专题01 特殊平行四边形（2知识&6题型&7方法清单）（期中知识清单）九年级数学上学期北师大版

专题01 特殊平行四边形（2知识&6题型&7方法清单） 【清单01】几种特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 矩形 平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 中心对称图形、轴对称图形 菱形 平行且四边相等 对角相等邻角互补 互相垂直平分 中心对称图形、轴对称图形 正方形 平行且四边相等 四个角都是直角 互相垂直平分且相等 中心对称图形、轴对称图形 【清单02】几种特殊四边形的常用判定方法 判定方法 矩形 1.定义：有一角是直角的平行四边形 2.三个角是直角的四边形 3.对角线相等的平行四边形 菱形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.四条边都相等的四边形 3.对角线互相垂直的平行四边形 正方形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形 【题型一】菱形的性质与判定 【例1-1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．由得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意； B．∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴四边形是菱形，故该选项不符合题意； C．由不能证明是菱形，故该选项符合题意； D．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故该选项不符合题意． 故选：C． 【例1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 【例1-3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对称中心重合．若这些菱形的边长为2，锐角为，则阴影部分的面积总和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意知，将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2020个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致， 如图，由题意知，，，，，则，均为等边三角形， 则，，，， 由菱形的对角线平分一组对角可知， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，即为的中点， ∴， ∴一个阴影菱形的面积为：， ∴阴影菱形的面积总和为：， 故选：C． 【例1-4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：． 【详解】证明：四边形是菱形 ，， 【例1-5】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，的对角线，相交于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积是，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【变式1-1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接、，当时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，与 的两边分别交于点M，N，且四边形 是菱形，点 M分别是的中点，．求证：． 【详解】证明：∵四边形 是菱形， ∴，． ∵M分别是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，点，分别是边，上的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， 在中，点是的中点， 在中，点是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，连接，交于点， 在中，，，， 由（1）知四边形是菱形， ，，. 是的中点， 是的中位线， ， ， 菱形的面积为． 【题型二】矩形的性质与判定 【例2-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； B、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； C、，则是菱形，故不符合题意； D、，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D． 【例2-2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，， 、为分别为矩形、矩形对角线， 且矩形由矩形旋转得到，也可看作由旋转得到， ， ， ， 又，分别为，中点， 由矩形性质可得，也是中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【例2-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【例2-4】（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， 又，, ， 矩形的面积是． 【例2-5】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 【答案】5 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：5 【变式2-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式2-4】（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，O为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，则的长是 ． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 【题型三】正方形的性质与判定 【例3-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，D 是斜边的中点，以为边作正方形，若，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，点是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【例3-2】（24-25九年级上·广东河源·期中）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：A． 【例3-3】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一，如：或或或） 【详解】解：由于四边形是菱形，则添加或或或或就可以判定四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一，如：或或或）． 【例3-4】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 【详解】证明：∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ． 【例3-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 【详解】证明∶∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 【变式3-1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 【详解】（1）证明：∵将绕着点E逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵在正方形中， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴矩形为正方形； （2）证明：如图，延长到点M，使得，连接， ∵在正方形中 ∴，， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为， ∵正方形的边长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【题型四】中点四边形 【例4-1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】如图所示，连接，，，， ∵点E，F，G，H分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， 故选：C． 【例4-2】（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图,正方形的边长为,顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,…．以此类推,则第六个正方形的周长是 ;面积是 ．    【答案】 【详解】解:∵正方形的边长为, ∴正方形的面积为,周长为; ∵顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形, ∴,根据勾股定理得, 即正方形的周长为,面积为; ∵顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形, 同理可得正方形的周长为,面积为; …… ∴以此类推,不难发现规律,第个正方形的周长为,面积为, ∴第六个正方形的周长为,面积为． 故答案为：， 【变式4-1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故选：D． 【变式4-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、中点四边形、图形类规律探索、证明四边形是菱形 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 【题型五】特殊平行四边形中折叠求长度 【例5-1】（24-25九年级上·海南海口·期中）在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴，， ∵M，N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． 故选：D． 【例5-2】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，将沿对折至，延长交边于点G，连接．若，则正方形的边长是 ． 【答案】12 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ， . 又， . ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，， ， 解得或（舍）， ∴正方形的边长为12， 故答案为：12． 【例5-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2）解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【变式5-1】（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：    设正方形的边长为，则， 解得， 由翻折变换的性质可知：，，， ∴阴影部分的周长， ， ， ， ， 故选：． 【变式5-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：过点F作于H点，如图； ∵四边形是矩形， ∴，，； ∴； 由折叠知：；， ∴， ∴； ∵为边的四等分点，且， ∴；， 在中，由勾股定理得：， 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∵， ∴， 又∵，即， ∴ 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【详解】解：（1）①∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 则； ②；理由如下： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 则； （2）的长为； 如图， ∵点F落在上方，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则，，， 根据折叠的性质得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 则． 【题型六】平行四边形的动点问题 【例6-1】（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ． 【答案】或； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【例6-2】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【例6-3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． (1)__________； (2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 【详解】（1）解：如解图1，过点A作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 故答案为：3． （2）解：如解图2，当时，，， ∵，即， ∴点P在上，此时， 当时，如解图3， 点P在上，，， 此时， 综上所述：； （3）解：如解图4．过点P作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形， ，，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，（不合题意舍去）． ∴当点在线段上运动，且点之间的距离为时，此时． 【变式6-1】（22-23九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境： 如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=4cm，动点E，F分别从点A、C同时出发，点E以2cm/s的速度向终点B移动，点F以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为ts． 问题解决： (1)连接EF，当EF=5cm时，求运动的时间t的值； (2)连接DE，以点D，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值． 【详解】（1）解：如答图，过点F作FG⊥AB于点G， ∴∠FGE=∠FGB=90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB=12cm，AD=4cm， ∴∠B=∠C=90°，BC=AD=4， ∴四边形BCFG是矩形， ∴FC=GB=t，BC=FG=4， ∵AE=2t， ∴EG=12-2t-t=12-3t， 在Rt△EFG中，EF=5，由勾股定理，得 ， ∴， 解，得， ∴运动的时间t的值为3或5； （2）解：如图，由（1），得， 在Rt△ADE中，∠A=90°，由勾股定理，得 ， ∵以点D，E，F为顶点的三角形是等腰三角形，DF=12-t， ∴分三种情况： ①当DE=DF时，即：， 解得，（舍去）； ②当FE=FD时，即：， 解得，； ③当EF=ED时，如答图3，过点E作EM⊥DC于点M， ∴DM=DF，∠DME=90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB=12cm，AD=4cm， ∴∠A=∠ADC=90°， ∴四边形ADME是矩形， ∴DM=AE=2t， ∴， 解得； 综上所述，t的值为，，或． 【变式6-2】（23-24九年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．    (1)当运动停止时，的值为______． (2)当为何值时，点重合？ (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【详解】（1）当点到达点时，，解得： 当点到达点时，，解得： 当点到达点时，，解得： 当点到达点时，，解得： ∵当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动， ∴ 故答案为： （2）解：当点与点重合时，由，得 、（舍去） 所以时点与点重合． （3）因为当点到达点时，，解得： 此时点和点还未相遇，所以点只能在点的左侧， ①如图1，当点在点的左侧时，由，解得（舍去），； 故当时四边形是平行四边形；    ②如图2，当点在点的右侧时，由，解得或（舍去）； 故当时四边形是平行四边形；    综上：当或时四边形是平行四边形． 【变式6-3】（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒． (1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？ (3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？ (4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？ 【详解】（1）∵点P，Q均以的速度移动， ∴． 故答案为：； （2）∵，点P，Q均以的速度移动， ∴当点P和点Q分别运动到和的中点时, ∴当时,过点P作于点E ∴, ∵ ∴四边形是矩形, ∴, ∴, ∵ ∴在中,, 即,解得或（舍去）, 当时,作交于点M, 同理可得,,, ∴在中, ∴ ∴解得或（舍去）, 综上所述,当或时，P，Q间的距离为； （3）过点P作于点E ∴ ∵ ∴ 在矩形中，， ∴ 四边形是矩形 ∴ 又∵ ∴ ∴ 由 ∴ ∴ ∴ 当时，，为等腰三角形； （4）在矩形中，，，，依题知 ∴ ∴ 四边形是平行四边形 当时，四边形是菱形 ∴ 在中，   由 ∴ 即： 解得： ∴ 当时，四边形是菱形． 【题型一】“十字架”模型 【模型解读】 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直.简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.易证， . ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，， 易得 . 【例1】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在正方形中，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），连接，作的垂直平分线，分别交、于点E、F． (1)如图1，若，当点P是中点时，求的长； (2)试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：连接EP，过点D作交于点H，如图1所示： 四边形是正方形，且， ，，， 设， 是AP的垂直平分线， ， ， 点P是中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 是的垂直平分线， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）线段、、之间的数量关系是：，理由如下： 过点D作交于点M，如图2所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， 是的垂直平分线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1-2】（24-25九年级上·海南海口·期中）在矩形中，，，分别在，上． (1)若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； (2)如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 【详解】（1）证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，且，， ； ②如图，过点作交于点， 由（1）可知， ，， ， ∵， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于，连接， 为的中点， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为． （2）解：如图2，过作于N，于M， ， ， ， ， ，． ， （3）解：如图3，过作，，则，， ， ， ， ， ，， ，解得米， 米， 当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 【题型二】对角互补模型 【模型解读】 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线， ，分别交，于点，，且 ，，交于点 . 结论：；； 是等腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 【例2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3． (1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明； (2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________． 【详解】（1） 解：， 证明：四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 解：， ． ， 即， ， ． 当时，四边形的周长最小，最小值为6， 故答案为：，6 【变式2-1】（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． (1)操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． (2)迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 【详解】（1）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下： 过点P作于点E，于点F，如图1所示： 依题意得：， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 即是的平分线， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； （2）当Q点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形， 分两种情况讨论如下： ①当点P在线段上时，点Q在边的延长线上，时，四边形是邻等对补四边形，理由如下：过点P作于点E，于点F，如图2所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得， ∴，，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ∴； ②当点P在的延长线上时，时， 四边形是邻等对补四边形，理由如下： 过点P作交的延长线于点E，于点F，如图3所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 此时， 综上所述：当以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形时，的长为或2． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）【问题初探】 （1）北师大版教材九年级上册第一章《特殊平行四边形——正方形》习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明给出这样的解题思路：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．通过小明的思路点拨，你认为：______（填一个数值） 【类比探究】 （2）如图2，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______；______； 【问题解决】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少？ 【详解】解：（1），， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，边长为， ，， ， ， 是的中位线， ， 同理：， ， ，四边形是正方形， ，， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，，， ，点是边的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ，， ，， 故答案为：，； （3）如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，，则， ，，，，，， 是等边三角形，设其边长为 ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∵四边形储藏间的占地面积为 ∴ 解得：（负值舍去） 即， ∴菱形的周长为 答：需要篱笆 【变式2-3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， 面积的最大值是； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型三】半角模型 【模型解读】 如图（1），在正方形中，,分别在,上，分别交,于， ，若 , 则有以下结论：；； 平分,平分；； 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长线上，若 , 则有以下结论：平分； . 【例3】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1) °（直接写出结果不写解答过程） (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的面积． (3)如图（2），在中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）． 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； （2）①证明：过点作于， 平分，，， ， 同理可得， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ； （3）解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠可得，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：2.8． 【变式3-1】（24-25九年级上·云南昆明·期中）旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形，点M是直线上一个动点，点N在直线上，且满足，连接．    (1)如图1，当点M在边上时，求证：． 请根据下面的思路分析填空：因为，所以．将绕点A逆时针旋转得到，由旋转性质可得，所以 ．由此可证明__________，可得出__________，再由线段的加法可以得出． (2)如图2，，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上． ①猜想之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若，则__________． 【详解】（1）解：因为， 所以． 将绕点A逆时针旋转得到， 由旋转性质可得， 所以． 由此可证明，可得出， 再由线段的加法可以得出， 故答案为：，，． （2）解：①，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，    由旋转性质可得，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②四边形是正方形， ， 由①可知，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·江西新余·期中）如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 【详解】（1）解：①；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由如下： ∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 即四边形的面积的值始终保持不变，值为4； （2）解：延长至G，使，连接，作于M，如图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即点A到线段的距离为2． 【变式3-3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ,, 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， , 点、、共线， , ,, ,即， 在和中， ， ， , ,即, 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示， , 把绕点逆时针旋转至,可使与重合， , 点、、在一条直线上， , ,,, ， , , ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式3-4】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【详解】（1）【发现】解：如下图所示， 延长到点，使， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）【类比引申】解：当时，中结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， 又， 在和中， ， ， 又， ， ； （3）【探究应用】解：如下图所示，过点作垂足为点，连接， 与垂直， ， ， ， ， 是等边三角形， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米， ， ， ， ， ， 由【类比引申】可知(米)． 【题型四】根据垂线段最短求最值 【模型解读】 在直角三角形中求线段长度的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将所求线段长度的最小值转化成直角顶点与斜边动点连线的长度的最小值，此时根据垂线段最短即可求解. 【例4】如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为多少（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、，    ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴的长度最小为：． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用． 【变式4】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ， ， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，连接． ∵四边形是矩形， ， 当时，最小，即取最小值， ∵， ∴，即，即②错误； ， ． ∵四边形是矩形， ， ，即的值为定值4，故③正确； ， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，． ， ，解得：， ∴线段的最小值为，故④正确． ∴正确的有①③④． 故选：D． 【题型五】根据三角形三边关系求最值 【模型解读】 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为定值，另外一边为要求的那条边. 【例5-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 故选：B．    【例5-2】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：如图，取中点，连接，， 四边形是矩形， ，，， 点是中点，点是的中点， ，， ， 点是的斜边的中点， ， 根据三角形三边关系可得：， 当点，点，点共线时，最大值为． 故选：D． 【例5-3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 【例5-4】（23-24九年级上·贵州六盘水·期中）如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点M在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变其中，，运动过程中，点到点的最大距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， ， 当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，， ， 是直角三角形， 是直角三角形，点是的中点，， ， 四边形是矩形， ，由勾股定理得：， 的最大值为， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在正方形中，，G是的中点，点E是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接， 则，， 过点M作于点N， 则， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，G是的中点，， ∴，， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴， 由线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接， 则，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， 故当C，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∴的最小为， 故选：A． 【变式5-2】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A．2 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】解：连接、相交于H，连接，如图， ∵菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ∴的周长的最小值为． 故选：B． 【变式5-3】（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【答案】①④⑤ 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 即． 又∵， ∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，， ∴， ∴，故本答案错误； ③假设，且， ∴是的垂直平分线． 连接， 由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． ∴点A和点C关于直线对称， ∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F， 则，设菱形的边长为a， ∴，． 在中，， 解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【题型六】“将军饮马”求最值 【模型解读】 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一点关于直线的对称点，将两点转化到直线的两侧，利用两点之间线段最短求最小值. 【例6】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是（   ） A．8 B．10 C．15 D．18 【答案】B 【详解】解：连接交于点N， ∵正方形的边长为8，点在上且， ∴，，点D与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵点D与点B关于对称， ∴， ∴,最小． 故选：B． 【变式6-1】（2024·河南洛阳·一模）在菱形中，对角线相交于点O，且，点E，F分别是线段上的两个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作关于的对称点，则， ， 四边形是菱形， 在线段上， 当时，最小， 四边形是菱形，，，，，， ，， 在中， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，且，，点，分别是线段，上的两个动点，连接，，，当的值最小时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴点与点F关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵四边形是菱形，， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， 解得， 此时，点在上，且点与点重合，连接，如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型七】“费马定理”求最值 【模型解读】 “费马点”是指到三角形三个顶点距离之和最小的点.主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°时，通常将其中一个小三角形绕大三角形的一个顶点旋转60°. 例如：将绕点逆时针旋转 ,得到，连接 ,如图（1）,则为等边三角形，， ,即,当,,, 四点共线时取得最小值，为 的长，如图（2）. 【例7】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【答案】 【详解】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【变式7】［2025新疆乌鲁木齐校级期中］如图，四边形是菱形， ，且 ，是菱形内任意一点，连接，，，则 的最小值为_____. 【解析】如图，将绕点逆时针旋转 得到 ，连接，，作交的延长线于点 . 由旋转得,, ,, 是等边三角形， ， , 当,, ,共线时， 的值最小，即的最小值为的长. ，， 易得，.在 中，，,即 的最小值为.故答案为 . 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形（2知识&6题型&7方法清单） 【清单01】几种特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 矩形 平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 中心对称图形、轴对称图形 菱形 平行且四边相等 对角相等邻角互补 互相垂直平分 中心对称图形、轴对称图形 正方形 平行且四边相等 四个角都是直角 互相垂直平分且相等 中心对称图形、轴对称图形 【清单02】几种特殊四边形的常用判定方法 判定方法 矩形 1.定义：有一角是直角的平行四边形 2.三个角是直角的四边形 3.对角线相等的平行四边形 菱形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.四条边都相等的四边形 3.对角线互相垂直的平行四边形 正方形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形 【题型一】菱形的性质与判定 【例1-1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对称中心重合．若这些菱形的边长为2，锐角为，则阴影部分的面积总和等于（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：． 【例1-5】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，的对角线，相交于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积是，求的长． 【变式1-1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接、，当时，线段的长为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，与 的两边分别交于点M，N，且四边形 是菱形，点 M分别是的中点，．求证：． 【变式1-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，点，分别是边，上的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【题型二】矩形的性质与判定 【例2-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 【例2-4】（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【例2-5】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【变式2-4】（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，O为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，则的长是 ． 【题型三】正方形的性质与判定 【例3-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，D 是斜边的中点，以为边作正方形，若，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【例3-2】（24-25九年级上·广东河源·期中）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 【例3-4】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 【例3-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 【变式3-1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【变式3-3】（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 【题型四】中点四边形 【例4-1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【例4-2】（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图,正方形的边长为,顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,…．以此类推,则第六个正方形的周长是 ;面积是 ．    【变式4-1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【变式4-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【题型五】特殊平行四边形中折叠求长度 【例5-1】（24-25九年级上·海南海口·期中）在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【例5-2】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，将沿对折至，延长交边于点G，连接．若，则正方形的边长是 ． 【例5-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【变式5-1】（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【题型六】平行四边形的动点问题 【例6-1】（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ． 【例6-2】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【例6-3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． (1)__________； (2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 【变式6-1】（22-23九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境： 如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=4cm，动点E，F分别从点A、C同时出发，点E以2cm/s的速度向终点B移动，点F以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为ts． 问题解决： (1)连接EF，当EF=5cm时，求运动的时间t的值； (2)连接DE，以点D，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值． 【变式6-2】（23-24九年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．    (1)当运动停止时，的值为______． (2)当为何值时，点重合？ (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式6-3】（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒． (1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？ (3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？ (4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？ 【题型一】“十字架”模型 【模型解读】 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直.简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.易证， . ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，， 易得 . 【例1】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 【变式1-1】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在正方形中，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），连接，作的垂直平分线，分别交、于点E、F． (1)如图1，若，当点P是中点时，求的长； (2)试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】（24-25九年级上·海南海口·期中）在矩形中，，，分别在，上． (1)若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； (2)如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【题型二】对角互补模型 【模型解读】 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线， ，分别交，于点，，且 ，，交于点 . 结论：；； 是等腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 【例2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3． (1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明； (2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． (1)操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． (2)迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）【问题初探】 （1）北师大版教材九年级上册第一章《特殊平行四边形——正方形》习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明给出这样的解题思路：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．通过小明的思路点拨，你认为：______（填一个数值） 【类比探究】 （2）如图2，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______；______； 【问题解决】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少？ 【变式2-3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【题型三】半角模型 【模型解读】 如图（1），在正方形中，,分别在,上，分别交,于， ，若 , 则有以下结论：；； 平分,平分；； 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长线上，若 , 则有以下结论：平分； . 【例3】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1) °（直接写出结果不写解答过程） (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的面积． (3)如图（2），在中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）． 【变式3-1】（24-25九年级上·云南昆明·期中）旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形，点M是直线上一个动点，点N在直线上，且满足，连接．    (1)如图1，当点M在边上时，求证：． 请根据下面的思路分析填空：因为，所以．将绕点A逆时针旋转得到，由旋转性质可得，所以 ．由此可证明__________，可得出__________，再由线段的加法可以得出． (2)如图2，，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上． ①猜想之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若，则__________． 【变式3-2】（24-25九年级上·江西新余·期中）如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 【变式3-3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【变式3-4】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【题型四】根据垂线段最短求最值 【模型解读】 在直角三角形中求线段长度的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将所求线段长度的最小值转化成直角顶点与斜边动点连线的长度的最小值，此时根据垂线段最短即可求解. 【例4】如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为多少（   ）    A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【题型五】根据三角形三边关系求最值 【模型解读】 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为定值，另外一边为要求的那条边. 【例5-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【例5-2】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 【例5-3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【例5-4】（23-24九年级上·贵州六盘水·期中）如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点M在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变其中，，运动过程中，点到点的最大距离是 ． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在正方形中，，G是的中点，点E是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式5-2】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A．2 B．2 C． D．4 【变式5-3】（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【题型六】“将军饮马”求最值 【模型解读】 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一点关于直线的对称点，将两点转化到直线的两侧，利用两点之间线段最短求最小值. 【例6】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是（   ） A．8 B．10 C．15 D．18 【变式6-1】（2024·河南洛阳·一模）在菱形中，对角线相交于点O，且，点E，F分别是线段上的两个动点，连接，则的最小值为 ． 【变式6-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，且，，点，分别是线段，上的两个动点，连接，，，当的值最小时，线段的长为 ． 【题型七】“费马定理”求最值 【模型解读】 “费马点”是指到三角形三个顶点距离之和最小的点.主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°时，通常将其中一个小三角形绕大三角形的一个顶点旋转60°. 例如：将绕点逆时针旋转 ,得到，连接 ,如图（1）,则为等边三角形，， ,即,当,,, 四点共线时取得最小值，为 的长，如图（2）. 【例7】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【变式7】［2025新疆乌鲁木齐校级期中］如图，四边形是菱形， ，且 ，是菱形内任意一点，连接，，，则 的最小值为_____. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $