（七上预习篇）第1章 4 利用三角形全等测距离-【假期好时光】2025年新教材数学六升七暑假作业（鲁教版五四学制2024）

第一章三角形 预习篇 4 利用三角形全等测距离 一学习目标☐ 1.能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。 2.能在解决问题的过程中进行有条理地思考与表达。 厂知识点讲解了 知识点利用三角形全等测两点之间的距离 【典型例题】小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带 的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语。其具体信息汇集 如下：如图，AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等，AC,BD相交于点O,OD⊥CD,垂足 为D。已知AB=10米，请根据上述信息求标语CD的长度。 B人行道A 一行车道 行车道之·一0隔离带H C个D人行道 富强民主文明和谐自由平等公正法治爱国敬业诚信友善 小斗点拨：由AB∥CD,利用平行线的性质可得∠AB0=∠CDO,由垂直的定义可得∠CDO= 90°，易得OB⊥AB,由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB,利用ASA定理可得△AB0 ≌△CDO,由全等三角形的性质可得标语CD的长度。 解：因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO。 因为OD⊥CD,所以∠CD0=90°。所以∠AB0=90°，即OB⊥AB。 因为相邻两平行线间的距离相等，所以OD=OB。 在△AB0和△CD0中，因为∠AB0=∠CD0,OB=OD,∠AOB=∠COD, 所以△ABO≌△CDO(ASA)。 所以CD=AB=10米，即标语CD的长度是10米。 【跟踪练习】 1.利用三角形全等测距离的依据是 A.全等三角形的对应角相等 B.全等三角形的对应边相等 C.全等三角形的周长相等 D.全等三角形的形状相同 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC= CD。再作出BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上，通过证明△ABC一△EDC,得到DE 的长就等于AB的长。这里证明三角形全等的依据是 () A.SAS B.SSS C.ASA D.不确定 41 假期好时光 ·数学·七年级·上 3.如图，已知AC=DB,A0=D0,CD=100m,则A,B两点间的距离 () A.大于100m B.等于100m C.小于100m D.无法确定 小明 小红 G 第3题图 第4题图 4.如图，小明与小红玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50cm, 当小红从水平位置CD下降30cm时，小明离地面的高度是 cmo 5.如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得了河流的 宽度，他们是这样做的： ①在河流的岸边B处，选对岸正对的一棵树A; ②沿河岸直走20米有一树C,继续前行20米到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达树A正好被树C遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为5米。 (1)河的宽度是 米； (2)请你说明他们做法的正确性。 自主检测☐ 一、选择题 1.如图，为了测量点B到河对面的目标A之间的距离，在点B同侧选择了一点C,测得∠ABC= 75°，∠ACB=35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=75°，∠MCB=35°，得到△MBC≌△ABC, 所以测得MB的长就是A,B两，点间的距离。这里判定△MBC≌△ABC的理由是( ) A.SAS B.AAA C.SSS D.ASA 第1题图 第2题图 2.如图，将两根绳子的一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底 部的距离BD与CD相等，则两根绳子长度的关系是 () A.AB>AC B.AB<AC C.AB=AC D.不能确定 42 第一章三角形 预习篇 3.在新修的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD(如图)，其中AB∥CD,在AB,BC,CD 三段绿色长廊上各修建一凉亭E,M,F,且BE=CF,M是BC的中点，E,M,F在一条直线上。 若在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，想知道M与F之间的距离，则要测出的长度 是 ) A.EM B.BE C.CF D.CM 老街 B300m 平安路北 400 C 新书店 E 400m 、小米胡同 街 500m FD A幸福路 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的 周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 () A.51 cm B.48 cm C.45 em D.54 cm 5.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA= OD,OB=OC,测得AB=a,EF=b,圆形容器的壁厚是 () A.a B.b C.b-a n6-a) 6.如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店 位于老街与小米胡同的交口处。如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书 店，按图中的街道行走，最近的路程为 ( A.300m B.400m C.500m D.600m 二、填空题 7.如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF,EH=FH,不用度量，就知道∠DEH=∠DFH,小明 是通过全等三角形的证明得到的结论，请问小明用的证明方法是 。(用字母表示) 分钟 M 图1 图2 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，两根旗杆AC和BD间相距20米，某人从点B沿BA走向点A,一段时间后他到达点M, 此时他分别仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为90°，且CM=DM。已知旗杆BD的高 为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒。 9.如图1，A,B两点分别位于一个池塘的两端，C是AE的中点，也是BD的中点，图2表示的 是小明从点D走到点E路程s(单位：米)与时间t(单位：分钟)的关系，已知小明从点D到 点E走了3分钟，则AB= 米。 43 假期好时光 L·数学·七年级·上 10.在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形 P 的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ,其中 AB=20cm,AP,BQ足够长，PA⊥AB于点A,QB⊥AB于点B,点M从点B 出发向点A运动，点N从点B出发向点Q运动，速度之比为2：3，运动到 M 某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C,若使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 三、解答题 11.数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角。如图所示，点A,B,C,D分别固定在 以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD,E,F可以在中间的两根木条上滑动， AE=CE=BF=DF。试说明：∠AOE=∠EOF=∠FOD。 12.新情境〔实际情境〕如图，小刚站在河边的A处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一 电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再 向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E 在一条直线时，他共走了140步。 (1)根据题意，画出示意图： (2)如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由。 北1 C◆A 448 D 作法：①作∠DA'E=∠A: ②在射线A'D上截取线段A'B=AB: ③以B'为顶点，以BA'为一边作∠A'B'F=∠B, BF交A'E于点C。 △A'B'C'就是所求作的三角形 13.解：不能。理由：已知两边和其中一边的对角。 不能作出唯一确定的三角形。 14.解：(1)因为D是BC中点，所以BD=CD。 在△ABD和△ECD中， 因为BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=ED, 所以△ABD≌△ECD(SAS)。 (2)因为在△ABC中，D是边BC的中点， 所以S△ABD=S△ADa 因为△ABD≌△ECD,所以SAAm=SAFCH 因为S△A脚=5， 所以SA4E=Sm+S6n=5+5=I0。 4利用三角形全等测距离 知识点讲解 【跟踪练习】 1.B2.C3.B 4.80 5.解：(1)5 (2)在Rt△ABC和Rt△EDC中， 因为∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC, ∠ACB=∠ECD 所以△ABC≌△EDC(ASA)。 所以AB=ED,即他们的做法是正确的。 自主检测 1.D2.C3.A4.C 5.D【解析】如图，连接AB。 在△AOB和△DOC中， 因为OA=OD. ∠AOB=∠DOC,OB=OC, 所以△AOB≌△DOC(SAS)。 所以AB=DC=a。 因为EF=b, 所以圆形容器的壁厚是(6-)。 故选D 6.C【解析】因为BC∥AD,所以∠DAE=∠ACB。 又因为BC⊥AB,DE⊥AC, 所以∠ABC=∠DEA=90°。 在△ABC和△DEA中， 因为∠ACB=∠DAE,∠ABC=∠DEA,AB=DE, 所以△ABC≌△DEA(AAS)。 所以EA=BC=300m。 所以CE=AC-AE=200m。 从B到E有两种走法：①BA+AE=7O0m; ②BC+CE=500m。所以最近的路程是500m。 故选C。 7.SSS8.4 9.450【解析】由题图2知小明从点D走到点E的 速度为300÷2=150（米/分钟）， 所以DE=150×3=450(米)。 因为C是AE的中点，也是BD的中点， 所以AC=EC,BC=DC 在△ACB和△ECD中， 因为AC=EC,∠ACB=∠ECD,BC=DC, 所以△ACB≌△ECD(SAS)。 所以AB=DE=450米。 10.8或15【解析】设BM=21cm,则BN=31cm, 因为∠A=∠B=90°， 使△ACM与△BMN全等，可分两种情况： 情况一：当BM=AC,BN=AM时， 因为BN=AM,AB=20cm,所以31=20-21 解得1=4。所以AC=BM=21=2×4=8cm: 情况二：当BM=AM,BN=AC时， 因为BM=AM,AB=20cm,所以21=20-2t。 解得1=5。所以AC=BN=31=3×5=15cm 综上所述，AC=8cm或AC=15cm。 11.解：在△AOE和△COE中， 因为AE=CE,AO=CO,OE=OE. 所以△AOE≌△COE(SSS)。 所以∠AOE=∠COE。 11 同理∠COE=∠FOD. 所以∠AOE=∠EOF=∠FOD。 12.解：(1)所画示意图如下。 北 (2)在△ABC和△DEC中. 因为∠A=∠D,AC=DC,∠ACB=∠DCE. 所以△ABC≌△DEC(ASA)。所以AB=DE 因为小刚共走了140步，其中AD走了60步， 所以走完DE用了80步。 小刚一步大约50厘米， 即DE=80×0.5=40(米)。 故小刚在点A处时他与电线塔的距离约为 40米。 章未预习自测 1.B2.A3.C4.C5.C6.B 7.C【解析】满足条件的三角形如图所示，有5个。 故选C。 8.B【解析】因为角平分线BF,CE交于点O, 所以AO平分∠BAC。所以∠BAD=∠CAD 在△BAD和△CAD中， 因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD, 所以△BAD≌△CAD(SAS) 同理可证：△OBD≌△OCD,△OBE≌△OCF, △OEA≌△OFA,△OBA≌△OCA, △BEC≌△CFB,△ABF≌△ACE 由上可得，图中共有7对全等三角形。故选B。 9.三角形的稳定性10.411.②③①④ 12.2.3.413.2 12 4号 【解析】因为EF⊥AF,AE⊥AB,BG⊥AG. 所以∠AFE=∠EAB=∠AGB=90°。 所以∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°。 所以∠FEA=∠BAG 在△FEA和△GAB中 因为∠AFE=∠BGA,∠FEA=∠GAB,AE=BA, 所以△FEA≌△GAB(AAS)。 所以AG=EF=6,AF=BG=2。 同理CG=DH=3,BG=CH=2。 所以FH=2+6+3+2=13。 所以特形EF0的面积是号×(BF+Dm)xFm =号x(6+3)x15-7 2 所以实线围成的图形面积为S蒂m一S△A一 盟-号×6x2-号×6+3)× SANC-SAOmE=2 2-x3x2- 15.解：如图，△ABC即为所求作。 16.解：因为AD⊥AE,AB⊥AC, 所以∠CAB=∠DAE=90°。 所以LCAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD 即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中， 因为AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS). 17.解：(1)因为(a-b)2+(b-c)2=0 所以a-b=0,b-c=0。所以a=b=c。 所以△ABC是等边三角形。 (2)因为a=5,b=2,且c为整数， 所以5-2<c<5+2,即3<c<7。 所以c=4或5或6。 当c=4时，△ABC的周长有最小值， 最小值为5+2+4=11： 当c=6时，△ABC的周长有最大值， 最大值为5+2+6=13