山东省泰安肥城市2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题

高三数学参考答案及评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C A D B A D 1. 答案：B 解析：，虚部是1 . 2. 答案：C 解析：因为，所以. 3. 答案：C 解析：因为，所以. 4. 答案：A 解析：令，得，所以. 5. 答案：D 解析：,故选D . 6. 答案：B 解析：设飞机的地面速度向量为，实际运动速度向量和风速向量分别为，由已知可得，，， 所以，. 7. 答案：A 解析：由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 . 8. 答案：D 解析：设，则 当时，，选项A正确； 当时，，，，所以 ， ，由此可得，选项B正确； 当时，同理可得，选项C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD ACD 9. 答案：AC 解析：因为//，所以// 平面，选项A正确；而平面，所以选项C正确，选项B错误；异面直线与所成的角为45°，所以选项D错误. 10.答案：ABD 解析：对于A，设，则，由得， 直线 AB 的斜率，故直线AB 的方程为， 令，解得 ，故 ，所以 ，选项A正确； 对于B，，选项B正确； 对于C，取 ，则 ，故 ，， ， 则确定的圆方程为 ， 因为，故､､､四点不共圆，选项C错误； 对于D，过作的平行线，该方程为 ，与 联立， 解得：，故的面积， 因为，故将 代入上式并化简得 ， 不妨设，则，当且仅当时等号成立，此时， 故面积的最大值为 4 ，选项D正确；故选：ABD. 11. 答案：ACD 解析：由，及、 得，结合，化简得，即，由此可得 ，所以A正确. 又由题设得，即，再由正、余弦定理得，化简得. 结合选项A可以判断是等腰直角三角形，，. 所以结合条件得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 或 14. 12. 答案： 解析：设切点是，则，，所以切线方程是 ，即，所以 ，解得，. 13. 答案：或 解析：由可知，所以， 两式相除，整理得，解得，所以或. 14. 答案： 解析：设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中，则. 所以， 故. 四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 解：（1）由列联表得 ……………………………………………………1分 ……………………………………………………2分 （2） …………………………………………4分 由于所以根据小概率值的独立性检验，可以认为南、北消费者对新能源汽车的认可度有差异. ……………………………………………………6分 （3）南、北方消费者中对新能源汽车认可的频率分别为 因此的估计值分别为 ……………………………………………………8分 4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数 则 故的分布列为： 0 1 2 3 4 ……………………………………………………12分 故 ……………………13分 16. （15分） 解：（1）证明：由已知可得：即 ………………………3分 所以是以为首项，1为公差的等差数列. ……………………………………5分 （2）由（1）得：所以 ………………………7分 故， 可得， 所以，……………………10分 所以 ………………………………………………13分 所以. ………………………………………………15分 17. （15分） 解：（1）由已知，平面，平面，故.……………2分 又，，平面，平面， 故平面. ……………………………………………………4分 因为平面，所以平面平面.…………………………5分 ( A B C P A 1 B 1 C 1 x y z )（2）（i）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，. 设，，因为，所以 解得 故点在平面内. ……………………………………………………10分 （ii）由（i）可得，，，，. 设是平面的法向量，则 即可取. ……………………………………………………12分 则， ……………………………………………………14分 故直线与平面所成角的大小为. ……………………………………………15分 18. （17分） 解：（1）设，则 …………………………………………1分 设的短半轴为，则. 又由得. ……………………………………………3分 所以的方程为 ……………………………………………………4分 （2）（ⅰ）因为共线，且的横坐标分别为故若，则 的横坐标为，所以.不妨设在第一象限，由得 即. 设，则由几何关系可知故,直线的斜率 设直线与轴的交点为，则又，所以 ……………………………………………………7分 又因为//，，故所以， 故 ……………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）猜想平分角因为，故直线的方程可设为，不妨设，与的方程联立有， 整理有. …………………………………………10分 设，，则 故 …………………………………………………11分 当斜率不存在时，由（ⅰ）可知 …………………………………12分 当时，斜率存在， 且故此时也有即 ……………………………………………………14分 因为//，故. 又，故 设关于直线的对称点为，则，取，则，易知 ∽，故，故∽，故 所以存在定点，使得.……………………17分 19. （17分） 解：（1）令，，则，………………………2分 所以在上单调递减，所以，即. …………………………………………5分 （2）（i）必要性：若成立，即存在，使得对任意，都有，则对任意，，即成立. ……………………………………7分 充分性：若成立，即存在，使得对任意，都有. 当时，有；当时，有； 当时，，由， 知是奇函数.所以. 于是对任意，都有，即成立. …………………………………10分 （ii）由（i）知，只需考虑成立，即存在，使得对任意，都有，等价于. …………………………………………………………11分 令，， 则需，在上恒成立. 不妨取，即，在上恒成立. 由，得，，则 ①当时，，符合题意； ②当时，，在上单调递增，故符合题意； ③当时，令，则，在上单调递增； 若，即，则，在上单调递增，同②符合题意； 若，即，由，知存在，使得. 当时，，在上单调递减，故，不符合题意. 于是. …………………………………………14分 2°由，得，， 令，， ①当时，由（1）可知 ，符合题意. ②当时，，在上单调递减， 若，即，则，在上单调递减，故，符合题意； 若，即，由，知存在，使得，当时，，在上单调递增，故，不符合题意. 于是. …………………………………………16分 综上，实数的取值范围为. …………………………………………17分 高三数学参考答案 第12页 （共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 三 数 学 试 题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 的虚部是 A． B． C． D． 2. 设全集，，则集合等于 A． B． C． D． 3. 已知双曲线的实半轴长为，焦距为，则的离心率为 A． B． C． D． 4. 已知是函数的一个零点，则的最小值为 A． B． C． D． 5. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 A．　　　 B．　　 　C．　　　 D． 6. 如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为 （参考数据：，，） A． B． C． D． 7. 已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是 A． B． C． D． 8. 已知，则，，的大小关系不可能为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ( A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 )9. 如图，为正方体，则 A．// 平面 B． C．平面 D．异面直线与所成的角为 10. 斜率为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，，直线，的斜率分别为，. 设直线与轴交于点，过作的平行线交于点，则 A. B. C. ､､､四点共圆 D. 面积的最大值为4 11. 已知的面积为，若，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若直线是曲线的切线，则 ▲ . 13. 设等比数列的前项和为，则的公比 ▲ . 14. 袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子. 记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查，得到如下列联表： 对新能源汽车的认可度 合计 认可 不认可 南方消费者 150 150 300 北方消费者 75 125 合计 225 500 （1）求，； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异？ 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （3）记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为，给出的估计值，并根据求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数的分布列与期望. 附： 16. （15分） 已知数列中，，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 17. （15分） 在直三棱柱中，，，. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，且，，，均在球的球面上. （i）证明：点在平面内； （ii）求直线与平面所成角的大小. 18. （17分） 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且 （1） 求的方程； （2） 过且不与轴重合的直线与的另一个交点为，与直线交于点， 过且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）证明：存在定点，使得. 19. （17分） （1）当时，证明：； （2）已知函数，. 记：，使得对，都有；：，使得对，都有. （ⅰ）证明：是的充要条件； （ⅱ）若成立，求实数的取值范围. 高三数学试题 第4页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $