第02讲 一定是直角三角形吗（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第02讲 一定是直角三角形吗 知识点1：勾股数 知识点2：勾股定理的逆定理 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型1勾股树(数)问题】 【典例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列各组数中，属于勾股数的是（   ） A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，， 【变式3】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 【典例2】（23-24八年级下·吉林松原·期中）以下列各组数为边，能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．7，14，25 D．8，15，15 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，8 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）以下列各组数值作为线段长，能构成直角三角形的是（   ） A． B．5，12，13 C．6，8，12 D．4，5，6 【题型3在网格中判断直角三角形】 【典例3】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)填空：________，________，________； (2)是直角吗？请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． (1)在图2中以格点为顶点画一个，使得，； (2)猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 【变式3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，点D为内一点，且，，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．    1．（23-24八年级上·广东茂名·期末）若一个三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 7．（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形．所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则 ． 8．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 9．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，已知，D是边上的一点，，，. (1)求证：是直角三角形； (2)求的面积. 10．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一定是直角三角形吗 知识点1：勾股数 知识点2：勾股定理的逆定理 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型1勾股树(数)问题】 【典例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵不是正整数， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵，且是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股数的定义，根据勾股数的定义，满足三个正整数且两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即可． 【详解】解：A． 0.3，0.4，0.5：非正整数，不符合勾股数条件，排除． B． 6，8，10：均为正整数，验证得，满足勾股数定义． C． ，，1：含分数，非正整数，排除． D． ，，（即9，16，25）：验证得，不满足条件． 综上，正确答案为B． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列各组数中，属于勾股数的是（   ） A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理且均为正整数的三个数，需逐一验证各选项是否同时满足这两个条件． 【详解】A、，不满足勾股定理，故本选项不符合题意； B、，满足勾股定理且均为正整数，故本选项符合题意； C、，1，含小数，非正整数，故本选项不符合题意； D、，，，含分数，非正整数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； B、1.5和2.5不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 【典例2】（23-24八年级下·吉林松原·期中）以下列各组数为边，能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．7，14，25 D．8，15，15 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对选项中的各个数进行计算判断，即可解题． 【详解】解：A、， 3，4，5能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、， 2，6，7不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、， 1，3，4不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、， 3，6，8不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 由勾股定理的逆定理，逐项验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解答． 【详解】解：A．，故无法构成三角形，不符合题意； B．，故无法构成直角三角形，不符合题意； C．，故无法构成直角三角形，不符合题意； D．，故可以构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）以下列各组数值作为线段长，能构成直角三角形的是（   ） A． B．5，12，13 C．6，8，12 D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．分别计算每一组中较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就能构成直角三角形，否则就不能构成直角三角形． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意； B、因为，所以能构成直角三角形，此选项符合题意； C、因为，所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，此本选项不符合题意． 故选：B． 【题型3在网格中判断直角三角形】 【典例3】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)填空：________，________，________； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长为1， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． (1)在图2中以格点为顶点画一个，使得，； (2)猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形．(答案不唯一) （2）为等腰直角三角形 理由如下： 即为直角三角形． 又 ∴为等腰直角三角形． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 【答案】是直角三角形，见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理等知识，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明，是直角三角形，其中，根据网格画出即可求解． 【详解】解：是直角三角形．   理由如下：在网格中，根据勾股定理得 ．     ，， ，．    ， 即，     根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，其中． ∴是满足题意的三角形． 【变式3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理； （1）根据网格的特点与勾股定理分别求得，再求和，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，可以证明为直角三角形；为直角三角形；所以四边形的面积等于加上的面积，即可求解； 【详解】（1）根据勾股定理得，， ，， 故四边形的周长为． （2）连接， ，，， ， ， 同理可证， 四边形的面积为． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，点D为内一点，且，，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵，，，， ； （2）解：∵，，，且， 即， ∴是直角三角形，， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和逆定理，连接，先根据勾股定理求出长，然后根据勾股定理的逆定理判断 ，再根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵ ，，， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ， 即四边形的面积为． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 1．（23-24八年级上·广东茂名·期末）若一个三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判定求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵一个三角形的三边满足， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意， ，， ， 是直角三角形，且， 故选项C不符合题意； 故选：D 4．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 5．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ． 【答案】60 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是8、15、17， ， ∴这个三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积是． 故答案为：60． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17， 设三边分别为，，， 而， ∴三角形构成直角三角形， 故答案为：直角 7．（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形．所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则 ． 【答案】31 【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可知： ； 即； 故答案为：31． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方． 8．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，二次根式的化简，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ， 是直角三角形； （2）是边上的高， ， 即， 解得， 则的长为． 9．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，已知，D是边上的一点，，，. (1)求证：是直角三角形； (2)求的面积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理以及等腰三角形的性质，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长． （1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求得，从而求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴在中，，即， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 10．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理，数形结合是解决问题的关键．由等腰直角三角形性质、勾股定理得到边与角，再由勾股定理的逆定理判断，数形结合得到． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $