第22章 相似形 单元练习 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

第22章 相似形 单元练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边的长为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，分别是，上的点，且 若，则等于  (    ) A. B. C. D. 3.若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定∽的是  (    ) A. B. C. D. 5.如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段放大得到线段若点的坐标为，则点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.下列四条线段中，不成比例的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 8.如图，在中，点是边上一点，且，交对角线于点，则等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若，且，则的值为______． 10.在中，点、分别是边、的中点，那么的面积与的面积的比是______． 11.如图，在中，，点是边上的一点，于，，，则边的长为          ． 12.如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是______． 13.如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则          ． 14.如图，添加一个条件：          ，使∽，写出一个即可 15.如图，在中，、分别为、上的点，若，，则________． 16.如图，在中，，分别交，于点，若，，则的面积与的面积的比是________． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，平分，交于点，点是上一点，连接，证明：∽． 18.本小题分 在坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． 画出关于轴对称的； 以点为位似中心，在第一象限中画出将按照：放大后的位似图形； 面积为______直接写出答案 19.本小题分 已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，求证：∽． 20.本小题分 如图，操场上有一根旗杆，为测量它的高度，在和处各立一根高米的标杆，，两杆相距米，测得视线与地面的交点为，视线与地面的交点为，且，，，，都在同一直线上，测得为米，为米，求旗杆的高度． 21.本小题分 如图，在中，，在边上取一点，使，过作交于，，求的长． 22.本小题分 四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 如图，在四边形中，，，，对角线平分求证：是四边形的“相似对角线”； 如图，已知格点，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形，使四边形是以为“相似对角线”的四边形；注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形 如图，四边形中，点在射线：上，点在轴正半轴上，对角线平分，连接若是四边形的“相似对角线”，，求点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．根据相似三角形的对应边成比例求解可得． 【解答】  解：设另一个三角形的最长边长为． 由题意，得 ，解得， 即另一个三角形的最长边长为． 故选C． 2.【答案】  【解析】解：，：：， ：：， ：：． 故选：． 由，根据平行线分线段成比例定理，可求得、的比例关系． 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出与的关系是解题关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可求解． 【解答】 解：两个相似三角形的面积之比为：， 它们的相似比为：， 它们的周长之比为：． 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似； 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【解答】 解：A正确，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； 不正确，不符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； C正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出点坐标． 【解答】 解：设点的坐标为，由位似图形的性质知，，得，，则点的坐标为． 故选B． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．据此可得结论． 【解答】 解：， ， 的值为． 故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中．若，，，成比例，即有：：只要代入验证即可． 【解答】 解：、：：，则：：，即，，，成比例； B、：：，则：：故，，，成比例； C、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例； D、：：，即：：，故，，，成比例． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：平行四边形， ，， ，， ∽， ， ， ， 则， 故选：． 由平行四边形对边平行且相等得到与平行且相等，由平行得到两对内错角相等，由两对角相等的三角形相似得到三角形与三角形相似，由相似得比例即可求出所求式子的值． 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：，且， ， ． 故答案为：． 直接利用比例的性质得出，进而代入求出答案． 此题主要考查了比例的性质，正确得出是解题关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 根据题意，推出∽，所以，由此即可得解． 【解答】 解：如图，，， ，， ∽， ， 故答案为． 11.【答案】  【解析】【分析】 根据射影定理列式计算即可． 本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 【解答】 解：由射影定理得，， 解得，， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或是解题的关键．根据位似变换的性质进行计算即可． 【解答】 解：点的坐标为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的， 点的坐标是，即， 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：四边形与四边形位似，其位似中心为点，且， ， 则． 故答案为：． 直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案． 此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 14.【答案】答案不唯一  【解析】解：由题意得，公共角， 则可添加：，利用两角法可判定∽． 故答案可为：答案不唯一． 相似三角形的判定有三种方法： 三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 由此可得出添加的条件． 本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一． 15.【答案】  【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出相似三角形是解题关键． 直接利用相似三角形的判定方法得出∽，再利用相似三角形的周长比等于相似比进而得出答案． 【解答】 解：， ∽， ． 故答案为． 16.【答案】：  【解析】解：，， ， ， ∽， ：． 故答案为：． 根据，即可证得∽，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解． 本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 17.【答案】证明：平分， ． ， ， ．  【解析】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键． 由角平分线的定义可得出，结合即，即可证出． 18.【答案】如图，为所作； 如图，为所作； ．  【解析】解：如图，为所作； 如图，为所作； 面积． 故答案为． 根据关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； 延长到使，延长到使，延长到使，从而得到； 用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出面积． 本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换． 19.【答案】证明：是等边三角形， ，                                又，          ，        ∽．  【解析】本题考查的是相似三角形的判定，等边三角形的性质有关知识，根据是等边三角形得出，，然后再利用三角形相似的判定定理进行解答即可． 20.【答案】解：由题意知，设，， ∽，∽， ，， ， 解得． 答：旗杆的高度为．  【解析】根据，可得∽，∽，可得，，即可求得的值，即可解题． 本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于、的关系式是解题的关键． 21.【答案】解：，， ， 又， ∽． 在中，，，， ， 又， ． ∽， ，即． ．  【解析】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质，解答时，利用了“相似三角形对应边成比例”的性质．已知，且有一组公共角，则可以判定∽，根据相似三角形的对应边对应成比例来求的长度． 22.【答案】证明见解析；见解析；．  【解析】【分析】 由平分可得，则，根据可得，即可求解； 如图所示，根据两个三角形夹角相等，夹边成比例，则三角形相似，即可求解； 利用∽，则，而，即可求解． 【详解】 解：对角线平分， ， ， ， ， ， ， 是四边形的“相似对角线”； 如下图所示： ，  ， ∽， 故：以为“相似对角线”的四边形有：， 同理可得：以为“相似对角线”的四边形还有：、、； 如图，作于，于， 点在射线：上， ，即， 对角线平分， ， 是四边形的“相似对角线”， 与相似且不全等， ， ， ，即， ， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：证明见解析；见解析；． 【点睛】 本题是阅读理解型一次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，此类题目通常要弄清楚题意，逐次求解． 第4页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$