专题02 特殊平行四边形（二） 11大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题02 特殊平行四边形（二） 11大高频考点概览 考点01 特殊平行四边形的线段最值问题 考点02 特殊平行四边形的折叠问题 考点03 特殊平行四边形中的手拉手模型 考点04 特殊平行四边形中的一线三等角模型 考点05 特殊平行四边形中的十字架模型 考点06 特殊平行四边形中的半角模型 考点07 特殊平行四边形中的倍长中线问题 考点08 特殊平行四边形的动点问题 考点09 特殊平行四边形的网格作图问题 考点10 特殊平行四边形与函数结合问题 考点11 特殊平行四边形其他综合问题 地 城 考点01 特殊平行四边形的线段最值问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁沈阳新民·期中)如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 3．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，菱形中，对角线、相交于点O，，．点P和点E分别为、上的动点，求的最小值（   ） A．14.4 B．16 C．17 D．18.6 4．(24-25九上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 5．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 7．(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期中)如图，在矩形中，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得，则线段的最小值为 ． 8．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 ． 9．(23-24九年级上·辽宁铁岭·期中)如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 地 城 考点02 特殊平行四边形的折叠问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)如图，在长方形中，，E为边上一点，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点，当落在边上时，的长为（    ）    A．3 B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)如图，现有一张矩形纸片，其中，点E是的中点．将纸片沿直线折叠，使点B落在点，则，C两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)如图，在中，是BC边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确（   ） A．当时， B．当点落在AD上时，四边形是菱形 C．在点运动的过程中，线段的最小值为2 D．连接，则四边形的面积始终等于 4．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（　　）    A． B． C． D． 5．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形． 8．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ． 9．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，在矩形中，10，，点，分别在，上，且，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ． 三、解答题 10．(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期中)如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． (1)如图（一），探究出，的数量关系为 ； (2)如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 11．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期中)综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． 【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕； 【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______； 【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长． 12．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图，在平行四边形中，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若，且的延长线恰好经过点．求证： ； (2)如图2，若，延长、分别与边、相交于、，若，，求的值； (3)如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、．作于点，若，直接写出 的值． 13．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)“综合与实践”课上，老师引导同学们以“如何确定正方形边长的三等分点”为主题开展探究活动．同学们手持学具（正方形纸、带刻度的直尺等）分小组展开讨论；各小组集思广益，拓展思路，利用所学知识解决问题． (1)除直接测量外，第一、二、三小组分别展示了不同方法． ①第一小组采用“平行线法”：如图所示，将刻度尺的刻度0与正方形顶点A重合，将点B 与刻度3对应点E连接，过刻度1对应点F作，交于点M．求证：点M为正方形边长的三等分点； ②第二小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； ③第三小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； (2)探究活动中，同学们利用翻折前后图形的基本元素（角、线段、三角形）之间的关联，为解决问题寻找新思路，请你利用这种解题策略探究下列问题： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点B落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，请直接写出的长． 14．(24-25九上·辽宁大连沙河口区格致中学·期中)综合与实践 在数学活动课上，数学老师带领同学们以“正方形的折叠”为主题展开综合与实践活动．    【动手操作】 如图1，在正方形中，点E在边上，连接，将正方形沿折叠得到四边形，点A、D的对应点分别为点G，H．延长，相交于点M，与相交于点N． 【问题发现】 （1）求证：． 【实践探究】 （2）如图2，若点N为的中点，连接，，求的度数． 【拓展思考】 （3）如图3，在（2）的条件下、延长交于点F，求的值． 15．(24-25九上·辽宁鞍山铁东区·期中)如图，在矩形中，点为对角线中点，点为边上一点，连接并延长交于点；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于、两点． (1)求证：； (2)已知，； ①当点在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求的长． 16．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)综合与实践 如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，得到平行于的折痕，其中． (1)求证：； (2)你认为和相似吗？如果相似，请证明，如果不相似，请说明理由； (3)如图3，延长交于点G，沿折叠，使点E落在上为点H，连接交于F，求的长． 地 城 考点03 特殊平行四边形中的手拉手模型 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁营口·期中)已知四边形为正方形，点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E在线段上时，线段与线段的数量关系和位置关系为 ； (2)如图2，当点E在正方形内部时，（1）中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)若正方形的边长为6，，当D、E、F在同一直线上时，长为 ； (4)如图3，正方形边长为6，点E在内部，延长交对角线于点G，若满足且，则线段的长为 ． 2．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； (1)则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； (2)点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 3．(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)证明与推断： ②求证：四边形是正方形； ②推断：的值为___________； (2)探究与证明： 将正方形的绕点C顺时针方向旋转，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H，若，则___________． 4．(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型： 如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空） 问题变式： （1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空） （2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展： 若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空） 5．(24-25九上·辽宁大石桥水源镇九年一贯制学校·期中)【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 6．(24-25九上·辽宁盘锦新兴育才学校·期中)问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N． (1)试判断的形状，直接写出答案． (2)深入探究：杨老师将图2中的绕点B顺时针方向旋转，当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． ①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明； ②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周，当点C，B，F三点共线时，请你直接写出的面积． 7．(23-24九上·辽宁大连旅顺口区·期中)综合与实践一探究特殊四边形中的旋转相关问题 问题情境：小刚在学习了菱形与旋转的知识后，进行以下探究运动：在菱形中，对角线交于点O，，点E是直线上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．    (1)[初步探究] 如图1，小刚发现：当点E在线段上时，线段具有一定的数量关系，请你写出三者的数量关系，并给出证明； (2)[深入探究] 小刚发现：当点E在线段的延长线上时，如图2：当点E在线段的延长线上时，如图3．线段仍具有不同的数量关系，请直接写出数量关系，不需要证明． 图2_________ 图3_________ (3)[再次探究] 小刚在画完三幅图形后、又有了新的发现，他发现三幅图中的点都共线，可是他不知道旋转后得到的点F为什么会与点B，C共线，请你利用图2帮助小刚证明F，B、C三点共线． 8．(23-24九上·辽宁葫芦岛建昌县·期中)已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G． (1)如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________． (2)如图2，若点E在正方形内部（，）． ①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 9．(23-24九上·辽宁沈阳第一三四中学·期中)菱形中，，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．    (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，请直接写出，，三条段段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点在的延长线上，且，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系； (3)点在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 10．(23-24九上·辽宁丹东凤城·期中)如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． (2)如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 地 城 考点04 特殊平行四边形中的一线三等角模型 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)综合与实践： 已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时与的数量关系是_________； （2）如图2，当时探究（1）中BD与CE的数量关系是否发生改变？若不变，请说明理由．若改变，请求出与的数量关系； 拓展延伸： 如图3，在四边形中，垂足为点E，，请直接写出四边形的面积． 2．(24-25九上·辽宁沈阳新民·)[问题提出] 点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，（），交边于点G，H，连接．探究与的数量关系． [问题探究] （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当时，的度数_____；当时，求与之间的数量关系． [问题拓展] 当时，若，，则_____． 3．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)（1）思考尝试：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系，并加以证明．同学们发现，取的中点G，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； （2）实践探究：和谐小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； （3）拓展迁移：辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 4．(23-24九上·辽宁阜新海州区实验中学·期中)如图，在菱形中，点M为边上一点，连接，，过点M作，交延长线于点N，点E为上的任意一点，连接，分别过点B，N作，垂直于直线，垂足分别为点H，G（点G在菱形的内部）． (1)如图1，猜想线段，和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，，直接写出线段，的长度； (3)在（2）的条件下，将绕点B旋转得到，点M的对应点为，点N的对应点为，使点、、在同一条直线上，直接写出的长度． 5．(23-24九上·辽宁沈阳浑南区·期中)如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）． (1)如图1，当点E在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； (2)当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 地 城 考点05 特殊平行四边形中的十字架模型 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳某校·期中)在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 2．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期中)【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 3．(24-25九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)【初识图形】 AI （1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，，求的值． 【类比探究】 （3）如图3，中，分别为、边上的点，，，为中点，连接，作交于点，交于．直接写出的长为________． 【拓展迁移】 （4）在矩形中，，，点分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点和点，且，． ①请直接写出线段的长________． ②若点分别为线段和线段边上的动点，满足．且直线始终经过一个定点，求的最大值________． 4．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 5．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)问题解决：如图，在矩形 中，点， 分别在， 边上，， 于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长 到点，使得，判断 的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图，在菱形 中，点， 分别在， 边上， 与 相交于点，，，，，求 的长． 6．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)如图1，已知正方形，点，分别在，上，且．    (1)求证：． (2)如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 7．(23-24九上·辽宁锦州凌海·期中)已知正方形中，点E，F分别为，上的点，连接，相交于点H，且．    (1)如图1，连接交于点C，求证：； (2)如图2，延长到点M，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求 ？ 地 城 考点06 特殊平行四边形中的半角模型 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山海城·期中)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，点分别在正方形的边上，，若，则（   ） A． B．15 C．12 D．16 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 4．(23-24九上·辽宁营口西区育才初级中学·期中)何老师在“空中课堂”视频中详细地为我们讲解了“将三角形绕图形的直角顶点旋转”的证明思路和方法．有这么一道题：已知：在四边形中，，    (1)如图1；若的两边分别交射线于点，联结．求证：． (2)如图2，，且，直接写出 ； (3)如图3，，若不是直角，与满足 ，仍成立．请证明． 地 城 考点07 特殊平行四边形中的倍长中线问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______． 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______． 2．(24-25九上·辽宁阜新第十六中学·期中)如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．    (1)【问题引入】 请你在图1或图2中证明（选择一种情况即可）； (2)【探索发现】 在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请你直接写出线段的长． 地 城 考点08 特殊平行四边形的动点问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 2．(24-25九上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：________，________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 3．(24-25九上·辽宁本溪第十二中学·期中)在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． (1)若，求的长； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)探究：当线段的长为多少时，第（2）小题中的四边形是菱形？ 4．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)直接写出以为对角线的正方形面积为96时t的值． 5．(23-24九上·辽宁丹东凤城·期中)在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 地 城 考点09 特殊平行四边形中的网格作图问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段和，点，，，均在方格的格点上． (1)在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点，都在方格的格点上； (2)在方格纸中画出以为边的正方形，且点，在方格的格点上； (3)连接交于点，连出和，并证明． 2．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期中)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形的四个顶点都是格点，E点是格点，且在边上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画格点F，并连且，使，且； (2)在线段上画一点M，连接，使； (3)直接写出（2）中线段的长度为_______． 地 城 考点10 特殊平行四边形与函数结合问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，作四边形． (1)求该直线对应的函数表达式并写出点的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形的面积为3时，求点的坐标； (4)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 2．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)在平面直角坐标系中，若平行四边形的对角线交点在原点上，并且其中一条对角线在坐标轴上，那么我们称平行四边形为“中心平行四边形”，其中要求平行四边形的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列． (1)如图，点， ①若点，在图中画出平行四边形，并直接写出平行四边形的面积； ②若“中心平行四边形”是矩形，则矩形的面积是____________． (2)如图，点，，点A在线段上，若“中心平行四边形”是矩形，直接写出“中心平行四边形”对角线的取值范围____________． 3．(23-24九上·辽宁本溪·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、分别是线段、上的两个动点，点从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时从出发，以每秒个单位的速度向终点运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒．点为的中点，连接、、．    (1)求点的坐标及的长度； (2)当的面积为时，求点的坐标； (3)如图分别以、为邻边作，是否存在时间，使得坐标轴刚好将的面积分为的两个部分，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 4．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止． （1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形． （2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由． （3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 地 城 考点11 特殊平行四边形其他综合问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳·期中)【问题初探】 如图1，在四边形中，，，连接，若四边形的面积为．求的长． ①如图2，小辉同学采用“补”的方式将四边形的面积转化成三角形的面积，进而解决问题； ②如图3，小丽同学采用“割”的方式将四边形分割成两个全等的三角形和一个矩形，进而解决问题． （1）请你选择一名同学的思路写出完整的解答过程； 【类比分析】 李老师发现，两名同学通过“割”或“补”的方式把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，为了帮助学生更好地感悟这种转化思想，李老师对图形进行了变式． （2）如图4，在四边形中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，且，，求的面积； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，为斜边上一点，，，且四边形是正方形，请直接写出与的和． 2．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期中)（1）问题探究：如图1，在中，，，于D，P、Q分别是线段、上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作 于点M，于点J，于点N，于点G，可证：，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决．请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程． （2）类比练习：如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R使边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长． （3）拓展提升：如图5，在中，于D，，，，P、Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 3．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)【问题发现】 （1）如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点沿着小明的思路思考下去，则的面积_____________； 【变式应用】 （2）如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，若，求的面积： 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，且，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，直接写出的长． 4．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊平行四边形（二） 11大高频考点概览 考点01 特殊平行四边形的线段最值问题 考点02 特殊平行四边形的折叠问题 考点03 特殊平行四边形中的手拉手模型 考点04 特殊平行四边形中的一线三等角模型 考点05 特殊平行四边形中的十字架模型 考点06 特殊平行四边形中的半角模型 考点07 特殊平行四边形中的倍长中线问题 考点08 特殊平行四边形的动点问题 考点09 特殊平行四边形的网格作图问题 考点10 特殊平行四边形与函数结合问题 考点11 特殊平行四边形其他综合问题 地 城 考点01 特殊平行四边形的线段最值问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可． 【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小， ∵四边形ABCD是正方形，且周长为8， ∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BP＝DP， ∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE， ∵E是AB的中点， ∴AE＝AB＝1， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2， ∴DE＝＝， 故选C． 【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键． 2．(24-25九上·辽宁沈阳新民·期中)如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，作点关于的对称点，连接，则，，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ，， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 3．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，菱形中，对角线、相交于点O，，．点P和点E分别为、上的动点，求的最小值（   ） A．14.4 B．16 C．17 D．18.6 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，则此时的、满足最小，然后利用菱形的性质可得，且、互相平分，平分，利用角平分线的性质可得，由垂线段最短可知，的最小值即为线段的长度，进而利用勾股定理求出的长度，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则此时的、满足最小， 四边形是菱形， ，且、互相平分，平分， ， ， 垂线段最短， 的最小值为线段的长度， ，， ，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质等知识点，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 5．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，当点，，在同一直线上时，的最小值为长，依据，即可得到最小值等于线段的长． 【详解】解：如图，连接， 由，，， 可得， ， ， 当点，，在同一直线上时， 的最小值为长， 此时，由，，， 可得， ， 最小值等于线段的长， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，解题的关键是根据题意作出关于的对称点． 二、填空题 6．(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 【答案】7.5 【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解． 【详解】连接、、，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时， ， ∴的最小值是7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期中)如图，在矩形中，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦，可得，连接与圆的交点即为的最短距离，作于点H，可得是的中位线，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆， 在矩形中，，， ∵， ∴所画圆是的外接圆， ∵弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦， ∴， 连接与圆的交点即为的最短距离， 作于点H，则， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E． 8．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】 设AC与BD的交点为O， ∵点P是BC边上的一动点， ∴AP⊥BC时，AP有最小值， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键． 9．(23-24九年级上·辽宁铁岭·期中)如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，延长，使得，连接，，则E和关于对称，由得，当、F、G共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，过G作于P，则四边形是矩形，进而可得，，由勾股定理求得，则最小值为，由四边形周长为求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 延长，使得，连接，，则E和关于对称， ∴， ∴，当、F、G共线时取等号，此时，最小，最小值为的长， 过G作于P，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得， ∴最小值为， 则四边形周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性、最短路径问题、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，以及为的最小值是解答的关键． 地 城 考点02 特殊平行四边形的折叠问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)如图，在长方形中，，E为边上一点，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点，当落在边上时，的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，，再由勾股定理求得，得，最后由列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中， ，，， ，，，, 将沿折叠，点的对应点为点， ，, 在中，， ∴, ，且 ∴. 解得. 故选：C 2．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期中)如图，现有一张矩形纸片，其中，点E是的中点．将纸片沿直线折叠，使点B落在点，则，C两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 过点作，垂足为F，连接，设与交于点O，由折叠的性质可得，，先求出，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求出，则，设，在中，，在中，，则，解得，则，，，，在中，． 【详解】解：如图所示：过点作，垂足为F，连接，设与交于点O， 由折叠的性质可得，， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故选B． 3．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)如图，在中，是BC边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确（   ） A．当时， B．当点落在AD上时，四边形是菱形 C．在点运动的过程中，线段的最小值为2 D．连接，则四边形的面积始终等于 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，根据动点的不同状态确定相关的性质是解题的关键． 当时，证，当点落在AD上时，证，连接，证，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A． 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴该选项是正确的，不符合题意； B． 当点落在AD上时，， ∴是菱形， ∴该选项是正确的，不符合题意； C．当点在点时，作于点，作于点，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在点运动的过程中，线段AE的最小值不为2， 该选项是错误的，符合题意； D． 连接，则， ∴四边形的面积始终等于， 该选项是正确的，不符合题意； 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，连接，由四边形是正方形，得，，根据折叠性质可知，，，再证明，设，则，然后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿对折至， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 5．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据翻折可求出的长度、E为CG中点、，从而推出，继而求出CP的长度，再利用勾股定理即可求出PG长度，又因为，所以EF为PG的一半，即可选择． 【详解】根据题意可知：， ∴ ， 由翻折可知，，即E为GC中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴CP= ， ∵， 又∵，E为GC中点， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质．利用翻折的特点证明，从而求出CP的长度是解题的关键．综合性较强． 6．(24-25九上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可． 【详解】解：设CE=x，则BE=3-x， 由折叠性质可知， EF=CE=x，DF=CD=AB=5 在Rt△DAF中，AD=3，DF=5， ∴AF=， ∴BF=AB-AF=5-4=1， 在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2， 即(3-x)2+12=x2， 解得x=， 故选：D． 【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 8．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接AP，如图所示， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝AB＝3， 由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°， ∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°， 在Rt△AFP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL）， ∴PF＝PD， 设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 9．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，在矩形中，10，，点，分别在，上，且，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ． 【答案】或20 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，当点在矩形内部时，由矩形的性质得到，根据已知条件得到，推出四边形的矩形，得到，，根据折叠的性质得到，C′E=CE，根据勾股定理得到，根据矩形的判定和性质得到，再由勾股定理即可得到结论；同理，当点在矩形外部时，方法同上可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的矩形， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解得：． 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解答：， 故答案为：或20． 三、解答题 10．(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期中)如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． (1)如图（一），探究出，的数量关系为 ； (2)如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①详见解析；②详见解析 (3)的长为或． 【分析】（1）通过折叠平行线得出等腰三角形； （2）①识别出和是8字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． 【详解】（1）解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； （2）证明：①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠 ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 11．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期中)综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． 【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕； 【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______； 【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长． 【答案】证明体验：等边三角形，；思考探究：，证明见解析；拓展延伸：或． 【分析】证明体验：由题意得为正方形的对称轴，得出，，，，，由折叠的性质可得，从而推出，即可得出为等边三角形，得到，由勾股定理得出的长即可得解； 思考探究：连接，由题意得为正方形的对称轴，得出，，由折叠的性质可得，，证明得出，设，则，，由勾股定理得：，求出的值即可得解； 拓展延伸：分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别利用正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形求解即可得出答案． 【详解】证明体验：由题意得：为正方形的对称轴， ，，，，， 由折叠的性质可得， ， 为等边三角形， ， ， ； 思考探究：，证明如下： 如图，连接，   ， 由题意得：为正方形的对称轴， ，， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ，， ； 拓展延伸：如图，当点在上时，   ， 在正方形中，，， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ； 如图，当点在上时，   ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)如图，在平行四边形中，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若，且的延长线恰好经过点．求证： ； (2)如图2，若，延长、分别与边、相交于、，若，，求的值； (3)如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、．作于点，若，直接写出 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）折叠得到，矩形的性质，得到，，进而得到，进而得到，得到，等量代换即可得出结论； （2）折叠得到，，设，推出，在中，利用勾股定理求出的值，证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同（1）可得：， ∵折叠， ∴，， ∴， 设， 则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点的左侧时，过点作，如图：则：，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得：， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的右边时，过点作，如图 ∵ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 13．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期中)“综合与实践”课上，老师引导同学们以“如何确定正方形边长的三等分点”为主题开展探究活动．同学们手持学具（正方形纸、带刻度的直尺等）分小组展开讨论；各小组集思广益，拓展思路，利用所学知识解决问题． (1)除直接测量外，第一、二、三小组分别展示了不同方法． ①第一小组采用“平行线法”：如图所示，将刻度尺的刻度0与正方形顶点A重合，将点B 与刻度3对应点E连接，过刻度1对应点F作，交于点M．求证：点M为正方形边长的三等分点； ②第二小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； ③第三小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； (2)探究活动中，同学们利用翻折前后图形的基本元素（角、线段、三角形）之间的关联，为解决问题寻找新思路，请你利用这种解题策略探究下列问题： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点B落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)4或 【分析】（1）①根据平行线分线段成比例可得，即可得证； ②设正方形的边长为，，由折叠可得，， ，在中，根据勾股定理构造方程，求得即可得证； ③设正方形的边长为，，则，在中，根据勾股定理构造方程，求解得到，由，得到，根据相似三角形的性质求得，即可得到，得证结论； （2）分两种情况求解：①点G在上，②点G在上． ①点G在上时，连接，交于点N，先证明四边形是平行四边形，得到，根据轴对称图形的性质得到点N是的中点，根据平行线分线段成比例即可求解； ②点G在上，连接，交于点N，过点M作于点Q，设，则，先证明，得到，再证，从而得到，进而有，根据“三线合一”求得，因此，证明，求得，在中，根据勾股定理构造方程即可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得，，， ∴， ∴， ∴点M是的三等分点； ②设正方形的边长为，即， 由折叠可得，， 设，则； ∵在正方形中，， 由折叠可得，，点与重合． ∴， ∴， ∵； 又在中，， ∴， 解得， 即， ∴点M为的三等分点． ③∵四边形是正方形， ∴； 设正方形的边长为，即， 设，则； 由折叠可得，， ∵在中，， ∴， 解得， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点M是的三等分点． （2）解：①若点G在上，如图，连接，交于点N， ∵在正方形中，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵由折叠有，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ②若点G在上，如图，连接，交于点N，过点M作于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵由折叠有，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在中，， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 14．(24-25九上·辽宁大连沙河口区格致中学·期中)综合与实践 在数学活动课上，数学老师带领同学们以“正方形的折叠”为主题展开综合与实践活动．    【动手操作】 如图1，在正方形中，点E在边上，连接，将正方形沿折叠得到四边形，点A、D的对应点分别为点G，H．延长，相交于点M，与相交于点N． 【问题发现】 （1）求证：． 【实践探究】 （2）如图2，若点N为的中点，连接，，求的度数． 【拓展思考】 （3）如图3，在（2）的条件下、延长交于点F，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质可得，再根据正方形的性质得到，推出，得到，即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合折叠的性质可得，推出，进而推出，得到，再根据点N为的中点，得到，推出，得到，最后根据三角形内角和定理即可求出； （3）连接，设交于点P，证明，推出，再证明，得到，由（2）求出，推出，结合，证明四边形是平行四边形，得到，由（2）求出，由折叠的性质得到，设，结合折叠的性质求出，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，设交于点P，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， 由折叠的性质得到， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 15．(24-25九上·辽宁鞍山铁东区·期中)如图，在矩形中，点为对角线中点，点为边上一点，连接并延长交于点；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于、两点． (1)求证：； (2)已知，； ①当点在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，推出，根据对称的性质可得，推出，即可证明； （2）由点为中点，可得，设，，则，，证明，得到． ① 证 明 ，得到，设，，则，，即可求解； ②分三种情况：当时，过点作于；当时，过点作于；当点H在线段延长线上时，过点H作，交延长线于M；根据矩形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ， 四边形与四边形关于所在直线对称， ， ， ； （2）解：点为中点， ， ， 设，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ① ， ， ， ， 设，， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ； ②由①知，，， ， 若为等腰三角形，只有以下两种情况： 情况一：当时，如图1，过点作于， ， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， 在中，， 情况二：当时，如图2，过点作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， ，即， 解得：，，均不符合题意，舍去，此种情况不成立； 当点H在线段延长线上，且时，如图，过点H作，交延长线于M； 则四边形是矩形， ∴，； 由①知，， 设，则； ∴，； ∴； 在中，， 由勾股定理得：； 在中，， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 16．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)综合与实践 如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，得到平行于的折痕，其中． (1)求证：； (2)你认为和相似吗？如果相似，请证明，如果不相似，请说明理由； (3)如图3，延长交于点G，沿折叠，使点E落在上为点H，连接交于F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)和相似，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠中重合的角相等以及直角三角形两锐角互余转化角的关系得出，利用两角分别相等的两个三角形相似即可求证； （2）利用上一个问题中的结论得出，利用等量代换与变形进一步得出，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求证； （3）先构造的中点，证明是等边三角形，再利用含的直角三角形的性质与勾股定理求出，得到，最后利用相似三角形得出即可求解． 【详解】（1）证明：过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上， ∴， ∵矩形对边平行， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2）解：和相似； 证明：∵， ∴， ∵矩形纸片上下对折，折痕为， ∴， ∴即， 又∵， ∴； （3）解：取的中点O，连结， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， 可得 在中， ∴ 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，主要涉及等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题关键是找到图中的等量关系和作辅助线构造相似三角形，本题属于压轴题，运用了数形结合与转化的思想方法． 地 城 考点03 特殊平行四边形中的手拉手模型 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁营口·期中)已知四边形为正方形，点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E在线段上时，线段与线段的数量关系和位置关系为 ； (2)如图2，当点E在正方形内部时，（1）中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)若正方形的边长为6，，当D、E、F在同一直线上时，长为 ； (4)如图3，正方形边长为6，点E在内部，延长交对角线于点G，若满足且，则线段的长为 ． 【答案】(1)，； (2)成立，证明见详解 (3)或 (4) 【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质即可求证； （2）延长交于一点H，交于一点G，证明，根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求证； （3）当点在之间时，过点作于点，可得 为等腰直角三角形，设，在中，由勾股定理得：，解得：，即，在中，由勾股定理求得，故；当点在延长线上时，同上可求； （4）过点作交延长线于点，则，先证明，则，，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，故，证明，则，继而． 【详解】（1）解：如图： ∵ 四边形是正方形， ∴ ∵点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴，； （2）解：成立，证明如下： 延长交于一点H，交于一点G， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∵点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在之间时，过点作于点， 由旋转得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，在中， 由勾股定理得：， 解得：，即， 在中，由勾股定理得：， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同上可求， 综上所述：当D、E、F在同一直线上时，长为或， 故答案为：或． （4）解：过点作交延长线于点，则 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决本题的关键． 2．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； (1)则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； (2)点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)AP=CE；90°； (2)，理由见解析； (3)12 【分析】（1）证明ΔADP≌ΔCDE，可得AP=CE，∠DAP=∠DCE，从而得到AP与CE的夹角的度数是90°； （2）按照（1）的思路进行解答即可； （3）连接BD，CE，利用正方形及等腰三角形性质可得OD=2，再由勾股定理求CE及CP 的长，最后求出四边形DCPE的面积即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形 ∴AD = CD，DP = DE，∠ADC =∠PDE = 90°， ∴∠ADP+∠PDC =∠PDC +∠CDE= 90°， ∴∠ADP= ∠CDE， 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP=CE，∠DAP=∠DCE ∴∠PCE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠DAP = 90°， ∴AP与CE的夹角的度数是90°， 故答案为：AP=CE；90°； （2）， 理由：∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形， ∴AD=CD，DP=DE，∠ADC=∠PDE = 90° ∴∠ADC+∠CDP =∠CDP +∠PDE ∠ADP=∠CDE 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP= CE ∵ΔADC是等腰直角三角形 ∴AC=CD ∴EC= AP=AC+CP=CD+CP； （3）如图，连接BD，CE， ∵四边形ABCD是正方形 ∴CD = AB = 2，AC⊥BD， ∵AB = 2，ΔACB是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知∠ACE = 90°， ∴， 由（2）可知，CE= CD + CP， ， ，   在RtΔCPE中，PE2 = CP2 + CE2 = 22 + 62 = 40， ∵ΔDPE是等腰直角三角形， ， ， ， 【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及到直角三角形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，难度适中． 3．(24-25九上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)证明与推断： ②求证：四边形是正方形； ②推断：的值为___________； (2)探究与证明： 将正方形的绕点C顺时针方向旋转，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H，若，则___________． 【答案】(1)①见解析；②； (2)；见解析； (3)． 【分析】（1）①由、结合可得四边形是矩形，再由即可得出；②由正方形性质知：、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接，只需证即可得； （3）证明，由相似三角形的性质得出，设，则，求出的值，则可得出答案． 【详解】（1）解：①四边形是正方形， ，， 、， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是正方形； ②由①知四边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：； （2）解：连接， 由旋转性质知， 在和中， 、， ， ， ， 线段与之间的数量关系为； （3）解：由（2）知， ∵B、E、F三点在一条直线上， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， 设，则， 则由得， ， 则，， ， ， 解得：，即， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 4．(24-25九上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型： 如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空） 问题变式： （1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空） （2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展： 若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空） 【答案】（1）5；（2），；（3）不变，[问题拓展] 【分析】问题原型：如图1中，延长交于，则四边形是矩形．在中，利用勾股定理即可解决问题； 问题变式：（1）如图2中，作于．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出、即可解决问题； （2）不变．理由如下：连接、．只要证明，列比例式即可解决问题； 问题拓展：在图4中，计算的长，同理得，通过计算即可解决问题． 【详解】 解：问题原型： 如图1中， 延长交于， ∵矩形，矩形，，，、分别是、边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴在中，． 故答案为5． 问题变式： （1）如图2中，过作于，则． 在矩形中，，， ∴由勾股定理得， ∴， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：，； （2）不变，理由如下：连接、， 由旋转可知：， 同上在中，由勾股定理可知：， ，， ， ， ； 问题拓展：如图4中，过作于，连接， ， 是等腰直角三角形， ， ∴由勾股定理得：， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 如图5，连接、． ∴在中，，， 同上可求：， ， ∴ 由旋转得： ， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 5．(24-25九上·辽宁大石桥水源镇九年一贯制学校·期中)【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【答案】(1)22 (2)①正方形，理由见解析；②2 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； ②过点作于点，如图3所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 6．(24-25九上·辽宁盘锦新兴育才学校·期中)问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N． (1)试判断的形状，直接写出答案． (2)深入探究：杨老师将图2中的绕点B顺时针方向旋转，当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． ①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明； ②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周，当点C，B，F三点共线时，请你直接写出的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)①成立，理由见解析；② 【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形性质可证得，推出，即可证得结论； （2）①延长相较于点H，设与相较于点O，可证得，得出，再证得，可得，即可推出是等腰直角三角形； ②分两种情况：当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，分别运用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）是等腰直角三角形 如图，和按是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点C，B，E三点不在一条直线上，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形． （2）解：①成立，即是等腰直角三角形，理由如下： 如图：延长相较于点H，设与相较于点O， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴；                                又∵， ∴ ∴， ∵和是腰长相等的等腰直角三角形， ∴，且 ∵， ∴， ∴． ∵是和的外角 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形； ②当点F在的延长线上时，过点E作于K，如图，    ∵正方形的边长是4， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由①知是等腰直角三角形， ∴； 当点F在的延长线上时，过点E作于G，如图，    则，， 由①知是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，当点C，B，F三点共线时，的面积为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，正确添加辅助线是解题关键． 7．(23-24九上·辽宁大连旅顺口区·期中)综合与实践一探究特殊四边形中的旋转相关问题 问题情境：小刚在学习了菱形与旋转的知识后，进行以下探究运动：在菱形中，对角线交于点O，，点E是直线上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．    (1)[初步探究] 如图1，小刚发现：当点E在线段上时，线段具有一定的数量关系，请你写出三者的数量关系，并给出证明； (2)[深入探究] 小刚发现：当点E在线段的延长线上时，如图2：当点E在线段的延长线上时，如图3．线段仍具有不同的数量关系，请直接写出数量关系，不需要证明． 图2_________ 图3_________ (3)[再次探究] 小刚在画完三幅图形后、又有了新的发现，他发现三幅图中的点都共线，可是他不知道旋转后得到的点F为什么会与点B，C共线，请你利用图2帮助小刚证明F，B、C三点共线． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质、旋转的性质可证和是等边三角形，进而证明，推出，可得； （2）同（1）根据菱形和旋转的性质证明，推出，利用等量代换和线段的和差关系即可求解； （3）根据全等三角形的性质证明，根据菱形的性质和已知条件证明，可得，即可证明F，B、C三点共线． 【详解】（1）解：． 证明：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵线段绕点E顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2：连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵线段绕点E顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∴； 如图3：连接，    同理可证， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （3）证明：如图2：连接，    由（2）知，是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴F，B、C三点共线． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，通过作添加辅助线构造全等三角形． 8．(23-24九上·辽宁葫芦岛建昌县·期中)已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G． (1)如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________． (2)如图2，若点E在正方形内部（，）． ①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①（1）的结论还成立，理由见解析；②或 【分析】（1）根据旋转的性质得，由，则，根据三角形内角和定理可计算出，于是可判断； （2）①证出，则可得出；②连接，过点A作于点G，于点N，由勾股定理求出的长，证明，由全等三角形的性质得出，证，设，则，由勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 绕点A按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①（1）的结论还成立，理由如下： 证明：如图，与交于点O， 绕点A按顺时针方向旋转， ， ， ， ； ②如图，连接，过点A作于点G，于点N， ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 或， 或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 9．(23-24九上·辽宁沈阳第一三四中学·期中)菱形中，，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．    (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，请直接写出，，三条段段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点在的延长线上，且，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系； (3)点在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)的值为3或5或1 【分析】（1）如图①中，结论：．只要证明即可解决问题； （2）结论：．如图②中，如图作交于，则是等边三角形．只要证明即可解决问题； （3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题； 【详解】（1）解：如图①中，结论：．      理由：四边形是菱形， ， ，都是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图②中，如图作交于，则是等边三角形．   ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：作于． ，， ， 如图③中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时．   ， ， ， 由（1）可知：， ，， ， ； 如图③中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时．    由（2）可知：， ， ； 如图③中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时．    同法可证：， ，， ， ； 如图③中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时．      同法可知：， ， ， 综上所述，满足条件的的值为3或5或1． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 10．(23-24九上·辽宁丹东凤城·期中)如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． (2)如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）当时，，，则，所以，再证明、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，， 所以，于是得到问题的答案； （2）先证明，得，，则，，即可证明，再根据勾股定理求得，则，所以； （3）分两种情况，一是，，三点共线，且点在线段上，由勾股定理求得，则；二是，，三点共线，且点在线段的延长线上，由勾股定理求得，则． 【详解】（1）当时，，， ， ， 四边形和四边形都是矩形，且，， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ， 、、三点在同一条直线上， ，， ，， ， 故答案为：，． （2）发生变化，， 理由：如图3，连接，当时，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （3），， ，，， ， 如图（4），，，三点共线，且点在线段上， ， ， ； 如图（5），，，三点共线，且点在线段的延长线上， ， ， ， 综上所述，线段的长是或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 地 城 考点04 特殊平行四边形中的一线三等角模型 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁阜新第十一中学·期中)综合与实践： 已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时与的数量关系是_________； （2）如图2，当时探究（1）中BD与CE的数量关系是否发生改变？若不变，请说明理由．若改变，请求出与的数量关系； 拓展延伸： 如图3，在四边形中，垂足为点E，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）先证明四边形是正方形，再由得到和重合，即，即可得到； （2）如图，过作于，过作于，先证明，得到，再由，得到，，由旋转可得，得到，即可证明； （3）如图，连接，以为边在右侧作等边三角形，连接，延长交于，，得到，再由，得到垂直平分，由等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，，，得到，然后分别计算和，最后根据四边形的面积计算即可． 【详解】解：（1）当时，即， 由旋转可得， ∴， ∴， ∴四边形 ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴此时和重合， ∴， ∴； （2）保持不变，理由如下： 如图，过作于，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴； （3）如图，连接，以为边在右侧作等边三角形，连接，延长交于， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积． 2．(24-25九上·辽宁沈阳新民·)[问题提出] 点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，（），交边于点G，H，连接．探究与的数量关系． [问题探究] （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当时，的度数_____；当时，求与之间的数量关系． [问题拓展] 当时，若，，则_____． 【答案】[问题探究]（1）；（2），；[问题拓展] 【分析】[问题探究]：（1）在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，，则，可得到，则，进而得到； （2）在上截取，使，连接．证明，得到，利用即可求解． [问题拓展]：延长至，使，连接，，证明，设，则，，在中，根据勾股定理，得，再代入计算即可． 【详解】[问题探究]：（1）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ， ， ∴ ； （2）解：如图，在上截取，使，连接． ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当时， ∵， ∴， ∴， ， 即； [问题拓展] 解：由（1）中结论：是等腰直角三角形，则， ∴， 如图所示，延长至，使，连接，， ∵菱形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∴，解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的长为． 【点睛】此题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合运用以上知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期中)（1）思考尝试：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系，并加以证明．同学们发现，取的中点G，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； （2）实践探究：和谐小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； （3）拓展迁移：辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】[思考尝试]：，理由见详解；[实践探究]：；[拓展迁移]： 【分析】[思考尝试]：取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； [实践探究]：在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； [拓展迁移]：作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：[思考尝试]， 理由如下：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [实践探究] 解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ，， ，而， ， ， ， ， [拓展迁移] 解：连接，作，交的延长线于，交于，连接，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．(23-24九上·辽宁阜新海州区实验中学·期中)如图，在菱形中，点M为边上一点，连接，，过点M作，交延长线于点N，点E为上的任意一点，连接，分别过点B，N作，垂直于直线，垂足分别为点H，G（点G在菱形的内部）． (1)如图1，猜想线段，和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，，直接写出线段，的长度； (3)在（2）的条件下，将绕点B旋转得到，点M的对应点为，点N的对应点为，使点、、在同一条直线上，直接写出的长度． 【答案】(1)猜想：，理由见解析． (2)， (3)的长为． 【分析】（1）利用已知条件证明，再通过全等三角形的性质，得到，，进而得到线段，和的数量关系； （2）过点作于点，结合已知可得，，推出 是等腰直角三角形，，利用菱形的性质和勾股定理求出，可得，求出，推出，进而求解； （3）根据旋转的性质，分两种情况讨论：当将绕点顺时针旋转得到时，；当将绕点逆时针旋转得到时，，得到答案． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （2）如图，过点作于点， ，， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又四边形是菱形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． （3）由（2）知： ，， 在中， ， ， 当将绕点顺时针旋转得到时，如图所示， ，， 在中， ； 当将绕点逆时针旋转得到时，如图所示， ， ，， 在中， ， 综上，的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，理解题意，正确作辅助线，掌握全等三角形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，旋转的性质是解答本题的关键． 5．(23-24九上·辽宁沈阳浑南区·期中)如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）． (1)如图1，当点E在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； (2)当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①过点作直线于，则，利用勾股定理可得，再证得 ，可得：，即点到的距离； ②利用勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况：当点在直线上时，过点作，交的延长线于，可得是等腰直角三角形，得出，再证得 ，利用勾股定理可得：，即正方形的面积为；当点在直线上时，过点作，交的延长线于，同理可求得答案． 【详解】（1）解：①如图1，过点作直线于，则， ∵四边形是边长为的正方形，， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴点到的距离； ②在中，，，， ∴； （2）当点在直线上时，过点作，交的延长线于，则，如图2， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为； 当点在直线上时，过点作，交的延长线于，如图3， 同理可得： ， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为； 综上所述，正方形的面积为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 地 城 考点05 特殊平行四边形中的十字架模型 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳某校·期中)在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是菱形，根据，证明四边形是正方形，即可证明结论； （3）①证明，得出，根据，得出，证明，得出，即可证明结论； ②根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ，， ， 又，， ； （2）解：猜想：． 理由：平分，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， ； （3）证明：①由（2）知四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠知， ， ， ，， ， ， ，即点是的中点； ②在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期中)【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出， （2）作于点，由，得到，设，则，，，由，得到，，，由，得到，求出，，同理，，得到，，即可求解， （3）作于H，交于G，则，，结合（2）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， 即，， ， 又， ， 在和中 ， ． ． （2）作于点， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）作于H，交于G， 平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 过点，交于点M， 则四边形是平行四边形，， ∵， ∴ ∴， ，，， ． 3．(24-25九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)【初识图形】 AI （1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，，求的值． 【类比探究】 （3）如图3，中，分别为、边上的点，，，为中点，连接，作交于点，交于．直接写出的长为________． 【拓展迁移】 （4）在矩形中，，，点分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点和点，且，． ①请直接写出线段的长________． ②若点分别为线段和线段边上的动点，满足．且直线始终经过一个定点，求的最大值________． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）①或；② 【分析】[初识图形]（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）如图，过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； [类比探究]（3）如图所示，过点作于点，运用勾股定理可得，，设，可证，得到，， 再证，求出，则，由此即可求解； [拓展迁移]（4）①根据四边形是矩形，翻折的性质可得，分类讨论：第一种情况，如图所示，过点作于点，得到四边形是矩形，求出，可证，得到，由可解；第二种情况，如图所示，设与交于点，可证，得到，，再证，得到，由可解； ②根据，确定定点，由相似三角形可得，如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系，设，则，由点在线段上运动可得，即，根据两点之间的距离公式可得，令，可得随的增大而增大，当时，有最大值，且最大值为，由此即可求解． 【详解】解：[初识图形]（1）∵四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图，过点作于点， ∵四边形是矩形，，, ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵于点， ， ， ， ，即， ∴， ， 故答案为：； [类比探究]（3）如图所示，过点作于点， ∵是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展迁移]（4）①∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形翻折，得到四边形， ∴，，，， 第一种情况，如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴； 第二种情况，如图所示，设与交于点， 同理，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或； ②如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，直线始终经过一个定点， ∴延长交于点， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即， ∴， 令， ∵， ∴函数图象开口向上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质，二次函数图象的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)3 (3)，理由见详解 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是根据正方形的性质证明全等． （1）由正方形的性质得出，，结合直角三角形的性质推出，即可证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）根据正方形的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）过点作于点，先证明，利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （3）解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ． 5．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)问题解决：如图，在矩形 中，点， 分别在， 边上，， 于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长 到点，使得，判断 的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图，在菱形 中，点， 分别在， 边上， 与 相交于点，，，，，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析； (3)类比迁移： 【分析】(1)根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形; (2)利用可得，由全等三角形的性质得，由已知可得，根据线段垂直平分线的性质可得即可得，是等腰三角形； (3)延长到点H，使 ，连接，利用可得，由全等三角形的性质得，.由已知可得，可得是等边三角形，则，，等量代换可得 【详解】（1）证明：如图中， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）解：结论：是等腰三角形， 理由：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 6．(24-25九上·辽宁锦州太和区·期中)如图1，已知正方形，点，分别在，上，且．    (1)求证：． (2)如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①，②见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）①延长至，使，连接，可得，进而可得为等腰直角三角形，由此可得； ②由，可得，结合为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； （2）①解：如图3，延长至，使，连接，   四边形是正方形， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ，， ， ②，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．(23-24九上·辽宁锦州凌海·期中)已知正方形中，点E，F分别为，上的点，连接，相交于点H，且．    (1)如图1，连接交于点C，求证：； (2)如图2，延长到点M，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求 ？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据余角 的性质得到，于是得到结论； （2）过作于，得到，推出四边形是正方形，根据正方形的性质得到，，得到，在根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）由已知条件可得．可得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴． （2）过C作于K，    ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴（AAS）， ∴，， ∴． （3）由（2）可知道 ∵，， ∴， ∴， ∵． ∴． 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角的性质与判定，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点06 特殊平行四边形中的半角模型 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山海城·期中)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图： ∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°， ∴∠EAF＝∠EAG， ∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中， AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝EG， 即：EF＝EG＝ED＋DG， ∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD， ∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°， ∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x， 在Rt△CFE中，由勾股定理得： EF2＝CE2＋CF2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2， 解得：x＝2， 即BF＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2．(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，点分别在正方形的边上，，若，则（   ） A． B．15 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了“半角模型”，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键．作交的延长线于点，证、即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点，如图：    ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ∵ ， ， 解得：， ∴， 故选：． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 【答案】（1）小明：，见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，从而得结论． 【详解】解：（1）小明：，理由如下：连接，如图（2）      由旋转得：，，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 另一个思路： 小红：，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，使与重合，    由旋转得：，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）把绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，， 由旋转得：，，， ，，   ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 即， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 设， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 4．(23-24九上·辽宁营口西区育才初级中学·期中)何老师在“空中课堂”视频中详细地为我们讲解了“将三角形绕图形的直角顶点旋转”的证明思路和方法．有这么一道题：已知：在四边形中，，    (1)如图1；若的两边分别交射线于点，联结．求证：． (2)如图2，，且，直接写出 ； (3)如图3，，若不是直角，与满足 ，仍成立．请证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，可得，则，可得，，，，可知、、三点共线，由，，可得，再证明，可得，即可证明结论； （2）设，将绕点逆时针旋转，可得，则，可得，，，，可知、、三点共线，由，可得，可证，得，由，可得，即可求得答案； （3）设，将绕点逆时针旋转，可得，则，可得，，，，由，可得，易知、、三点共线，由，可得，由，可证得，进而可证，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴将绕点逆时针旋转，可得，则，    则，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵，， ∴， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，设， ∴将绕点逆时针旋转，可得，则，    则，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）， 理由如下：∵，设， ∴将绕点逆时针旋转，可得，则，    则，，，， ∵， ∴，即， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，构造全等三角形是解决问题的关键． 地 城 考点07 特殊平行四边形中的倍长中线问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______． 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）45°或225° 【分析】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，，计算即可． （2）延长到点F,使，连接，证明，过点B作，交于点M，N,再证明 ． （3）当共线时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；计算即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）根据前面的结论，得到且，，得到， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案：，． （2）延长到点F，使，连接， ∵， ∵ ∴， ∴，， 过点B作，交于点M，N, ∴，， ∴， 设的交点为Q， 则， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵,， ∴, ∴, ∴且． 故结论仍然成立． （3）如图，当共线时， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，此时旋转角等于的度数即； 当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，此时旋转角等于的度数即； 故答案为：或． 2．(24-25九上·辽宁阜新第十六中学·期中)如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．    (1)【问题引入】 请你在图1或图2中证明（选择一种情况即可）； (2)【探索发现】 在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析，，理由见解析 (3) 【分析】（1）选择图1，根据正方形性质可得：，，进而证得，结合旋转的性质即可证得结论；选择图2，同理可证得结论； （2）猜想，选择图1，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图2，同理可证得结论； （3）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，利用勾股定理可得，再证得，可得，即，利用，即可求得答案． 【详解】（1）证明：选择图1， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． 选择图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． （2）解：猜想．理由如下： 选择图1，过点作交于点， 则，   四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 若选择图2，过点作交的延长线于点，    则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3，取的中点，连接，   ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图3， 四边形是正方形， ，，， 在中，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键． 地 城 考点08 特殊平行四边形的动点问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁凌海·期中)如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为，面积为 【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：________，________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或2 (3)存在，秒 (4)存在， 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果； （3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果； （4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意：， 故答案为． （2）解：由题意得：， 解得：，． 或2时，； （3）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 五边形的面积， ， 即， 解得：（不合题意舍去），． 即当秒时，使得五边形的面积等于． （4）解：由题意得， ， 当时，的面积最大． 【点睛】本题考查动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁本溪第十二中学·期中)在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． (1)若，求的长； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)探究：当线段的长为多少时，第（2）小题中的四边形是菱形？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）过点D作于点E，判定四边形是矩形，得到，，求得，利用勾股定理求的长即可； （2）根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，此时得到，继而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，列出方程解答即可． （3）根据题意，当时，四边形是平行四边形，此时．根据 第（2）小题中的四边形是菱形，得到，结合，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：设运动时间为． 根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∴， ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴． ∴， 解得， 故当时，四边形是平行四边形． （3）解：根据题意，当时，四边形是平行四边形， 此时．根据 第（2）小题中的四边形是菱形， 故， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理；平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁东港·期中)如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)直接写出以为对角线的正方形面积为96时t的值． 【答案】(1)当时，四边形为矩形 (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)t的值为：或 【分析】（1）由矩形性质得出BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可； （2）t＝6时，BQ＝6，DP＝6，得出CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，AP＝CQ，，四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，由勾股定理求出AQ＝10，得出AQ＝CQ，即可得出结论； （3）分两种情况：求出正方形的边长为4，则对角线PQ为8，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可； 【详解】（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16， ∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8， 由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t， 在矩形ABCD中，∠B＝90°，， 当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝16﹣t， 解得：t＝8， ∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形； 故答案为：8 （2）四边形AQCP为菱形；理由如下： ∵t＝6， ∴BQ＝6，DP＝6， ∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10， ∴AP＝CQ，， ∴四边形AQCP为平行四边形， 在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10， ∴AQ＝CQ， ∴平行四边形AQCP为菱形， ∴当t＝6时，四边形AQCP为菱形； （3）∵正方形面积为96， ,∴正方形的边长为：4，∴PQ＝×4＝8； 分两种情况： ①如图1所示：作PM⊥BC于M， 则PM＝AB＝8，DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t， 由勾股定理得：QM＝＝8， BM＝BQ+QM， ∴t+8＝16﹣t， 解得：t＝8﹣4； ②如图2所示：DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t， ∵BQ＝BM+QM， ∴16﹣t+8＝t， 解得：t＝8+4； 综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：8﹣4或8+4； 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键． 5．(23-24九上·辽宁丹东凤城·期中)在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)2或8 (3) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，截图的关键是∶ （1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； （2）解∶如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形EGFH为矩形时，或； （3）解∶如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 地 城 考点09 特殊平行四边形中的网格作图问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期中)如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段和，点，，，均在方格的格点上． (1)在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点，都在方格的格点上； (2)在方格纸中画出以为边的正方形，且点，在方格的格点上； (3)连接交于点，连出和，并证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定． （1）在的垂直平分线上根据菱形的判定找到点，，再画出图形即可； （2）根据正方形的判定画出图形即可； （3）根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； （2）解：如图，正方形即为所求； （3）证明：，，，， ， ， ． 2．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期中)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形的四个顶点都是格点，E点是格点，且在边上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画格点F，并连且，使，且； (2)在线段上画一点M，连接，使； (3)直接写出（2）中线段的长度为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）把线段绕点顺时针旋转得到线段即可； （2）取格点, 连接交于点N ，连接并延长交于点,则点M即为所作； （3）设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图, 点即为所求； （2）如图，点即为所求； 由（1）作图可得，，， 又∵是矩形， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）设则 ， 在中， ， 即， 解得：， 故答案为：． 地 城 考点10 特殊平行四边形与函数结合问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，作四边形． (1)求该直线对应的函数表达式并写出点的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形的面积为3时，求点的坐标； (4)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 (4)0或 【分析】（1）首先利用待定系数法求出直线表达式，然后令即可求出点A的坐标； （2）根据题意得到，，即可证明出四边形是平行四边形； （3）首先表示出，然后根据四边形的面积为3列方程求解即可； （4）根据题意得到四边形是矩形或菱形，然后分别根据矩形和菱形的性质求解即可． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， ∴该直线对应的函数表达式为； ∵直线与轴交于点， ∴令得，， ∴， ∴； （2）∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴当四边形的面积为3时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； （4）当四边形是轴对称图形时， ∵四边形是平行四边形， ∴①当四边形是矩形时， ∴， ∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为， ∴此时点C和点B重合， ∴； ②当四边形是菱形时， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴解得，（应舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，的值为0或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何综合题，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，矩形和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 2．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中)在平面直角坐标系中，若平行四边形的对角线交点在原点上，并且其中一条对角线在坐标轴上，那么我们称平行四边形为“中心平行四边形”，其中要求平行四边形的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列． (1)如图，点， ①若点，在图中画出平行四边形，并直接写出平行四边形的面积； ②若“中心平行四边形”是矩形，则矩形的面积是____________． (2)如图，点，，点A在线段上，若“中心平行四边形”是矩形，直接写出“中心平行四边形”对角线的取值范围____________． 【答案】(1)①图见解析，；②或 (2) 【分析】（1）①由平行四边形的性质，以及题意作图如图1，由题意可知，，根据，计算求解即可；②如图2，由勾股定理得，，分两种情况讨论：由矩形的性质可知，，根据，再计算求解即可； （3）如图3，连接，延长交轴于，作于，由勾股定理得，，同理，，待定系数法求直线的解析式为，可求，则，由，可求，则，由矩形的性质可知，，进而可求的取值范围． 【详解】（1）①解：由平行四边形的性质，以及题意作图如图1， 由题意可知，， ∴， ∴平行四边形的面积为； ②解：如图2，当对角线在轴上时，   由勾股定理得，， 由矩形的性质可知，，， 如图3，当对角线在轴上时， 同理可得：， ∴， 故答案为：或； （2）解：如图4，连接，延长交轴于，作于，   由勾股定理得，， 同理，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， 又∵， 解得，， ∵， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，一次函数解析式，垂线段最短等知识．熟练掌握平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，一次函数解析式，垂线段最短是解题的关键． 3．(23-24九上·辽宁本溪·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、分别是线段、上的两个动点，点从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时从出发，以每秒个单位的速度向终点运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒．点为的中点，连接、、．    (1)求点的坐标及的长度； (2)当的面积为时，求点的坐标； (3)如图分别以、为邻边作，是否存在时间，使得坐标轴刚好将的面积分为的两个部分，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)存在，，． 【分析】（）首先确定点坐标及长度，利用勾股定理求出 ； （）判断出，得出比例式，表示出点坐标，利用面积公式列方程解答； （3）分两种情况，利用同高的两三角形的面积的比等于底的比，求解得出结论； 此题是一次函数综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，平行四边形的性质，求出点的坐标是解题的关键. 【详解】（1）令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由运动知，，，如图，过点作轴于，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴， ， ， ∵的面积为， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴或； （3）连接，，由运动知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 设，由（）知，， ∴，， ∴，， ∴， 当轴将的面积分为的两个部分时，如图，    ∵是的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴过点作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当轴将的面积分为的两个部分时，如图，    过点作轴于，同的方法得，， 即：坐标轴刚好将的面积分为的两个部分时， 秒或秒． 4．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期中)如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止． （1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形． （2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由． （3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，；（3）存在，或． 【分析】（1）说明出后，再利用矩形的性质得到，即可完成求证； （2）先设，依次表示各点坐标与相应线段长，再利用菱形的判定，令一组邻边相等建立关于x的方程，解方程后，则各点坐标得以确定，然后利用待定系数法即可求出直线PQ的解析式； （3）先设出D点坐标，再分别表示出、、，利用勾股定理的逆定理分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）证：∵点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）存在； 理由：∵矩形且点B的坐标为， ∴，； 设 ∴， ∴， 当四边形是菱形时， 则， ∴， 解得：， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：； ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （3）由（2）知， 设， ∴， ， 当时，，解得：， 此时， ∴，此时点与点重合，不合题意，故舍去； 当时，，解得：，（舍去）， 此时，， ∴； 当时，，解得：， 此时，， ∴； 综上可得：或． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理及其逆定理等内容，同时涉及到了解一元二次方程等知识，本题综合性较强，要求学生具备一定的综合分析能力和计算能力，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等． 地 城 考点11 特殊平行四边形其他综合问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁沈阳·期中)【问题初探】 如图1，在四边形中，，，连接，若四边形的面积为．求的长． ①如图2，小辉同学采用“补”的方式将四边形的面积转化成三角形的面积，进而解决问题； ②如图3，小丽同学采用“割”的方式将四边形分割成两个全等的三角形和一个矩形，进而解决问题． （1）请你选择一名同学的思路写出完整的解答过程； 【类比分析】 李老师发现，两名同学通过“割”或“补”的方式把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，为了帮助学生更好地感悟这种转化思想，李老师对图形进行了变式． （2）如图4，在四边形中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，且，，求的面积； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，为斜边上一点，，，且四边形是正方形，请直接写出与的和． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，，易证得四边形为矩形，因而可设，，则，，，利用三角形的面积公式可得，因而可推出，解一元二次方程即可求出的值，然后利用勾股定理即可求出的长； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，由垂线的性质可得，易证得四边形为矩形，于是可得，，，由旋转的性质可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）由正方形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，设（），则可得，即，，在中根据勾股定理可得，于是建立关于的一元二次方程，解方程即可求得、、、的长，然后利用三角形的面积公式即可求出与的和． 【详解】解：（1）选择小丽同学的思路并写出完整的解答过程如下： 如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， 设，， 则， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ； （2）如图，过点作于点，过点作交延长线于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 设（）， ， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ，即：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的面积公式，整式的加减运算，直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，利用邻补角互补求角度，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等式的性质，代数式求值等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期中)（1）问题探究：如图1，在中，，，于D，P、Q分别是线段、上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作 于点M，于点J，于点N，于点G，可证：，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决．请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程． （2）类比练习：如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R使边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长． （3）拓展提升：如图5，在中，于D，，，，P、Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）的最小值为6，求解见解析；（2）；（3）9 【分析】（1）直接根据两人的求解思路，利用全等三角形的判定与性质或者利用矩形的判定与性质、勾股定理写出解析过程即可； （2）连接，，先证明得到，再证明四边形和四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证明在中，利用勾股定理求得，，在中，利用勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）先根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求，，作于I，于T，于J，进而求得，证明得到，设，则，，根据线段的和差和相似三角形的判定证明求得， ，然后证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：（1）选小慧的做法： 如图2，过点P作交所在直线于点H， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴，又， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故的最小值即为求的最小值． 由垂线段最短得，当H、D重合时取等号， ∴的最小值为，即的最小值为6； 选小明做法： 如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，则， 在中，，，， ∴，，，， ∴四边形、是矩形，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即为定长， 在中，，当时，最小，最小值为； （2）连接，， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，又， ∴， 在中，，， ∴，则， 设，则， 在中，由得， 解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得； （3）∵中，于D，，，， ∴，， ∴， 作于I，于T，于J， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴，则， ∵M为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，又N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，是一道典型的压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)【问题发现】 （1）如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点沿着小明的思路思考下去，则的面积_____________； 【变式应用】 （2）如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，若，求的面积： 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，且，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用，求出，则有，再三角形面积公式求出即可； （2）过点作，交于点，过点E作于点．则．再由（1）同理解决问题； （3）过点作，作，交延长线于点，交于点，设，则，；，，，利用，即，列方程解决问题． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ∴，，， 将绕点顺时针旋转至，点E为 中点， ，， ， 点、、三点共线， ∵， ， ， ， ， 由图可知：， ∴； 故答案为：； （2）在菱形中，，， 是等边三角形，， 由旋转可知：，， ， ，，三点共线， 如图，过点作，交于点，过点E作于点． ，，． 是等边三角形，． ，， ． ，． ． ， ． ． 在中，， ． （3）过点作，作，交延长线于点，交于点， ∵， ∴， ，， ， ， ， ，则， 设，则，；，，， 将绕点顺时针旋转 至， ， ， ， 即， 过点作，过点作， ∴四边形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，， ， ， ， 解得 （负值舍去）， 经检验： 是方程的解， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，解直角三角形，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似求线段的长是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁锦州第十八中学·期中)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【答案】（1）①见解析：②；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，从而得出，推出四边形是矩形，由旋转的性质可得，即可得证；②连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由勾股定理求出即可得解； （2）连接，由矩形的性质可得，，，，由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，从而得到，由等角对等边对出，结合，即可得证； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上，由，得出点在的垂直平分线上，再两种情况：当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则；当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则；分别利用矩形的判定与性质、勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）①证明：∵四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质可得， ∴四边形是正方形； ②解：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，，，， 由旋转的性质可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 如图，当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、正方形的判定、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $