江苏省连云港市灌云县杨集高级中学2026-2027学年高三上学期第一次学情诊断数学试题

高三年级第一次学情诊断 数学试题 考试时间：9：50—11：50 试卷总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，且，则（ ） A． B． C． D．2 5．已知，若，则（ ） A． B． C． D． 6．已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球．从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若曲线上存在点，使得点关于轴的对称点在曲线上，则的最大值为（ ） A． B． C． D．1 二、多选题：本题共3小题，共18分 9．已知的展开式的第2项与第3项系数的和为，则（ ） A． B．展开式的常数项为 C．展开式的各二项式系数的和为32 D．展开式的各项系数的和为 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 11．在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ） A．与所成角的最大值为 B．若，则点的轨迹长度为 C．若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为 D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列的前项和为，且，，则的值为_______． 13．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为_______． 14．已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器．在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物．现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． （1）求选出的3件文物都是汉代文物的概率； （2）设随机变量为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求的分布列和数学期望． 16．（本小题15分）已知，， （1）求的值； （2）求的值． 17．（本小题15分）四棱锥中的底面是菱形，，，且的中点为，平面平面，，点在棱上，且满足． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18．（本小题17分）已知椭圆：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程： （2）若直线：与椭圆相交于，两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 19．（本小题17分）已知函数． （I）当时，求曲线在处的切线方程； （II）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （III）若有两个极值点，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $