山东省烟台市牟平第一中学2025-2026学年高二上学期9月限时训练数学试题

24级高二数学限时练习答案(2025.9.13) 1.C.2.C.3.A.4.D.5.D.6.B.7.A.8.【解答】解：平面a的方程为x-y+z-7 =0,∴.平面a的一个法向量m=(1,-1,1),同理，可得平面x+2y-3=0的一个法向量n= (1,2,0),平面x+z+1=0的一个法向量p=(1,0,1),设平面x+2y-3=0与平面x+z升1=0 的交线的方向向量为日=x,y,,则日京-x十2y=0,取=1，则可=(-2,1,2，设 (q·p=x+z=0 直线1与平面a所成角为0，则sin0=|cos(m,g》=mg= .故选：A. Im川q 9.ABD.10.ACD.11.【解答】解：对于A,若CM⊥AD1,又CD⊥平面ADD41,AD1C平 面ADDA1,所以CD⊥AD1,又CD∩CM=C,所以AD1⊥平面CDM,所以AD1⊥DM,又ABCD 是正方形，所以A1DLAD1,A选项正确；对于C,如图，旋转平面ADDA1,使之与平面BB1D1D 共面，连接A'B1交DD1于M,此时MA+MB1最短为A'B1=J1+V2)2+12=V4+2V2,所 以C选项错误；对于B,建系如图： 当M为4D的中点时，则M(2,0,),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1, 0), 设三棱锥M-ABD的外接球的球心为O（x,y,z),则IDO=MO=BO=AO,所以 (x2+y2+z2=(1-x)2+y2+z2 x2+y2+z2=(1-x)2+(1-y)2+z2,解得{ 1,所以三棱锥M-ABD的外接球半径R= (x2+y2+z2=(3-)2+y2+(2-z)2 y2 z=0 ③)2+(》+02-号，所以三棱锥M-4BD的外接球表面积为4mR:=2m,所以B选项正确： 设线段AD1上存在点M,设D1M=tD1A=t(1,0,-1)=(t,0,-t),则可得M(t,0,1 -t),t[0,1],又C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),则DC=(0,1,0),MB1=(1-t,1,t), 第1页 设异面直线MB1与CD所成角为0，若正切值为tam0-圣则cos0-票即c0s0- DC.MB1= DCIMBl 解得1=4巨，故线段AD1上存在点M,使异面直线MB1与CD所成角的 t2+1+(1-t)2 5 8 3 正切值为， 所以D选项正确.故选：ABD.12.-3.13. 14.【解答】解：在矩形ABCD中，作DE⊥AC于O交AB于E,作BF⊥AC于F, 因为AB=20，,BC=15,所以AC=V202+15=25,所以D0=BF=AB:BC= AC 20x15=12,A0=CF=VAD2-D02=V152-12=9,所以0F=25-9x2=7,在翻折后， 25 建立空间直角坐标系， 则∠DOE为二面角B-AC-D的平面角，设∠DOE=a(0<a<π)，则D(12cosa,0,12sia), B(12,7,0),所以|BD|=V(12cosa-12)2+49+144sin2a=V337-288c0s=V481,得 cosa=-子因为0<a<,所以a=受因此二面角B-AC-D的平面角为 2π 15.(1)∴x+z=1+号+2=2.(2)后16.【解答】解：（1)证明：由题知，CC11平面ABC 5 AC⊥BC,所以CA、CB、CC1两两垂直，故以C为原点因为CC1=3,AC=BC=2,AD=1,则 C(0,0,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),M(1,1,3),D(2,0,1),A (2,0,0),所以C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),故C1M·B1D=1×2+1×(-2)+ 0×(-2)=0,所以CM⊥B1D:(2)由(1)分析知，D(2,0,1),B1(0,2,3),B(0,2, 0),又CE=2,即E(0,0,2),所以EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1),设平面B1ED的 法的量为=，期日1职则日应0=8令=山版=. (n1ED’(n.ED=0 共2页) 1,2),由题知，CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，设二面角B-B1E-D的平面角为 0,则cos6= A2=2XG1.【解答】解：)以A为原点，建立如图所示的空间直 ICA元 角坐标系，则A(0,0,0,C(2,2,2),D1(0,2,2,P1,2,2),D(0,2,0,由80=28B1, 知2(2,0,1)，所以AP=(1,2,2),A0=(2,0,1),所以c0s<AP,A0>=4PAg=2+2=45 JAPLIACI 3×V5-15, 所以AP与A0所成角的余弦值为45 15 （2)因为BQ=1BB1,所以Q点坐标为(2,0,2λ)，所 以AD=(0,2,0),AQ=(2,0,2),AP=(1,2,2),设平面AP0的法向量为n=(x,y,Z), 则n·AP=0即+2y2.0,令2=-2，则x=2,=2-,所以n=(2风，2-元，-2 .AQ=0 sin45°=cos<AD,元>=1AD-=I22-2 =2 整理得312+4λ=0，因为入≠0，所 1ADH2×422+(2-)2+4 以3认+4=0，解得2=-专 18.【解答】解：(1)证明：取AC中点O,连结A1C,A1O,BO,由题意，在△AA1C中，AA= AC=2,∠A1AC=60°，所以△AA1C为等边三角形，所以A1OLAC,因为底面ABC是以AC为 斜边的等腰直角三角形，所以BO⊥AC,所以∠A1OB为二面角A1-AC-B的平面角，在△A1OB 中，A10=V3,BO=1,A1B=2,所以A102+0B2=A1B2,可得A1O⊥OB,所以∠A1OB=90°， 所以平面AA1C1C⊥平面ABC.(2) 2 则O(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0,V3),A(0,-1,0),C(0,1,0), 所以AB=(1,1,0),AA,=(0,1,V同，由于B为棱AB1中点，故AE=2A41B, 第2页 ( 所以0E=0A1+AE=0A1+2A1B1=0A1+2AB=(,,V③)，CE=(2,-3,V③， 设平面M1B1B的法向量为元=K,y,2,则21B,所以员AB=x+y=0 (n 1 AA ,令2=1， (n·AA1=y+V3z=0 n=(3,-3,1),设直线CE与平面AA1B1B所成角为日，则sin6=|cos<,CE>= 位.ca-N3x3ax2同-29所以cos9=V1-sm而-号 nllCEl V7×4++3 19.【解答】解：(1)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=,AB=2AD=2CD=4,P为 AB的中点，可得△ADP为等边三角形，四边形DPBC为菱形，故BC∥OP,而OPC平面POD', BCt平面POD,所以BC∥平面POD,(2)由(1)得BC=2,∠ABC=,AB=4, 故AC⊥BC,AC⊥DP,而平面DAC⊥平面BAC,平面DAC∩平面BAC=AC,D'Oc平面DAC, D'O⊥AC,所以DO⊥平面BAC,所以OA,OP,OD'两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则D(0,0,1),C(-V3,0,0),B(-V3,2,0),DC=(-V3,0,-1),CB=(0,2,0), 股平面cD的一个法向量为n=化，y,2则元DC0,则20，取x=1得 元.CB=0 (1,0,-V5,平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),故c0s0=m=3 1m1可，二面角A -D的大小为3)设=t,0<t<,则PQ=PD5P0,10,PD'=0,1 的Q(0,1-t,t),CQ=(3,1-t,t),设平面BCD'的一个法向量为n=(1,0,-V3), V3-V3t 58V6 CQ与平面BCD'所成角的正弦值为 化简得32-7t什2 V3+(1-t)2+t2×V1+3 64 8 -0,解得：-专=2合去，位存在器-子使得c9与平面B00所成角的余弦值 V58 8 共2页)24级高二数学限时练习(2025.9.13) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1。下列关于空间向量的说法中错误的是() A。平行于同一个平面的向量叫做共面向量B。直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同 一平面内的向量 2。已知直线1的方向向量与平面的法向量分别为a=(1,0,-1),u=(2,-3,2),则() A。1∥@B。1⊥C。1∥8或1CD。1,相交但不垂直 3.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a,AD=b,AA1=C,点P在AC1上，且AP= 号AC,则AP=（) a+五+子a++c.a+6+D.a-- A。 3 4.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3)则2a+bl=() A。V万 B.3 C。V10 D.3V2 5。在空间直角坐标系中，向量a=(2,-1,m),b=(-4,2,4),下列结论正确的是（) A。若aIb,则m=2 B。若a叫=6，则m=5 C.若(a,)为钝角，则m< 专D.若a在6上的按影向量为名，则加=4 6。如图，在正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，AB=1,AA1=2,则直线DB1与平面ACD1所成角的 正弦值为() 第1页 A. B.哈 3 c. D.22 3 7。如图所示，已知在一个60°的二面角的棱上，有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的 两个面内垂直于AB的线段，且AB=4cm,AC=6cL,BD=8cm,则CD的长为() A.2V17 B.2V41 C.2 D.10 8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0(xo,yo, x0),点P(x,y,x)。(1)若直线1经过点Po,且以为方向向量，P是直线1上的任意一点， 求证：《0=y0=乙-0：(2)若平面经过点A,且以为法向量，P是平面内的在意一 点，求证：(x-)+b(y-yo)+c(z-0)=0。利用教材给出的材料，解决下面的问题： 已知平面的方程为x-y叶z-7=0,直线1是平面x+2y-3=0与x++1=0的交线，则直线1与 平面所成角的正弦值为(） 4.3 B.⑦ 5 c D.vi 55 二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.四个选项至少有2项是符合要求，选 不全得2分，选错得0分) 9。关于空间向量，以下说法正确的是() A。若a,b,c构成空间的一个基底，则a+b,a+b+c,c必共面 B.若空间中任意一点0，有OP=专0A+名0B+0C,则P,A,B,C四点共面 C.若空间向量a、b满足a·b<0,则a与b夹角为钝角 D。点M(3,2,1)关于平面xOz对称的点的坐标是(3，-2,1) 10。在三棱锥P-ABC中，P(1,1,0),A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0),则() A。IPB=V3 B.向量CA与cB夹角的余弦值为号 共2页) C.向量元=(1,1，-2)是平面ABC的一个法向量D.PB与平面ABC所成角的正弦值为3 11.如图，点M是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点（包含边界）， 则下列结论正确的是() A。当CM⊥AD1时，点M一定在线段AD上 B。当M为A1D的中点时，三棱锥M-ABD的外接球的表面积为2 C。当点M在棱DD1上运动时，MA+MB1的最小值为V3+1 D.线段4D上存在点M,使异面直线MB1与CD所成角的正切值为 三。填空题（共3小题） 12。已知点A(0,1,1),B(3,-1,2),C(-1,4,-1),D(3,6,x),若A,B,C,D 四点共面，则x= 13.已知直线1的方向向量为a=(-1,1,2),平面的法向量为元=(2,1，-1).若1/a 则实数的值为 14。已知矩形ABCD,AB=20,BC=15,沿对角线AC将△ABC折起，使得BD=V481,则二面 角B-AC-D的余弦值是 四.解答题（共5小题） 15.（12分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=AD=AA'=1,∠DAB=90°，∠A'AB =∠A'AD=60°，点O为BC的中点，A0=xAB+yAD+ZAA,（1)求x+y+z的值：（2)求 AO与DC所成的角的余弦值. B B B 第2页 ( 16。(15分)如上图，在三棱柱ABC-AB1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1 =3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点。 (1)求证：C1M⊥BD:(2)求二面角B-BE-D的余弦值： 17.(15分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱CD1的中点，Q为棱BB1 所在直线上一点，且BQ=1BB1(0).(1)若入=子求直线4P与A0所成角的余弦值： (2)若直线AD与平面APQ所成角为45°，求实数的值。 DA B 18。(15分)如上图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形， 侧面ACCA1为菱形，∠A1AC=60°，A1B=AA=2。（1)证明：平面ACC1A1L平面ABC:（2) 若E为棱A1B1中点，求直线CE与平面ABB1A1所成角的余弦值， 19.(15分)在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=子，AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点，线 段AC与DP交于O点（如图1）将△ACD沿AC折起到△ACD'位置，使得平面D'AC⊥平面 BAC(如图2)。（1)求证：BC∥平面POD':（2)求二面角A-BC-D'的大小g 3)线段PD上是否存在点L,使得CQ与平面BcD'所成角的余弦值为，若存在，求出 8 PD 的值；若不存在，请说明理由。 D D 0- P 图1 图2 20卷面分(5分) 共2页)山东省牟平第一中学 智仁勇勤持悟 24级高二数学限时练习(2025.9.13) ■ 姓名： 班级： 考号： 口▣ 考号 [0] [0] [o] [o] [0] [0] [0] [o] ▣ [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 正确填涂 [4 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] ▣ [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 选择题(1~8为单选题；9~11为多选题) 1 B□D□ 5 9 A口B□cD□ 6 A口B□CD 10 3 A▣BCD 7 A口B□CD 11 A口B□D□ 4 A口□C四D 8 A口B□D 解答题 543210 12.(5分) 543210 ■ 13.(5分) 543210 ◆ 14.(5分) I 囚囚■ 第1页共6页 山东省牟平第一中学 智仁勇勤持悟 1211109876543210 15.(12分) D ⊙ 10 D C ▣囚■ 第2页共6页 山东省牟平第一中学 智仁勇勤持悟 ■ 109876543210 16.(15分) C B D 第3页共6页 山东省牟平第一中学 智仁勇勤持悟 109876543210 17.(15分) A D B 0 B 囚■囚 第4页共6页 山东省牟平第一中学 智仁勇勤持悟 ■■ 109876543210 18.(15分) B E 囚■囚 第5页共6页 山东省牟平第一中学 智仁勇勤持悟 109876543210 19.(15分) D' C R 图1 图2 解答题 543210 20.(5分) 第6页共6页