2 D.当x>0时，函数值y随x的增大而增大 2.将抛物线y=-2x2先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为() A.y=-2(x-3)2+5 B.y=2(x+5)2-3 C.y=-2(x+5)2-3 D.y=-2(x-5)2+3 3.已知抛物线y=a(x+1)2-k与x轴交于点A(4,0),B(m,0),则A,B两点之间的距离是() A.4 B.6 C.8 D.10 4.已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,m),B(3,m),若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在 二次函数y=x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是() A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2 5.己知二次函数y=x2-2bx+2b2-4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1-b,m),B(2b+c,m), 且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为() A.-1 B.2 C.3 D.4 6.如图，正方形0ABC的顶点B在抛物线y=x的第一象限的图象上，若点B的纵坐标 是横坐标的2倍，点C的横坐标为-1，则点A的横坐标为() A.3 B.4 C.3.5 D.2 7.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x一c)的图象大致为() 8.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结 A 论：①abc>0;②b-a>c;③4a+2b+c>0;④3a>-c;⑤a+b>m(am+ b)(m≠1).其中正确结论的有() A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤ 二、填空题： 第1页，共4页 9.若二次函数y=ax2-bx-1的图象经过点(2,1)，则2024+2a-b=-一一-· 10.二次函数y=2x2+5x-3与y轴的交点是，与x轴的交点是 11.二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 12.若抛物线y=x2-2x+m2-1的顶点在x轴上，则m的值是 13.己知二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1,y1)和Q(m,y2).若y1<y2,则m的取值范围是 14.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=ax2(a≠0)的图象分别交于点A(-3,2),B(6,8).则关于 x的方程ax2=kx+b的解为 B v-ax V=kx+b/ 0 0 15.如图，运动员小铬推铅球，铅球行进高度y(米)与水平距离x(米)间的关系为y=-x-5)2+4,则运动 员小铭将铅球推出的距离为米 16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C, 则ac的值是一· 三、解答题： 17.求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点(0,0)，(1,1)和(2,5)： (2)图象顶点坐标为(1，-6)，且经过点(2，-8). 18.已知二次函数y=x2-2x+4. (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标： (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？ (3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P(1,一5)，请说明理 由. 第2页，共4页 19.如图，已知抛物线过点0(0,0)，A(5,5),且它的对称轴为直线x=2. (1)求该抛物线的解析式： 4F (2)在平面直角坐标系中画出函数图象： 2 (3)当-1≤x<3时，y的取值范围为一一一。 -5-4-3-2-1012345 -5 20.如图，己知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当0<x<3时，求y的取值范围： X B (③)点P为抛物线上一点，若S。PAB=10,求出此时点P的坐标. 21.某游乐园要建造一个直径为26的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距 池中心5m处达到最高，高度为8m. (①)以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式： (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度. 装饰物一 0 13 第3页，共4页 22.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1,0)，与y轴相交于点 C(0,5),另外抛物线经过点(3,8). (1)求抛物线的解析式： (2)求顶点M的坐标： (3)求aMCB的面积. 23. 如图，对称轴为直线x=一1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为(-3,0). (1)求点B的坐标： B (2)求二次函数的解析式： (3)已知C为抛物线与y轴的交点，设点Q是线段AC上的动点，作QD1x轴交抛物线于 点D,求线段QD长度的最大值. 24.已知二次函数y=x2-(2a+2)x+4a(a是常数). (1)当a=1时，求二次函数的对称轴 (2)若点A(b-2,p),B(b+2,p)都在二次函数的图象上. ①证明：b=a+1. ②求p的最大值. 第4页，共4页 第二十二章 二次函数测试卷 1、 选择题： 1.对于二次函数的描述正确的是(    ) A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 图象开口向下，且函数有最大值 D. 当时，函数值随的增大而增大 2.将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线与轴交于点，，则，两点之间的距离是(    ) A. B. C. D. 4.已知二次函数的图象过点，，若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数其中是自变量的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的倍，点的横坐标为，则点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 7.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.若二次函数的图象经过点，则 ______． 10.二次函数与轴的交点是______，与轴的交点是______． 11.二次函数的最大值是______． 12.若抛物线的顶点在轴上，则的值是          ． 13.已知二次函数的图象经过点和若，则的取值范围是      ． 14.如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，则关于的方程的解为          ． 15.如图，运动员小铬推铅球，铅球行进高度米与水平距离米间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米 16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是      ． 三、解答题： 17.求满足下列条件的二次函数的解析式： 图象经过点，和； 图象顶点坐标为，且经过点． 18.已知二次函数． 写出抛物线的开口方向及顶点坐标； 当为何值时，随的增大而减小？ 把此抛物线向左移动个单位，再向下移动个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 19.如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线． 求该抛物线的解析式； 在平面直角坐标系中画出函数图象； 当时，的取值范围为______． 20.如图，已知抛物线经过、两点． 求抛物线的解析式和顶点坐标； 当时，求的取值范围； 点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 21.某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． 以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； 要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 22.如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点． 求拋物线的解析式： 求顶点的坐标： 求的面积． 23. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． 求点的坐标； 求二次函数的解析式； 已知为抛物线与轴的交点，设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 24.已知二次函数是常数． 当时，求二次函数的对称轴． 若点，都在二次函数的图象上． 证明：． 求的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 1.【答案】  【解析】解：根据二次函数性质逐项分析判断如下； A.对称轴是直线，故不正确； B.顶点坐标是，故不正确； C.图象开口向上，且函数有最小值，故不正确； D.当时，函数值随的增大而增大，正确； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：， 对称轴为直线， ，关于对称轴对称， ，两点之间的距离； 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 利用点与点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线，然后根据点、、离对称轴的远近求解． 【解答】 解：二次函数的图象过点，， 图象开口向上，对称轴为直线， ，，也在二次函数的图象上，且， ． 故选B． 5.【答案】  【解析】解：由二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，， ，即，， 代入得，，即，因此， ， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键，根据题意求出点坐标，从而得到的长，根据正方形的性质得到长，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，在直角中，利用勾股定理解得的长，进而得到的长，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：设 点在抛物线的第一象限的图象上， 解得：或舍去， ， ， 四边形为正方形， ， 过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， 在中，， ， 点的横坐标为， 故选：． 7.【答案】  【解析】A、的图象过一、二、三象限，则，， 二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ，，不符合题意； B、函数的图象过一、二、四象限，则，， 二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ，，不符合题意； C、一次函数的图象过一、三、四象限，则，， 二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ，，符合题意； D、一次函数的图象过一、二、四象限，则，， 二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ，，不符合题意； 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 由抛物线对称轴的位置判断，的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】 解：由抛物线开口向下可知， 抛物线与轴交点在轴上方可知：， 对称轴在轴的右侧， 即，， ， 故不正确； 当时，， ， 故正确； 由对称知，当时，函数值大于， 即， 故正确； ， ， ， ， ， 故不正确； 当时，的值最大，此时，， 而当时，， 所以， 故，即， 故正确． 故正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：将代入得， ， ． 故答案为：． 10.【答案】  ，  【解析】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 故答案为：；，． 11.【答案】  【解析】解：． ， 当时，取得最大值，最大值． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当顶点在轴上时，抛物线与轴有唯一的公共点． 抛物线的顶点在轴上时，抛物线与轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出的值． 【解答】 解：抛物线的顶点在轴上， ， 即， 解得． 故答案为． 13.【答案】或  【解析】解：， 抛物线的图象开口向上，且对称轴为直线， 离对称轴越远的点，函数值越大， 二次函数的图象经过点和，且， ， 即或， 解得：或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 14.【答案】  【解析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：方程的解就是一次函数与二次函数两个函数的图象交点的横坐标，一次函数与二次函数的图象分别交于点，． 的解为； 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：当时， 解得：，不合题意，舍去， 推铅球的距离是米． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：设正方形的对角线长为，则，，； 由条件可得，， 代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 17.【答案】二次函数的表达式；   抛物线的解析式为：  【解析】由题意，设二次函数的表达式， 把，和代入得， ． 二次函数的表达式． 由题意，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 抛物线的解析式为：． 依据题意，设二次函数的表达式，把，和代入可得，，的值，即可求出二次函数的表达式； 根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为：，再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式． 18.【答案】解：中，， 该抛物线的开口向上， ， 顶点为； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； 把此抛物线向左移动个单位，再向下移动个单位后，得到的新抛物线为：，即， 当时，， 新抛物线不过点．  【解析】由的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点式即可求得顶点坐标； 根据二次函数的性质即可得到结论； 根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点的坐标即可判断． 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19.【答案】，   见解析；   ．  【解析】解：抛物线过点，，且它的对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 设抛物线解析式为，把代入，得， 解得：， ， 函数图象如图所示； 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：． 运用待定系数法即可求得答案； 根据题意画出函数的图象即可； 解方程即可得到结论． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20.【答案】，顶点坐标为 点坐标为或   【解析】【分析】把、分别代入中，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标； 结合图象、两点及顶点坐标即可得出答案； 设，则，计算出的值，再代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【详解】解：把、分别代入中， 得： 解得： 抛物线的解析式为， ， 顶点坐标为； 解：由图可得： 当时，； 解：、， ， 设，则， ， ， 当时，， 解得：， 此时点坐标为或； 当时，，方程无解； 综上所述，点坐标为或． 21.【答案】解：抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线 把代入可得： ， ， 在轴右侧抛物线的函数表达式为：． 由题意，， 可令， 则， 这个装饰物的设计高度为  【解析】依据题意，由抛物线的顶点坐标为，则可设抛物线，把代入求出后即可判断得解； 依据题意，由，从而可令，则，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 22.【答案】   【解析】【分析】把，，三点代入二次函数解析式，解方程组即可； 把中解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； 根据中解析式求出的坐标，作轴于点，根据即可解决问题； 【详解】解：二次函数的图象经过，，， 则 解得 抛物线的解析式为； ， 顶点； 令，得， 解得，， ， 如图，作轴于点， ，    可得． 23.【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点， 、两点关于直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为； 抛物线的对称轴为直线， ，解得， 将代入， 得，解得， 则二次函数的解析式为； 设直线的解析式为，将，代入 得 ， ， 即直线的解析式为； 设点坐标为， 则点坐标为， ， 当 时，有最大值．  24.【答案】直线；  证明见解析；的最大值为  【解析】解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线． 证明：由题意，点，都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． 解：由题意可得， ． 当时，的最大值为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $