精品解析：天津市东丽区百华实验中学2025-2026学年高三上学期开学诊断检测数学试题

天津市百华实验中学高三年级开学诊断检测 数学试题 一、选择题（共9小题，每小题5分，共计45分.每小题有且仅有一项符合题目要求） 1 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 0 C. D. -1 6. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 7. 甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 150 D. 240 8. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③设，则 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分） 10. 在的展开式中，常数项为______（用数字作答）. 11. 百华实验中学高三年级有学生400人，在某次开学数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布.已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人. 12. 函数在处的切线与直线垂直，则实数_____. 13. 某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则______. 14. 已知函数，则不等式的解集_________. 15. 函数，函数，若方程恰有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_______ 三、解答题（本题共5小题，共75分.解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）讨论方程在上实数根的个数.（其中） 17. 司马光曾给自己的儿子写过《训俭示康》，谆谆告诫要崇尚节俭；毛泽东、周恩来等人，身居高位，却一生过着俭朴生活艰难创业.脍炙人口的《悯农》，“锄禾日当午，汗滴禾下土，谁知盘中餐，粒粒皆辛苦.”这一字字、一声声包含了几千年来百姓的血汗和心声.为了传扬勤俭节约的美德，学校将举办一场以《勤俭节约，从我做起》的演讲、朗诵比赛.所有参赛选手中有10名同学接受过主持人专业训练，其中男生4人，女生6人，现从这10人中选出4人作为本次比赛的主持人. （1）求主持人中至少有1名男生的概率； （2）主持人中含有女生的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. 18. 某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间的是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示： 购买A款 购买B款 总计 女 25 男 40 总计 100 已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人. （1）将上面的2×2列联表补充完整； （2）是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由； （3）用样本估计总体，从所有购买两款手机人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，. 19. 已知，. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； （3）若，，使得，求实数的取值范围. 20. 函数，. （1）若不等式，对于恒成立，求实数的取值范围； （2）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （3）若，对，，均有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市百华实验中学高三年级开学诊断检测 数学试题 一、选择题（共9小题，每小题5分，共计45分.每小题有且仅有一项符合题目要求） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集和补集运算可得结果. 【详解】由题意，，则. 故选：B. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助对数函数与指数函数单调性计算即可得． 【详解】，，则， ，故. 故选：A. 3. “”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出、的充要条件即可判断. 【详解】的充要条件为； 结合对数函数的性质可知，的充要条件为； 故“”是“”成立的充分必要条件. 故选：C 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断. 【详解】由，可得定义域为， 又， 函数为偶函数，故排除D， 又，结合图像可排查BC， 故选：A 5. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 0 C. D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用导数公式求，再代入导数公式求的值. 【详解】，所以，得， 则，所以. 故选：D 6. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 【答案】D 【解析】 【分析】对A、D：借助线性回归方程必过样本中心点计算即可得；对B：将代入方程计算即可得；对C：借助回归方程的斜率即可得. 详解】对于A，由表可得，， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以，解得，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，因为经验回归方程中，斜率，所以变量和呈负相关，故C正确； 对于D，该经验回归直线必过点为样本中心点，故D错误. 故选：D. 7. 甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 150 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】先选名学生分配给甲，再将剩余人分成两组分配给乙、丙，由分步乘法计数原理可得. 【详解】第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法， 第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种. 故选：B. 8. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③设，则 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断①，根据幂函数的定义及偶函数性质判断②，根据赋值法计算判断③，根据一次函数的性质、指数、对数函数单调性和分界点的大小关系列不等式组，解出即可判断④. 【详解】对于①，根据存在量词命题的否定为全称量词命题得， 命题“，”的否定是“，，错误； 对于②，由幂函数的定义知，，解得或， 又对于，都有，所以为偶函数， 当时，，为偶函数，符合题意； 当时，，为奇函数，不符合题意，故，正确； 对于③，，令，得； 令，得； 所以，错误； 对于④，因为时，由指数函数和对数函数单调性可知单调递增， 所以在上单调递增， 则需满足，即，解得， 则的取值范围是，正确， 综上，正确的个数为2个. 故选：B 9. 函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象以及对称轴来求得正确答案. 【详解】当时，， 因为是奇函数，所以的图象关于对称，且， 由此画出的图象如下图所示，直线过点， 因为， 所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 由图象以及对称性可知，要使，则需， 故选：D 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分） 10. 在的展开式中，常数项为______（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，解出代入通项即可求解. 【详解】由题意有：，令，可得， 所以常数项为， 故答案为：. 11. 百华实验中学高三年级有学生400人，在某次开学数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布.已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人. 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以即可求解. 详解】由于数学成绩X近似服从正态分布，且，所以， 因此, 则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人， 故答案为： 12. 函数在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用导数求出函数在处的切线的斜率，并求出直线的斜率，再根据两直线垂直得其斜率乘积为-1，列得关于a的方程，即可求出答案. 【详解】因为函数，所以, 所以,即函数在处的切线的斜率为. 直线，即, 所以直线的斜率为. 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以,解得：. 故答案为： 13. 某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用插空法求出事件的排法，再使用捆绑法和插空法求出事件的排法，利用条件概率公式计算得到. 【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有种排法，将高一年级2人进行插空，有种排法， 所以事件 “高一年级2人不相邻”的排法有种排法. 将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法， 排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有种排法. 所以，. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集_________. 【答案】 【解析】 【分析】探讨函数的性质，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 15. 函数，函数，若方程恰有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】对于方程，分、和三种情况讨论，构建，可知与有且仅有2个交点，利用导数以及对勾函数单调性作出的图象，结合图象分析求解即可. 【详解】对于方程， 当时，则，可知0为方程的一个根； 当时，则，整理得； 当时，则，整理得； 构建，由题意可知：与有且仅有2个交点， 若，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 且当x趋近于0时，趋近于；当x趋近于时，趋近于0； 若，可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 且当x趋近于或0时，趋近于； 据此可作出函数的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，结合图象可知：， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，共75分.解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）讨论方程在上实数根的个数.（其中） 【答案】（1）减区间是，增区间是； （2）极小值，无极大值； （3）详见解析； 【解析】 【分析】（1）求导，令，由和求解； （2）利用极值的定义求解； （3）由（1）作出函数的大致图象，利用数形结合求解. 【小问1详解】 ， 令，得， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以的减区间是，的增区间是； 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值，无极大值； 【小问3详解】 易知，，， 由（1）作出函数的大致图像，如图所示： 由图象知：当或时，方程无实根； 当时，方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根； 17. 司马光曾给自己的儿子写过《训俭示康》，谆谆告诫要崇尚节俭；毛泽东、周恩来等人，身居高位，却一生过着俭朴生活艰难创业.脍炙人口的《悯农》，“锄禾日当午，汗滴禾下土，谁知盘中餐，粒粒皆辛苦.”这一字字、一声声包含了几千年来百姓的血汗和心声.为了传扬勤俭节约的美德，学校将举办一场以《勤俭节约，从我做起》的演讲、朗诵比赛.所有参赛选手中有10名同学接受过主持人专业训练，其中男生4人，女生6人，现从这10人中选出4人作为本次比赛的主持人. （1）求主持人中至少有1名男生的概率； （2）主持人中含有女生的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）记事件A：主持人中至少有1名男生，结合组合数以及对立事件概率求法运算求解； （2）分析可知随机变量X的可能取值为4，3，2，1，0，结合超几何分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 记事件A：主持人中至少有1名男生，则事件：主持人中都是女生， 可得，， 所以主持人中至少有1名男生的概率为. 【小问2详解】 由题意可知：随机变量X的可能取值为4，3，2，1，0， 则，，， ，， 可得随机变量X的分布列为 X 4 3 2 1 0 P 所以随机变量X的数学期望. 18. 某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间的是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示： 购买A款 购买B款 总计 女 25 男 40 总计 100 已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人. （1）将上面的2×2列联表补充完整； （2）是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由； （3）用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 参考公式：，. 【答案】（1）列联表见解析； （2）有，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题目条件可将列联表补充完整； （2）利用公式算得，后比较其与6.635大小可得结果； （3）由题目条件可得每次选出购买A款手机的人的概率均为，设X为4人中选出购买A款手机的人数，则，得. 【小问1详解】 由题可得列联表如下： 购买A款 购买B款 总计 女 25 20 45 男 15 40 55 总计 40 60 100 【小问2详解】由题有： 因为8.249＞6.635，所以有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关； 【小问3详解】 从所有购买两款手机的人中，选出4人可以看成做了4次独立重复试验，每次选出购买A款手机的人的概率均为， 设X为4人中选出购买A款手机的人数，， 所以 ， . . 19. 已知，. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； （3）若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域为R，代入化简得到，即可求出的取值范围，再结合指数函数的性质即可得解； （2）先由题设得方程有实数解，接着令得方程有实数解，再结合函数单调性性质求出即可计算求解. （3）先由题意得，接着求出，再分、和求出即可计算得解. 【小问1详解】 由可知函数的定义域为R， 因， 结合对数函数的单调性可得，，即， 解得，得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由题可得， 因存在实数，使得成立， 即存在实数，使得成立， 所以方程有实数解， 令，当且仅当即时等号成立， 所以方程有实数解， 因为和为上的增函数，所以为上的增函数， 所以，所以，得， 所以实数m的取值范围为； 【小问3详解】 由题意，使得，所以， 由（1）知， 因为，所以，，所以， 因， ①当时，在区间上单调递增，所以， 则，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，即， 所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 则，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为. 20. 函数，. （1）若不等式，对于恒成立，求实数的取值范围； （2）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （3）若，对，，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的取值进行讨论，然后结合函数性质，进行解不等式即可； （2）设切点为，对函数进行求导后，根据导数几何意义即可求得切点坐标，再带回切线方程，即可求解； （3）根据题意，构造函数，通过求导可判断的单调性，进而可化简不等式为，移项后，再构造函数，根据的单调性，进行求参数即可. 【小问1详解】 因为函数，不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，原不等式为，对于不能恒成立， 当时，原不等式为，对于恒成立， 则有，解不等式组得， 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 已知函数，定义域为， 可得， 因为直线是曲线的一条切线，所以切线的斜率， 设切点为，根据导数的几何意义，可得， 解方程得或， 又因为函数定义域为，所以， 代入函数式得，所以切点坐标为， 因为切点在切线上，所以，解得. 所以，实数的值为. 【小问3详解】 若，则，所以， 设函数，则， 易知，当时，恒成立， 所以在上单调递增， 设，，则， 即， 所以恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，即，，恒成立， 所以在上单调递减，所以在内恒成立， 又，则， 又，所以恒成立， 令，则，， 设函数，则， 易知当时，恒成立，所以函数在内单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $