专题08 相似三角形的性质与判定（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题08 相似三角形的性质与判定 目录 2 类型一、利用相似的性质求线段的长度 2 类型二、利用相似的性质求线段的比 5 类型三、利用分类讨论思想结合相似三角形的性质求线段长 9 类型四、利用相似的性质求周长和面积 13 类型五、利用相似的性质求周长和面积的比 16 类型六、利用相似求坐标 21 类型七、运用相似三角形解决折叠问题 26 类型八、在网格中画与已知三角形相似的三角形 31 类型九、利用相似三角形的性质与判定求解 34 类型十、证明三角形的对应线段成比例 42 类型十一、利用相似三角形解决动点问题 48 53 类型一、利用相似的性质求线段的长度 解题策略：相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4）三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 1．（2023·福建三明·一模）如图，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求解即可，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】解：， ， ， ， 或(不符合题意，舍去)， ， ， 故选：． 2．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【详解】由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 3．（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故选：B． 4．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）有一三角形三边之比为，如果另一个与它相似的三角形的周长等于，那么另一个三角形的三边长分别是多少？ 【答案】三边长分别为、、 【分析】由一个三角形的三边之比为，可得与它相似的三角形的三边之比为，又由与它相似的三角形的周长为，即可求得答案． 【详解】解：∵一个三角形的三边之比为， ∴与它相似的三角形的三边之比为， 设三边长分别为、、， ∵与它相似的三角形的周长为， ， 解得， ∴三边长分别为、、． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 类型二、利用相似的性质求线段的比 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似，对应面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴，即， 故选：A ． 6．（2023·安徽亳州·二模）如图，的面积为10，，，，点在上，则的值是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交于，根据面积可求出，再通过证明，即可得到，从而即可求解． 【详解】解：作交于，   ， 的面积为10，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（21-22九年级·浙江·自主招生）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可画图，如图所示，易得：、、均为等腰三角形，得到∽，列出比例式，解方程即可． 【详解】解：如图：,且都为底角 ∽ 即： 整理得： 即： 解得或（舍去） 因此 故选D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相关知识点有：等腰三角形的性质、相似三角形对应边成比例、解一元二次方程以及整体思想，根据相似列出比例式是解题的关键． 8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 【答案】 【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作， ∵平分，则到的距离相等， 设到的距离为，到的距离为， ∴， ∴； 故答案为：． ∵平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 设，则，，则 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴的周长是 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型三、利用分类讨论思想结合相似三角形的性质求线段长 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知，，， 若与相似， 则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质和勾股定理，利用分类讨论得出结果是解题的关键． 根据相似三角形的性质当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为或． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，与相似，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质，解分式方程等知识点，根据相似三角形的性质写出比例式是解题的关键． 分两种情况讨论：当时；当时；分别根据相似三角形的性质写出比例式，解分式方程即可求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 与相似， 分两种情况讨论： 当时， 设，则， ， 即：， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解； 当时， 设，则， ， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 11．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为 ．    【答案】 【分析】分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，，即， 解得，， 当时，，即， 解得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 12．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为3或． 故选：C． 类型四、利用相似的性质求周长和面积 13．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）小明同学拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了，则放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了， ∴放大后的图形与原图形是相似图形，其相似比为，故其面积比为， ∴放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的4倍， 故选：C． 14．（2024·四川广元·一模）如图，在中，，根据步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，交于点，交于点．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图以及相似三角形的性质，根据作图识别线段垂直平分线以及利用相似比得出面积比是解题关键．先确定垂直平分，再得出，再利用相似性质的面积． 【详解】解：∵根据作图步骤可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，为的中位线，的面积是3，则四边形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，利用三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质得出，进而求出即可． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， 的面积， ， 则四边形的面积． 故选：C． 16．（2022·山东菏泽·一模）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，利用三角形相似的性质可求得，同理求得，它们的差即为所求答案． 【详解】线段被截成三等份， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：4． 类型五、利用相似的性质求周长和面积的比 17．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵，且 ∴， 即， 故选：C． 18．（22-23九年级上·安徽淮北·期末）如图，是的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可求，如图所示，过点作于点，并延长交于点，可求出，的值，再根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是的边延长线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 如图所示，过点作于点，并延长交于点，即是的高，是的高，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，比例的基本性质，几何图形面积的计算方法等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 19．（2023·安徽滁州·一模）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接， ；    【答案】 【分析】证明，利用相似三角形的面积等于相似比的平方求解即可． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 20．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得，证明，即可求证； （2）利用，，得出，再证明，，得出，设，则，，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴与四边形的面积比的值为． 类型六、利用相似求坐标 利用相似三角形的性质求解坐标，核心是通过相似三角形的对应边成比例、对应角相等，建立坐标之间的数量关系，再结合平面直角坐标系的坐标规律（如横纵坐标的差值、坐标平移、中点公式等）列方程求解。 21．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 22．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴CDE≌CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴AOE∽CDE， ∴ ， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 24．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 类型七、运用相似三角形解决折叠问题 25．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，，线段与线段相交于点．当时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质．由矩形得到，，，从而，设，则，证明，得到，根据相似三角形的性质得到，代入即可求出x，从而得到，，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， 设，则， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴在中，， ∴． 故选：D． 26．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 证明，得到，根据折叠的性质可求得，，进而即可解答． 【详解】解：∵将等边三角形折叠，使点A落在边上点D处， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴． 故选：B． 27．（2024·安徽池州·三模）如图，为等边三角形，且，现将折叠，使顶点落在边上的点处（点与不重合），折痕为，当与面积的比是时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解三元一次方程组，由等边三角形的性质得，，由折叠的性质得，，，进而可推导出，得到，设，，，则，，进而得，即，解方程组即可求解，由相似三角形的性质得到方程组是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与面积的比是， ∴， 设，，，则，， ∴， 即， 把代入得，， 得，， ∴， 即的长为， 故选：． 28．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平分交于点，点是一动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点． （1）的长度是 ； （2）若，则的长度是 ． 【答案】 5 【分析】根据已知条件得，从而得到，然后证明，求出，根据进行计算即可得出的长；由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据求出，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ； 故答案为：5； （2）解：由翻折可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，是解题的关键． 类型八、在网格中画与已知三角形相似的三角形 29．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【分析】此题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ； （2）解：如图：即为所求． 30．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 【答案】(1) (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； （3）如图，取格点、、，使，两个三角形的相似比为，即可作图． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点如图所示， ； （3）如图③中，即为所求作． 31．（20-21九年级上·安徽合肥·期中）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点E． （1）请在网格图中画两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形； （2）线段AE的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）AE= 【分析】（1）直接利用网格结合相似三角形的判定方法得出答案； （2）利用网格结合勾股定理以及第一问的相似三角形得出答案． 【详解】（Ⅰ）连接AC，DB，△CAE∽△DBE； （2），， ∵△CAE∽△DBE ∴ ∴ ∴AE= 【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AE的长是解题关键． 类型九、利用相似三角形的性质与判定求解 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 32．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 33．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 34．（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）过E点作交于M点，如图，利用平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，则，所以； （3）先证明得到，则利用， 得到，根据比例的性质得到①，由于，所以②，然后把①与②相加得到1，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过E点作交于M点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴1， 即， ∵， ∴， 而， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即①， ∵， ∴， 即②， 得1， 解得． 35．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，交延长线于点，先根据平行线的性质可得，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出是等腰直角三角形，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：，即点是的中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵，点是的中点， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． 类型十、证明三角形的对应线段成比例 36．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识，熟练掌握矩形的性质和判定、证明三角形相似是解题的关键； （1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理可得，，进而可得，于是可得结论； （2）根据题意可得，根据矩形的性质可得，设，证明，利用相似三角形的性质列方程求出x，进一步计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：①∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ②∵， ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴ ， 即 （2）解：∴， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 设． ∵， ∴ ∴ 即 解得 (不合题意，舍去)， 37．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．证明出与全等以及与相似是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方法证明与全等，由全等可得，再由平行可得相似，再由相似的性质可得边成比例； （2）根据（1）中结论由全等可得，再由相似可得，根据边的关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又， 在与中， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 又， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，即， 由（1）知， ， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 38．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形即为“准等腰梯形”．其中． (1)在图1所示的“准等腰梯形”中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形分割成一个有两边相等的梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）． (2)如图2，在“准等腰梯形”中，，为边上一点，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，取中点，连接，交于点，连接，若，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作交于点，如图所示，则和四边形就是所求作的图形； （2）由，就可以得出，就可以得出，就可以得出结论； （3）延长、交于点，如图所示，结合（2）中，设，，由全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求出相关线段长度，再由相似比列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示： ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴四边形是梯形． ∴和四边形就是所求作的图形； （2）解：， ． 又， ． ． ． 又， ． ． ； （3）解：延长、交于点，如图所示： 由（2）知， 设，， ， ； 是的中点， ， 在与中， ， ； ． ； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题考查了几何综合，涉及等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解答时灵活运用等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识求解是关键． 类型十一、利用相似三角形解决动点问题 39．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则 ①当D与B对应时，有， ∴， ∴， ∴； ②当D与C对应时，有， ∴， ∴， ∴， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是1.5秒或2.4秒， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为边延长线上一点，连接，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的做出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，得到线段和的长，进而求出与相等，过点作，根据勾股定理得出的长，只有时，的值最小，通过相似三角形对应线段成比例即可得到的最小值． 【详解】解：， ， ， 解得，（负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，如图所示， ， ， ，， ， 当时，的值最小， ， ， ， 即， ； 故选A． 41．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)求x为何值时，最大？ (3)直接写出x为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，正确证明是关键． （1）根据等边对等角，可以证得，然后根据三角形的外角的性质，证得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）根据相似三角形的对应边的比相等，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值； （3）解：①当时， ∵, ∴， ∴，即， 解得 ． ②当时，． ∴． ∴，即． 解得 ． ③当时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时． 或当时，， ∵， ∴情况不成立． 综上所述，当或时，为等腰三角形． 42．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）在矩形中，，P是边上一点，把沿直线折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在上，交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，求证：； (2)如图2，当，且时，求的值； (3)如图3，当时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定即可证得结论； （2）利用折叠性质得出，，进而得出，得出，证明，则，设，可求出，，再证明，进而可求得PB，即可得出结论； （3）证明，得出，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在矩形中，，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）在矩形，， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴，， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识的灵活运用，会利用方程思想解决问题是解答的关键． 43．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②9 (2) 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；②由，得到，进而求得；利用，相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）连接，利用三角形的三条角平分线相交于一点，可得是的平分线；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，同理可得：；通过证明可得比例式，则可求，，结论可得． 【详解】（1）证明：①平分， ． ， ． ． ； ②∵， ． ， ． ， ． 点为的中点， ． ，， ． ． ． ； （2）解：连接，如图， 平分， ． ， ． 在和中， ， ． ． 平分，平分， 平分． ，． ，， ． ， 又， ． ． ， ． 同理可得：． ， ，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 44．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 45．（20-21九年级上·安徽滁州·期末）如图1，中，，，为的中线BD上的一点，将线段AE以E点为中心逆时针旋转90°得到线段EF，恰EF经过点C． （1）若，则__________（用的代数式表示）． （2）过点C作交AF于点H，连接BH交EF于点G． ①求证：； ②若，求EG的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②． 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）①证明 ，由全等三角形的性质得出； ②证明，由相似三角形的性质得出答案． 【详解】（1）∵为的中点，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， 故答案为：， （2）①∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ②由得， 又由（1）可知， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由，可设， 则，， ∴， ∴， ∵，∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 46．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出的值为______； (2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标； (3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）已知直线交轴于点，根据函数图象上的点的坐标满足函数方程，代入点求解即可． （2）设，根据轴，从而表示出，由，轴，进一步推导出证的条件，利用相似三角形的性质求出的值，进而求出点的坐标． （3）过点作于点，过点作于点，易证和为等腰直角三角形，设，由勾股定理得，，解得，即，利用两点间的距离关系表示出，根据勾股定理得，再根据以及，构造三角形，由相似三角形的性质得， 即，解关于的方程即可． 【详解】（1）交轴于点， ， 解得， 故的值为． （2）由（1）知，则 设， 轴， 点横坐标为， 把代入， 得， ，， ， 又， ， ， 由，可知，， ， 解得， 当时，，， 当时，，， 综上，点的坐标为或 （3）如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ，，， 轴轴， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得，， 即， 解得，即， ，， ， ， 即， ， ， ， 即， 解得， 点位于第四象限， 故的值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及两点间的距离公式，本题的综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是利用数形结合的思想，通过添加辅助线证明三角形相似． 47．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题： (1)当平分，为的中点时． ①如图1，求的长度； ②如图2，求的长． (2)如图3，为的中点，连接，当周长最小时，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点D作的垂线，垂足为点，设，利用勾股定理求出，根据列式求解即可； ②取中点为，利用三角形的中位线性质证得，再利用勾股定理即可求解出的长度； （2）取的中点为，连接，过点作交于H，利用三角形的中位线性质与对称性可知当三点共线时，最小，再证得，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点D作的垂线，垂足为点，即， 平分，， ， 设，在中， ，， ， ， ， 即， ， 则的长度为； ②如图，由题意得，取中点为， 为的中点， 为的中位线， 且， 是的中点，， ， 则， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 且， ， ， ，，且， ， 在中，， 则的长为； （2）如图，取的中点为，连接，过点作交于H， 点分别为的中点，，， 是的中位线，点关于的对称点为， 且，， 是的中点，在上运动， 的轨迹是线段， 且， ，， 当三点共线时，最小， 此时恰好为的交点， 是的中点，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 则当的周长最小时，的值为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质与三角形的中位线性质是解题的关键． 48．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若记，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由正方形得到，， ，即可证明，得到，再根据得到； （2）先求出，再根据得到，再证明，得到，则，代入求值即可； （3）设，，则，，由，得到，，解得，则，由（2）得，然后分别表示出，再根据，得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，和， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，，则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， 由（2）得，， ∴， ，， ∵， ∴， 整理得， 由图形可得， ∴， ∴． 49．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点D在线段上，，过点D作的垂线，垂足为E，点P是线段上的动点，连接，以为邻边作． (1)______； (2)求证：； (3)当面积最大时，求此时的面积： (4)当点Q落在的边上时，直接写出线段的长． 【答案】(1)5 (2)见详解 (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理（其中为直角边，为斜边），已知的长度，可直接计算； （2）通过证明两个三角形的两组角分别相等，从而证明三角形相似； （3）先求出的长度，再根据平行四边形面积公式底高，过点作于点，．依题意，当时，面积最大，从而求解； （4）分点落在边和边两种情况，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故答案为：5． （2）， ， 又 ， ， 是和的公共角， ． （3），，， ， ，即， ． ， 如图，过点作于点， ，， ， 点是边上的动点，且不平行， 当与重合时， ∵， 即， ； 当点与点重合时，如图， ， ， ， ，， 当最大时，最大，最大， 当时，； （4）当点落在边上时， 在中，， ， ，即， ； 当点落在边上时， 设，则． 在中，， ， ，即，解得， ， ， 综上，或． 【点睛】本题综合考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识．通过分析图形中的角度关系和边的比例关系，利用相似三角形对应边成比例等性质进行求解是解题的关键． 50．（24-25八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的两条不平行的直线，定义：若两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线互为“等角线”；若两条直线与轴相交所成的锐角互余，则称这两条直线互为“余角线”． (1)判断下列两条直线的关系，填入选项： A．互为“等角线”；B．互为“余角线”；C．前述二者皆不是． ①，：_____； ②，：_____； ③，：_____． (2)已知，．若直线和直线互为“等角线”，则直线的解析式为_____． (3)已知，．若直线和直线互为“余角线”，且，则点的坐标为_____． (4)如图，直线与双曲线交于点A，C，点是双曲线上位于第一象限的动点（点在点的左侧），点是双曲线位于第三象限一点，满足直线和直线互为“余角线”． ①求证：直线与直线互为“等角线”； ②若四边形为平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】(1)①A，②B，③B (2) (3)或或或； (4)①证明见解析；② 【分析】（1）①，的图象如下：再结合图象与新定义的含义即可解答；②如图，，的图象如下：再结合图象与新定义的含义即可解答；③：，的图象如图，再结合图象与新定义的含义即可解答；． （2）求解直线为，则图象过原点；记与轴的交点为，结合直线和直线互为“等角线”，可得，同理可得直线的解析式为； （3）如图，直线和直线互为“余角线”，当时，满足条件；求解直线为，如图，同理当直线为时，，直线和直线互为“余角线”，再进一步求解即可； （4）①点是双曲线位于第三象限一点，满足直线和直线互为“余角线”．记与轴交于点，与轴交于点，过作轴于，可得，求解，，设（），求解直线为，求解直线为，进一步可得结论； ②如图，四边形为平行四边形，则，可得，证明，可得，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解： ①，的图象如下： ∴，解得：， ∴， 当，，当，则，解得， ∴，， ∴为的中点，而， ∴， ∴， ∴，互为等角线；故选：A ②如图，，的图象如下： 同理可得：，， ∴，而， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，互为“余角线”；故选：B； ③：，的图象如图． 同理可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，互为“余角线”；故选：B； （2）解：∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为，则图象过原点； 记与轴的交点为， ∵直线和直线互为“等角线”， ∴，则， ∴， 同理可得直线的解析式为； （3）解：如图，直线和直线互为“余角线”， ∴当时，满足条件； 在上截取， ∵，． ∴， 当时，， 此时， ∴，满足条件， 由中点坐标公式可得：， ∵，． 同理可得：直线为， 如图，同理当直线为时，，直线和直线互为“余角线”， ∵， 同理可得：，， 综上：或或或； （4）解：①∵点是双曲线位于第三象限一点，满足直线和直线互为“余角线”．记与轴交于点，与轴交于点，过作轴于， ∴， ∵， 解得：，， ∴，， 设（）， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 同理可得：； 设直线为， 同理可得：， ∴直线为， 同理：，而， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线互为“等角线”； ②如图，四边形为平行四边形，则， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：（舍去），， ∴. 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出图形结合数形结合的方法解题是关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相似三角形的性质与判定 目录 2 类型一、利用相似的性质求线段的长度 2 类型二、利用相似的性质求线段的比 3 类型三、利用分类讨论思想结合相似三角形的性质求线段长 4 类型四、利用相似的性质求周长和面积 5 类型五、利用相似的性质求周长和面积的比 6 类型六、利用相似求坐标 7 类型七、运用相似三角形解决折叠问题 8 类型八、在网格中画与已知三角形相似的三角形 9 类型九、利用相似三角形的性质与判定求解 11 类型十、证明三角形的对应线段成比例 12 类型十一、利用相似三角形解决动点问题 13 14 类型一、利用相似的性质求线段的长度 解题策略：相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4）三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 1．（2023·福建三明·一模）如图，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）有一三角形三边之比为，如果另一个与它相似的三角形的周长等于，那么另一个三角形的三边长分别是多少？ 类型二、利用相似的性质求线段的比 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2023·安徽亳州·二模）如图，的面积为10，，，，点在上，则的值是(   )    A． B． C． D． 7．（21-22九年级·浙江·自主招生）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中，则的值等于（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 类型三、利用分类讨论思想结合相似三角形的性质求线段长 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知，，， 若与相似， 则 ． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，与相似，则的值为 ． 11．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为 ．    12．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 类型四、利用相似的性质求周长和面积 13．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）小明同学拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了，则放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 14．（2024·四川广元·一模）如图，在中，，根据步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，交于点，交于点．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 15．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，为的中位线，的面积是3，则四边形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．10 16．（2022·山东菏泽·一模）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ． 类型五、利用相似的性质求周长和面积的比 17．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·安徽淮北·期末）如图，是的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则等于（    ）    A． B． C． D． 19．（2023·安徽滁州·一模）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接， ；    20．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 类型六、利用相似求坐标 利用相似三角形的性质求解坐标，核心是通过相似三角形的对应边成比例、对应角相等，建立坐标之间的数量关系，再结合平面直角坐标系的坐标规律（如横纵坐标的差值、坐标平移、中点公式等）列方程求解。 21．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    22．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 23．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 24．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 类型七、运用相似三角形解决折叠问题 25．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，，线段与线段相交于点．当时，的长为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．若，，的长是（    ） A． B． C．2 D． 27．（2024·安徽池州·三模）如图，为等边三角形，且，现将折叠，使顶点落在边上的点处（点与不重合），折痕为，当与面积的比是时，的长为（    ） A． B． C． D． 28．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平分交于点，点是一动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点． （1）的长度是 ； （2）若，则的长度是 ． 类型八、在网格中画与已知三角形相似的三角形 29．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 30．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 31．（20-21九年级上·安徽合肥·期中）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点E． （1）请在网格图中画两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形； （2）线段AE的长为 ． 类型九、利用相似三角形的性质与判定求解 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 32．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 33．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 34．（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 35．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求的长． 类型十、证明三角形的对应线段成比例 36．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 37．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 38．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形即为“准等腰梯形”．其中． (1)在图1所示的“准等腰梯形”中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形分割成一个有两边相等的梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）． (2)如图2，在“准等腰梯形”中，，为边上一点，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，取中点，连接，交于点，连接，若，求的值． 类型十一、利用相似三角形解决动点问题 39．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（　　） A．或 B． C． D．或 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为边延长线上一点，连接，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)求x为何值时，最大？ (3)直接写出x为何值时，为等腰三角形？ 42．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）在矩形中，，P是边上一点，把沿直线折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在上，交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，求证：； (2)如图2，当，且时，求的值； (3)如图3，当时，求的值． 43．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 44．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 45．（20-21九年级上·安徽滁州·期末）如图1，中，，，为的中线BD上的一点，将线段AE以E点为中心逆时针旋转90°得到线段EF，恰EF经过点C． （1）若，则__________（用的代数式表示）． （2）过点C作交AF于点H，连接BH交EF于点G． ①求证：； ②若，求EG的长． 46．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出的值为______； (2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标； (3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______． 47．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题： (1)当平分，为的中点时． ①如图1，求的长度； ②如图2，求的长． (2)如图3，为的中点，连接，当周长最小时，求的值． 48．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若记，，且，求的值． 49．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点D在线段上，，过点D作的垂线，垂足为E，点P是线段上的动点，连接，以为邻边作． (1)______； (2)求证：； (3)当面积最大时，求此时的面积： (4)当点Q落在的边上时，直接写出线段的长． 50．（24-25八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的两条不平行的直线，定义：若两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线互为“等角线”；若两条直线与轴相交所成的锐角互余，则称这两条直线互为“余角线”． (1)判断下列两条直线的关系，填入选项： A．互为“等角线”；B．互为“余角线”；C．前述二者皆不是． ①，：_____； ②，：_____； ③，：_____． (2)已知，．若直线和直线互为“等角线”，则直线的解析式为_____． (3)已知，．若直线和直线互为“余角线”，且，则点的坐标为_____． (4)如图，直线与双曲线交于点A，C，点是双曲线上位于第一象限的动点（点在点的左侧），点是双曲线位于第三象限一点，满足直线和直线互为“余角线”． ①求证：直线与直线互为“等角线”； ②若四边形为平行四边形，则点的坐标为_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$