第03讲 勾股定理的应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第03讲 勾股定理的应用 知识点1：勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 【题型1勾股定理与折叠问题】 【典例1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，将沿折叠到的位置，点落在处，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠的性质可得，进而根据勾股定理即可求解； 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ，，， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：， ， 故选：B 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 【典例2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【答案】(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度为； (2)梯子底部需要向左移动． 【分析】（）利用勾股定理求出的长度，则即可求解； （）由题意得梯子顶端离地面，利用勾股定理求出梯子底部离墙角处的距离，再相减即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由勾股定理得：， ∴教学楼墙面破损处距离地面的高度， 答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为； （2）解：由题意得，梯子顶端离地面， ∴梯子底部离墙角处为， ∴梯子底部需要向左移动， 答：梯子底部需要向左移动． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：梯子顶端离地面的距离为：（米）， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期中）如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，这时米，云梯的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，，设的长度为x米．    (1)求的长度； (2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米． 【答案】(1)15米 (2)云梯的底部外移了5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据题意用含有的式子表示的长，根据勾股定理列出方程，解方程求出的长度； （2）由题意得米，米，再根据勾股定理求出，进而求出，即可求得答案． 关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【详解】（1）解：∵米，的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的长度为15米； （2）∵的长度为15米， ∴米， 当云梯的顶端沿墙下滑了5米到达点处时，（米）， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， ∴云梯的底部外移了5米． 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 【典例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据吸管露出杯口外的长度最少，则需在杯内最长，然后用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期中）一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．当桶内所能容下的木棒最长时，即为木棒为斜边，桶的底面直径及桶高构成一个直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， 故选：C． 【题型4解决航海问题(勾股定理的应用)】 【典例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【答案】 【分析】根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出，的长度． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里）， ∵两船相距26海里， ∴（海里）， ∵，， 故， 是直角三角形， ， ∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【变式3】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1)此时游轮距离岸边还有米 (2)工作人员手中的绳子被收上来米 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； （2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 【题型5求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】 【典例5】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 【变式2】（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】 【典例6】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车行驶了， 所以它的速度为． 因为，且， 所以这辆小汽车超速了． 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 【典例7】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)受台风影响，理由见解析； (2)台风影响海港持续的时间为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以台风影响海港持续的时间为． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 【变式3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 【典例8】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】 【典例9】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了最短路径问题，圆柱展开图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆柱展开图． 根据线段中点得出，根据圆柱展开图确定最短路径，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵P为的中点， ∴， 根据圆柱展开图可得，， 由勾股定理得，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为： ， 故答案为：13． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）已知长方体的长为、宽为、高为（其中）．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程 ． 【答案】 【分析】考查了平面展开-最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键. 把长方体展开，根据利用两点之间线段最短和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：根据题意，如下图所示，最短路径有以下三种情况： 沿、剪开，得图（1）， 则， 沿剪开，得图（2）， 则， 沿剪开，得图（3） 则， 综上所述，最短路径应为图（1）所示， 所以， 即， 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查“平面展开﹣最短路径问题”，解题关键是将立体图形根据要求变成平面图形处理． 根据题意，将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：由题意有以下路线 路线一，如图1， 路线二，如图2， 路线三，如图3， ∵， ∴最短距离为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为 ． 【答案】15 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为． 故答案为：15． 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， 即从仓库到社区配送点的最短路径为， 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长． 【详解】解：． 故选C． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，先运算得，再结合折叠的性质得，，最后运用勾股定理得，算出，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴在中， ∵将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕， ∴， 即，， 则 在中， 即， 解得， 故选：B 5．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即可解得． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱的底面周长为， ． ，， ， 在中，， ， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是． 故选：B． 6．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 【答案】12 米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 8．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，原来从A村到B村，需要沿路绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，那么打通隧道后从A村到B村比原来少走的路程为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再和以前的路程作比较即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为， 9．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 10．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， 在中， ∴米 故答案为：． 11．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； （2）如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 【答案】3 【分析】设，由折叠性质可知，用x表示出，在中，由勾股定理可得到关于x的方程，求解即可．本题考查了折叠变换的性质，勾股定理等知识，主要利用了翻折前后对应线段相等，关键在于利用勾股定理列出方程. 【详解】解：设，则． 由折叠的性质，得． ∵四边形为长方形，∴． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故的长为3． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 在中，先利用勾股定理求出，再结合题意求出，然后在中利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，， ． 14．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等， (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 【答案】(1)E站应建在距A点5千米处 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理和可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）可得，证明，得到，则可证明，由勾股定理得，则由勾股定理得． 【详解】（1）解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C，D两村到E站的距离相等， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：E站应建在距A点5千米处； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：两个村庄之间的直线距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 勾股定理的应用 知识点1：勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 【题型1勾股定理与折叠问题】 【典例1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【变式3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，将沿折叠到的位置，点落在处，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 【典例2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期中）如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，这时米，云梯的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，，设的长度为x米．    (1)求的长度； (2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米． 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 【典例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期中）一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（    ） A． B． C． D． 【题型4解决航海问题(勾股定理的应用)】 【典例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 【变式3】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【题型5求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】 【典例5】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【变式2】（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】 【典例6】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 【典例7】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【变式3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 【典例8】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】 【典例9】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 ． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）已知长方体的长为、宽为、高为（其中）．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程 ． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 【变式3】（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为 ． 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 8．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，原来从A村到B村，需要沿路绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，那么打通隧道后从A村到B村比原来少走的路程为 ． 9．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 10．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 11．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 14．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等， (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $