专题03 相似形（期中真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期

专题03 相似形（期中真题汇编，安徽专用） 6大高频考点概览 考点01 相似多边形与比例线段 考点02 相似三角形的判定和性质 考点03 位似 考点04 相似三角形的应用 考点05相似形的综合 考点06 相似三角形判定的常考模型 地 城 考点01 相似多边形与比例线段 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知，若，则 ． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    8．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形，使得新矩形矩形，求的长 地 城 考点02 相似三角形的判定和性质 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，的面积为8，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C． （1）若，，则 ； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图中，，点为内部一点且始终满足，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 10．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知点为线段的中点，且，连接，，是的平分线，与相交于点，于点，交于点，求的长． 地 城 考点03 位似 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知和是位似图形，点O是位似中心，．若点C的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为 ． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 7．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知是坐标原点，点，的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，在轴的左侧作，使它与位似，且位似比为； (2)如果周长为，则的周长为 ； (3)若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标 ． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在网格中画出（1）中的位似图形，使与的相似比为． 地 城 考点04 相似三角形的应用 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射来面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）一竹竿高米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高为 米． 5．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当时，的长为 ．    三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 8．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，运河边上移栽了两棵老树，，它们相距10m，分别自两树上高出地面6m，8m的A，C处，向两侧地面上的点E和D，点B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索与的交点P离地面的高度为多少米？ 地 城 考点05 相似形的综合 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点，都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知，的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，矩形中，，连接，，是上一点，且，在图中画出点位置，求的长为 ．是上一点，若和相似，则的长度为 ． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边、于点D、E，，，则 ；连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，四边形中，平分，，为的中点， (1)求证：； (2)求证： ； (3)若，求的值． 6．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，． (1)求证：； (2)求的值． 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 地 城 考点06 相似三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则 ．    三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点是的边上一点，点在外部，且． (1)求证：； (2)交于点，如果，平分，求证：． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，正方形中，是上一点，过作交于点，连接． (1)证明：． (2)当时，求的长． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3） 如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似形（期中真题汇编，安徽专用） 6大高频考点概览 考点01 相似多边形与比例线段 考点02 相似三角形的判定和性质 考点03 位似 考点04 相似三角形的应用 考点05相似形的综合 考点06 相似三角形判定的常考模型 地 城 考点01 相似多边形与比例线段 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的性质以及矩形的性质，结合比例关系建立方程求解是解决本题的关键． 可得到小矩形的短边长，根据每一个小矩形均与原矩形相似，可建立方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵大矩形的长边为25， 则切割后的小矩形的短边长为5， 又∵大矩形的短边与小矩形的长边都为x， ∴由相似可得， 即，且， 解得 故选：B ． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由，则，然后把，，代入即可求解，掌握相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 二、填空题 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为： ． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形准确作出平行线是解题的关键．过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点D作交于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：， ∴． 8．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形，使得新矩形矩形，求的长 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵是边长为2的正方形， ∴， ∵是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得：= （负数舍去）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和相似多边形的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键． 地 城 考点02 相似三角形的判定和性质 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C．，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为3或． 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证得，即，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，的面积为8，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定性质是解题的关键； 根据平移的性质，推出，根据对应边线段比等于相似比，求，再根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】∵如图， 将沿方向平移， ∴，，， ， ， ∴， ∵，则， ， ∴， ， ， 故答案为：， 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C． （1）若，，则 ； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下 【答案】 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加平行线构造相似三角形是解题的关键．①过点A作平行线交延长线于点H，得到，根据对应边成比例即可已知条件即可求解；过点G作交于点P，得到，，根据对应边成比例即可已知条件即可求解． 【详解】解：①过点A作平行线交延长线于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：； ②过点G作交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， 则， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图中，，点为内部一点且始终满足，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． （1）由，，证明，即可证明结论； （2）由，，证得，进而可证，可得，由（1）可知，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，再证明，据此根据相似三角形的性质建立比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，结合，可推出，可证； （2）根据菱形的性质求得，再利用勾股定理求得，然后由（1）可知，从而得到，即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为菱形， ，， 在中，，，， ， 由（1）可知， ， ． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法及灵活应用相似三角形的性质是解决问题的关键． （1）由得出，再由得出，即可证明； （2）由得出与都是等腰直角三角形，再证明得出，通过等量代换得出，即可得出的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ． 10．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知点为线段的中点，且，连接，，是的平分线，与相交于点，于点，交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 首先根据线段中点的性质，可得，根据勾股定理，即可求得，再由，，即可证得四边形为矩形，，可得，进而证得，再根据角平分线的定义，可得，可得，进而证得，设，则，由，可得，进而得到，即，解此方程，即可求得的长。 【详解】∵，为线段的中点， ， ， ， ∵， ∴四边形为矩形，， ， ， 又∵是的平分线， ， ， ， 设， 则， ， ， ，即， 解得：， 即， 故答案为：。 地 城 考点03 位似 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知和是位似图形，点O是位似中心，．若点C的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，先确定为位似比为2，然后把点的横纵坐标都除以即可． 【详解】解：∵和是位似图形，点O是位似中心，， ∴位似比为2， ∵点C的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形和′以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】∵和是位似图形，点O是位似中心， ． 点A的坐标为， ∴点C的坐标为， 故选C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为 ． 【答案】1:3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的． 相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方． 【详解】已知两个相似三角形的面积比为1: 9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1: 3， 故答案为1: 3． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 【答案】6 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （2）解：由图可得： 7．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知是坐标原点，点，的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，在轴的左侧作，使它与位似，且位似比为； (2)如果周长为，则的周长为 ； (3)若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标 ． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结论； （3）根据以原点为位似中心的图形上的点的坐标规律，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到， ，相似比为， ，的周长比为， 的周长为， 的周长为， 故答案为：； （3）解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在网格中画出（1）中的位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查轴对称作图和位似作图，掌握关于x轴对称的两点坐标特点和位似图形的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数找出三个顶点的对应点，再连线即可； （2）根据位似图形的坐标特点，先求出对应点的坐标，再描点连线即可得解． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求． 地 城 考点04 相似三角形的应用 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射来面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，则有，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴阴影部分的半径是， 所以地面上阴影部分的面积为：， 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意得， ， ， ， ， ， 则①②得， ， ， ，， ， 解得， 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）一竹竿高米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高为 米． 【答案】30 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：设塔高为h米，根据同一时刻物高和影长成正比，则有； ∴， ∴塔的高度为30米． 故答案为：30． 5．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米． 【答案】 【分析】根据题意，画出示意图，可得，进而可得，代入数据可得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， 解得： ， 答：树的高度为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当时，的长为 ．    【答案】5.4 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 故答案为：5.4． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 【答案】路灯的高为6.4米 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 根据题意，得，，，，，继而得到，，之后列出比例式，解答即可． 【详解】解：由题意知：，，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， 答：路灯的高为米． 8．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．过点作于点，交于点，证明，得到，即，求出即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 即旗杆的高度为． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，运河边上移栽了两棵老树，，它们相距10m，分别自两树上高出地面6m，8m的A，C处，向两侧地面上的点E和D，点B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索与的交点P离地面的高度为多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质知识点，解题的关键是通过相似三角形的性质建立比例关系求解． 过点作于，通过证明与相似，与相似以及与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来求解的长度． 【详解】 过点作于． ，． ，， ， ， ， 又，， ，． 设，，     ，． 通分得到，即， 解得米． 绳索与的交点P离地面的高度为米． 地 城 考点05 相似形的综合 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，相似三角形判定与性质等知识．添加合适辅助线，构造平行线是解题的关键． 如图：作，交于N，交于M.设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图：作，交于N，交于M． 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， 又 是的中位线， ， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点，都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知，的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点，过点作于点，证明，则，设，则，，点，然后通过三角形面积即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，矩形中，，连接，，是上一点，且，在图中画出点位置，求的长为 ．是上一点，若和相似，则的长度为 ． 【答案】 ； 或． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，等角对等边等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，则，，，故有，根据角度和差及三角形的内角和得出，从而，通过勾股定理求出，则，再分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；或． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边、于点D、E，，，则 ；连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为 ． 【答案】 6 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．过D作于点H，设，则，．根据反比例函数解析式，得到，，进而得到，，由翻折的性质得：，，证明，得到，求出的值，即可得到k的值． 【详解】解：过D作于点H，如图， ∵沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴设，则，． ∵，反比例函数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由翻折的性质得：，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 解得：， ∴， 故答案为：6，． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，四边形中，平分，，为的中点， (1)求证：； (2)求证： ； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线判定，角平分线定义，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定及性质，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据角平分线得出，进而判断出，根据相似三角形性质即可得出结论． （2）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出，根据角平分线性质得到，从而，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得出结论； （3）证，根据相似三角形性质可得：，即可得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵在直角三角形中，E为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线定义得，即可解决问题； （2）结合（1）得，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得，，则，即可求得，，，从而求得，，，代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ，， ， ∴． 设，则， ∴， ∵， ∴  ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 【答案】(1) (2)这个矩形的边长分别为30，20 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识，证明两个三角形相似是解题的关键． （1）由矩形性质易证明，则有；再证明四边形是矩形，得，结合，则由比例式得到关于的方程，解方程即可； （2）设，则可表示，由可求得，进而可表示出矩形的面积，由二次函数性质即可求得面积的最大值，从而求得矩形的边长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ∴； 又， ， 四边形是矩形， ； ， ∴， 解得； （2）解：设，则， ， ， 即， ， 矩形的面积 ， 当时，矩形的面积取得最大值600， 此时． 所以，这个矩形的边长分别为30，20． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】根据等边三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据角之间的关系可得； 由可知，从而可证，根据相似三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可证结论成立； 延长至，连接、，使，由可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据平行线的性质可证，，根据直角三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得：，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：由可知， 在和中，，， ， ， ， 又是等边三角形， ， ； （3）证明：如下图所示，延长至，连接、，使， 由可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系． 地 城 考点06 相似三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形，相似三角形的知识，根据平行四边形的性质，得到，则，根据，得到，根据，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，得到，得到，选项C正确；证明，得出，得到，选项A正确；可证明，得到，选项B正确； ，选项D错误；即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， 选项C正确； ， ， ， ， 选项A正确； ， ， ， 选项B正确； ， 选项D错误； 故选：D． 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了形似三角形性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键； 根据可得出，利用得出，也就是求出两个三角形的相比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出求出面积比； 【详解】， ， ， ， ， 故选：D 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；作交于，由中点的定义得出，由平行线得出，，得出对应边成比例，，所以，即可得出结论． 【详解】证明：过点作交于，如图，   为的中点， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点是的边上一点，点在外部，且． (1)求证：； (2)交于点，如果，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定方法，证明，即可证明结论； （2）证明，得到，即可得到，证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ； （2）证明：， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，，， ， ， ． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，第一问的关键是证明，第二问的关键是证明． （1）由平行四边形的性质可得，，等量代换可得，通过证明，即可得出； （2）由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解： 四边形是平行四边形， ，， 由（1）知， ， ， ，， ， ，即， 解得． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，正方形中，是上一点，过作交于点，连接． (1)证明：． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】此题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定方法，求证即可； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形 ， ， ； （2）解：， ， ， 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，得出，根据，，得出即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出， 证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点C作，交于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同（2）可得， ∴， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $