山东省菏泽市单县第一中学2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级开学测试 数学试卷 一、单选题 1．已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 3．已知函数​，则​（    ） A．​ B．1 C．​ D．5 4．已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 7．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 8. 已知，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．在两个变量与的列联表中，当越大，两个变量有关联的可能性越大 B．若所有样本点都在经验回归方程上，则变量间的相关系数是 C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．独立性检验一定能给出明确的结论 10．袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数量为，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为单位：的正方体容器容器壁厚度忽略不计内的有(    ) A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 三、填空题 12．已知关于的展开式中的常数项为，则 13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为 . 14．已知a，b满足|a|＝，|b|＝1，且对任意的实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a，b的夹角为θ，则tan 2θ＝________. 四、解答题 15．已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 16．已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项. (1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率； (2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求的分布列. 17．如图,在四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 18．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19．已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 开学考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A D A D AC BCD 题号 11 答案 ABD 12．1 13． 14．　2. 15．（1）由题意，所以； （2）由（1）可知，所以 ， 所以函数的值域为，令，解得，令，解得，所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16．（1）记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”， 则，，， 由全概率公式：， 所求概率为. （2）设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的. 可能取值为0，2，5， ， ， . 随机变量的分布列为 0 2 5 17．（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，，平面，平面， ∴，，∵平面，平面，， ∴平面，∵平面，∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，，建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上，则， 在平面中，∴， ∴线段中点坐标，直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：，∴直线的方程：，即， 当时，，解得：，∴ 在立体几何中，，∵ 解得：，∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 18．1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知，所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 设，则， ，当且仅当时取等号,故. 19．（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上存在唯一极值点，对函数有在上恒成立，所以在上单调递减， 所以在上恒成立，又因为，时，所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ，则 ，， ，即在上单调递减. （ii），证明如下：由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又，由（1）可知在上单调递减，，且对任意，所以. 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $开学考数学参考答案 题号 2 6 6 7 6 9 10 答案 D C 8 D A D D B AC BCD 题号 11 答案 ABD 12.1 13.2V2. 14.5 15.1)由思意f@)=co0-方0≤<网，所以-骨 （a由可如-c2+写引，所以g刻-)-x-君eos2+到-o2 sin 2x+cos 2.= s2xm3=s+。 所以函数g(x)的值域为[-VB,V3,令2m≤2x+匹≤π+2：k∈Z,解得 6 受ktsxs ikrke Z,令π+2血≤2x+s2+2血keZ,解得 6 5红+Sx≤匹+m,keZ,所以函数g()的单调递减区间为12 1 12 π+km,keZ, +k机1 函数g(x)的单调递增区间为 π+m匹+m,kezZ 12 12 16.（1)记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”， 则K4-1,P4同=子R== 由全概率公式：P=PB)P(AB)+P(画P4E)=×I+x- 2481 1 所求概率为P(B0=PCB_PBP(4B)2X1 4 P(A) P(A) 5 5 (2)设事件A表示小明选择了i个选项，i=1,2,3,C表示选到的选项都是正确的. X可能取值为0,2,5， x)Fc P(x=)=P(4C)=P(4)P(CA)=3×cC18' 1.11 25 P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5) 36 随机变量X的分布列为 答案第5页，共8页 0 2 5 P 落 1-4 1 18 17.(1)由题意证明如下， 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, ∴.AP⊥AB,AP⊥AD,,APC平面PAD,ADC平面PAD,APOAD=A, ∴AB⊥平面PAD,,ABC平面PAB,.平面PAB⊥平面PAD ZA (2)(i)由题意及(1)证明如下， 在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB,AP⊥AD,AB⊥AD,BC∥AD, A-- PA=AB=√2，AD=1+√3，建立空间直角坐标系如下图所示， A(0,0,0),B(√2,0,0，CV2,2,0,D0,+3,0,A0,0w), 若P,B,C,D在同一个球面上，则OP=OB=OC=OD, 在平面4y中，∴A(0,0),B(V2,0),C(V2,2,D(0,1+V3), ∴线段CD中点坐标 23+3 2’2 直线CD的斜率：=1+5-2_-1 0-√2√2 直线CD的垂直平分线EF斜率：k2= √2√6+√ V3-12 ,、直线EF的方程： 2 2 2 2 2 loP=02+12+(0-2 O8l=V0-2+1+0 在立体几何中，O(0,1,0), 10C=V0-V2)+1-2)2+02 10Dl=V0+1-1-3)+02 解得：OP=OB=OC=pD=V3,∴点O在平面ABCD上 答案第6页，共8页 (ii)由题意，(1)(2)(i)及图得， ZA Ac=(2,2,0),Po=(0,1-V2), A B X C 设直线AC与直线PO所成角为0， AC.PO .cos= 0+2×1+0 2 AC PO 2j°+2+0×0+1+( 3 18.(1)解：因为fx)=x2+br+2alnx, 所以当0，b=-a-2时，f6)=x-a-2+2a_-（a+2）x+2a=-a）-2》e0: 令f(x)=0,解得x=a或2. 若心2，则当0<x<2或x>a时，f(x)>0:当2<x<a时，f(x)0.所以函数fx)在(0,2)上单调递 增，在(2，上单调递减，在(a,十o)上单调递增. 若a=2,f)=-2）≥0，故函数)在0，十四上单调递增 若0<2，当0<x<a或x>2时，(x)>0,当a<2时，f(x)大0，即函数w)在(0，a四上单调递 增，在(a,2)上单调递减，在(2，十o)上单调递增. 综上所述，当a=2时，x)在(0，十o)上单调递增： 当0<K2时，x)在(0，，(2十o)上单调递增，在(a,2)上单调递减： 当心2时，x)在(0,2)，(a,十o)上单调递增，在(2，a上单调递减. 2证明：当b=-2时，)=x-2+2a_-2x+24>0. 因为函数fx)有两个极值，点x1,2,所以方程x2-2x十2a=0有两个正根x1,x2, 以+=32且4=4-a0,即0a号 所 x1·x2=2a, 由题志得)te)-分-2+2a血n+号-2+2an =i+肉-24++2aln(6· -+2=-24+对+2h6a0 =2ln2a-2a-2. 答案第7页，共8页 令i0=2an2a-2a-20a】 则a=h2n.所以=响在.引上单调运成 所以周-3. 所以fx)+2)>-3. [√+b=10 19.1)由题可知，A(0,-b),B(a,0),所以{e= c_2W2 a 3 ,解得a2=9,b=lc2=8, c2=a-b2 故椭圆C的标准方程为)+y2=1: (2)O设R(6),易知m≠0，所以kAp=,故，且>0 因为A(0,-1),ARAP=3,所以V+(+1)2×Vm2+(+1)2=3, 〔门 m=3,解得。= 2+0+12,所以6=”+2m2- 37m 2+(n+1)2 31m n+2-m2-n2 所以点R的坐标为 m2+(+1)2m2+(n+1)2 n+2-m2-n2 (因为k= m2++12= 3 +2-m-,ka=2由k=3k,可得 3m m2+(n+1)月 3_+2-m-D,化简得m2+r+8-2=0,即m2+(n+4=18(m≠0)， 31 所以点P在以N(0,-4)为圆心，3√2为半径的圆上（除去两个点）， Pax为O到圆心N的距离加上半径， 设O(eg)小，则号+店-1，loNf=++-9-+8+8+16=-8+8+25 :86+27≤27，当且仅当6时取等号，故P0a=27+35=35+W同 答案第8页，共8页