黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（一）

参考答案 数学练习卷（一）】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A C C A A 【解析】 1.由题意，lz=√22+1下=√4+I=5.故选D. 2.集合A=x1|xl>1}=xlx>1或x<-1},B=xlx2-2x<0}=x10<x<2}, 则AUB=(-∞，-1)U(0,+∞).故选C. 3.sin-2cosa=1,两边同时平方得sina-4 sin acos a+4cos2a=1, .sin2a cos2a=1,..1-4sin acos a +3cos2a=1,4sin acos a =3cos2a, :a是第三象限角，cos&≠0,4sina=3cosa,即simc=三=lana.故选B. cos a 4 4.设抛物线C的焦点为F,根据题意可知1MF1=1+片=2，解得p=2.故选A 5.根据题意可得m2=4,解得m=2或m=-2,当m=2时，a与b同向共线，舍去； 当m=-2时，a=(-2,4),b=(1,-2),a与b反向共线，符合题意， 所以a-2b=(-4,8),1a-2b1=√(-4)2+82=45.故选C 6.因为函数在R上单调递减，所以函数在(-∞，0)和[0，+∞)上都单调递减， 且(2a-1)ln(e-0)≥2-a2,解得a≤-3或a≥1；① 又因为y=h(e-x)在(-0,0)上单调递减，所以2u-1>0,解得a>2:② 又因为当≥0时，)2“在0，+0)上单调递减，所以-a>0成2-。<0 或 a>0 la<0 解得0<a<2或a<-2;③ 由①②③可得，1≤a<2.故选C. 7.根据题意，数列1，中，若“=+1则有2。+”=+1，变形可得1-”=2， an 2a,+n an an+l an+l an 又由41=1，则二=1，则数列{”}是首项为1，公差为2的等差数列， 故”=1+2(n-1)=2n-1,故a.=2n-1 故S22=(a1-a2)+(a3-a）+…+(a205-a20s）=a1-a226=1 20262025 40514057故选A. 参考答案第1页（共17页) 8.由题意可得IOB1=b,IOF1=c,IOA1=a, IBFI =V10B12+10F12=VB+e2=a=10Al, 因为△OAP和△OBF是全等的三角形，所以∠OPA=∠BOF,即OP⊥PA, 又由椭圆结构性质可知IOP1>1OB1,所以IOPI=1OF1=c,IOB1=IAPI=b, 所以Iypl=csin∠POA=csin∠OFB=c ,xp=ccos∠POA=ccos∠OFB= =1,所以由e=。,得e+e2-1=0, 令4=2e(0.1),则2+4-1=0，解得1=5,1或=-5+1（合去） 2 2 所以C的离心率的平方为52故选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ACD ACD 【解析】 9.对于A:因为x)与g()的图象关于x=石对称， 所以g()=(号-=m(写-2x=m(2x-),故p=石故A错误： 对于B:h()=)-g(x)=sim2x-cos(2x-）=sim2x-罗）， 当x-受时，=1，故B正确； 对于C:因为x[罗，所以2x-君c[要，-小， 故函数g(x)在该区间上单调递减，故C正确； 对于D:令2-号=km(keZ),整理得x=经+石，（任eZ), 当k=0,k=1,k=-1,k=-2符合题意，故有4个零点，故D错误.故选BC. 10.对于A,甲队积分为9分，则甲队胜乙队、丙队、丁队， 所以甲队积分为9分的概率为写×写×号=7故A正确： 11-1 对于B,若甲胜乙、丙、丁，乙、丙、丁打平，则甲9分，乙、丙、丁均2分，因此可能出现三队积 分相同的情况，故B错误； 对于C,甲队胜2场且乙队胜2场，有两种情况，“甲乙比赛时，二者平局，甲乙各再胜2局”， 或“甲乙比赛时，一胜一负，胜的再胜一场，负的再胜两场”， 则所求概率为3×（兮×（付+2×兮x2x3x号×（付=7故C正确： 参考答案第2页（共17页） 对于D,若甲队输一场且积分超过其余每支球队积分，先假设甲队输给丙队，那么甲队在与 乙、丁的两场比赛中只能全赢，且其余3队的分数最高为5分， ①若丙一平一负，丙输给的队伍，再次比赛时不能赢， ②丙两场均平，乙丁无论结果如何都符合题意， ③丙两场均输，乙丁比赛平， 则所求概率为3×行)×2×（兮x号+（兮）°+（兮）×】故D正确 故选ACD. 11.对于A,由已知可得，在平面ABN中，AB,AO2分别为两圆的直径，所以有MO21AN,NB1 AN,所以MO2∥NB,又MO2￠平面NBO1,NBC平面NB01,所以M02∥平面NB01,故A正 确；对于B,假设NB⊥AO1,又OO2⊥平面ABN,NBC平面ABN,所以O1O2⊥NB,又O,O2∩ A01=01,A01C平面A0102,0102C平面A0102,NB1平面A0102,又ABC平面A0102,所以 有NB⊥AB,这与NB⊥AN相矛盾，假设错误，故B错误； 对于C,连接O2N,当N为AB的中点时，有O2N1O2B.如图1， 以点O2为原点，建立空间直角坐标系，则由已知可得0，(0,0， 0),A(0,-1,0),B(0,1,0),V(-1,0,0),01(0,0,2),则0201= (0,0,2),4=(-1,1,0),A0=(0,1,2),易知020=(0,0,2) 为平面ANB的一个法向量，设n=(x,y,)为平面ANO1的一个 rA⊥n 法向量， {a可Ln则有 AN.n=-x+y=0 → 令x=2,则y= 01·n=y+2z=0 图1 2,=-1,所以n=(2,2,-1)为平面AN0,的-个法向量，所以os《n,a.G=”:0C 1n1102011 3×名=-子又由图可知二面角0，ANB为锐角，所以二面角0，AM:B的余弦值为分，故 -2 C正确； 对于D,如图2，分别取D01,AO2的中点为E1,E2,连接EE2,则 有EE2⊥平面AMO2,根据球的性质，易知球心O应在EE2上 又O1O2⊥平面AM02,所以有E,E2∥O02.根据球的对称性可 知，球心0应为E,E2的中点，所以半径R=OO2= (+=√+（宁-汽，则三棱锥M40,0 的外接球的体积为R:青×(匀 ）=55m 6m,故D正确故 图2 选ACD. 参考答案第3页（共17页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-96013.814.1 【解析】 12.(2x+1)0=[1-2(x+1)]0=a+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a1o(x+1)0, 则a3=C。·（-2)3=-960.故答案为-960. 13.x>0,y>0,且x+y=1,由题意可得， y+3+1-y+3(x+2++2=4y++4≥2，.+4=8， x Y yx y x y 当且仅当整=兰，即4==号=时等号成立故答案为8 l4.因为f(x)=xe,所以f'(x)=e+xe,则y=f(x)在点(x,f(xo)处的切线的斜率为k=eo +xoe0,切线方程为y-xoeo=(e0+xoeo)(x-xo),将抛物线y=ex2与切线方程联立，可得 ex2=(e0+xe0)(x-xo)+xe0,(x>0),去括号整理可得：ex2-eo(1+x)x+xeo=0,因 为曲线的切线与抛物线只有一个交点，其成立的必要条件需满足△=(e0+xeo)2-4e·x 以等式两边同时除以©o结果仍成立，故 (1+0)2=4x,因为0>0，所以开方e=(x。+1)=2x,令h(x)=e宁(x+1)-2x,x>0, h'(x)=2学(x+1)+e学-2=2c宁(x+3)-2,显然h'(x)在(0，+0)上单调递增，又 h'(1)=0,所以当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时，h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上单调递 减，在(1，+0)上单调递增，又h(1)=0,所以h(x)存在唯一零点1，故xo=1.故答案为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为总=士，所以26=a+6,即a=6, (1分) 因为mB=名=名所以a=6sB (2分) 根据正弦定理可得sinA=sin Ccos B, (3分) Esin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B, 所以sin Bcos C=0, (4分) 因为sinB≠0，则cosC=0, (5分) 即c=受 (6分) 参考答案第4页（共17页） (2):AC=BC=3,C=号，AB=32,AD=2,BD=22,A=B=年， (7分) 在△ACD中，由余弦定理可得， CD=VAC+AD-2AC·A0·esA=2+9-2×万×3x2=5, (9分) (11分) SAABC 则宁CD·BE=3=7×5BE=3,解得BE-65 (12分) 65 在R△DEB中，cs∠EBD=BE=5=3V而 =BD22-10 (13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)由列联表知，女学生共计180人，其中有报名意向的有80人， (2分) 所以P=80、4 180=9 (5分) (2)由列联表知u=70+150=220,v=70+80=150, (7分) 零假设H。:该校高三在校学生是否有报名意向与性别无关， (8分) X-4060×7050x80°-2,00-6.734>6.635， 180×220×250×150=297 (11分) 根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立， (13分) 即认为该校高三在校学生是否有报名意向与性别有关， (15分) 17.(本小题满分15分) 解：1)当a=1时，'()=-士-=-+山 (1分) 所以x∈(0,1)时，f'(x)<0,xe(1,+∞)时，f'(x)>0, (3分) 所以f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，+∞)； (4分) (2'(x)=x=)x+(x>0), (5分) 所以xe(0,a)时，f'(x)<0; x∈(a,+∞)时，f'(x)>0, (7分) 所以a=a)=-号-aha+a, (8分) 又因为八x)≥- ?所以-号 e2 -ana+a≥ 2 (9分) 参考答案第5页（共17页) 令h(a)=- 2-aln a+a, (10分) 所以'(a)=-u-lna,显然'(a)单调递减，且h()>0,h'(1)<0, (11分) 因此必然存在唯一a,e2,l,使得'(a,)=0, (12分) 当ae(ao,+o),h'(a)<0,h(a)单调递减， 当ae(0,ao),h'(a)>0,h(a)单调递增， (13分) 由于ae(0,1山时，a(@)=a(-分-1ha+1)>0>-号，成立， 当ae(1,+n)时，4(a)单调递减，且A(e)=-分，因此a∈(1，e]成立， (14分) 综上，a的取值范围为(0，e]. (15分) 18.（本小题满分17分)》 (1)证明：因为AC⊥BC,AB=2BC=6,所以∠ABC=60°， (1分) 连接CE,因为E为AB的中点，所以△BCE是等边三角形， (2分) 取BE的中点G,连接CG,FG,则CG⊥BE,则FG∥PE,CG∥DE, (3分) 因为FG平面PDE,CG平面PDE,PEC平面PDE,DEC平面PDE, 所以FG∥平面PDE,CG∥平面PDE, (4分) 又CGnFG=G,CG,FGC平面FCG,所以平面FCG∥平面PDE, 又CFC平面FCG,所以CF∥平面PDE; (5分) (2)解：①因为PE=AE=BE=3,PB=32, 所以PE2+BE2=18=PB2,所以PE⊥BE, (6分) 因为DE⊥AB,所以DE⊥PE, 又BE∩DE=E,BE,DEC平面BCDE,所以PE⊥平面BCDE, (7分) 以E为原点，ED,EB,EP所在直线分别为x轴y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 参考答案第6页（共17页) 所以5000).P0.0,3).503.0).5.00.c20小则=0，-33. 设B=入BP(0<入<1)，则F(0,3-3入，3A),E=(0,3-3入，3A), (10分) 因为PE⊥平面BCDE,所以平面BCDE的一个法向量为n=(0,0,1), 设直线EF与平百BCDE所成的角为6，所以s血0=cs(E.a心=套， (12分) 整理得3A+2A-1=-0,解得A=号A=-1舍去)，所以部-宁 (13分)》 2h①0m:(50.-3)元-号3到=(-5.2.. (14分) 「m·P=0「5x-3z=0 设平面PD的法向量为m=(,),阅m·P元=0 ,即 35,3 【2x+2y-3=0 令x=5,得y=-1,a=1,则m=(5,-1,1), (16分) 所以点F到平面PCD的距离为d=D示·ml-3-2+山45 5 (17分) 5 19.(本小题满分17分) 解：(1)由对称性，不妨设点M在双曲线右支上，则1MFI≠|MF2I, 若IMF2|=IF,F2l,则1MF2I=2c,IMF,I=2c+2a, 所以∠MF2F,>∠MF,F2=∠F2MF, (1分) 又因为es∠FME=<7所以∠F,Mr,>号， 所以∠MF2F1+∠MF,F2+∠F2MF,>T,矛盾，舍去， (2分) 若1MFI=IF,F2I,则IMF,I=2c,IMF2I=2c-2a, 所以w么R职：22子解得e=2a (3分) 所以e=2,所以C的离心率为2； (4分) (2)①由(1)知，C:2-号=1，设1：x=y+m,4(x1),B(62), x2、- 由 3 ,可得(32-1)y2+6tmy+3(m2-1)=0,32-1≠0， (5分) x=ty +m 参考答案第7页（共17页) 4=36t2m2-12(32-1)(m2-1)>0 则/少+力= 6tm 3t2-1 5=3m2-1) 32-1 因为AA1AB,所以A2A1A,B,即A24·A,B=0, (6分) 所以(x1-1)(x2-1)+yy2=0, 所以(2+1)y2+(m-1)(y1+y2)+(m-1)2=0, 即(+1).3+m-）(-3+(m-1=0, 32-1 (7分) 所以m2+m-2=0,所以m=-2或m=1(舍)，m=-2时，满足△>0， 所以1与x轴交点的坐标为(-2,0)； (8分) ②当AB斜率为0时，令y=6,则x=±√13， 所以1与双曲线两交点分别为(-√3,6)，（√13,6）， (9分) 则M☑.MB=(-/13-2)(13-2)+(6-3)(6-3)=-13+4+9=0, 所以MA⊥MB, 当AB斜率不为0时，因为1过点(-4,6)，则-4=6t+m,所以m=-6t-4, (10分) 所以M·MB=(x-2)(x2-2)+(y-3)(2-3) =(y1+m-2)(ty2+m-2)+(y1-3)(y2-3) =(+1)y12+(tm-2-3)·,二6m 32-1 +m2-4m+13 =(r1）·3-+(m-2-3)3+-n+18 32-1 =362+2m2+18m+4m-16 32-1 _362+72+96t+32-1082-96t-32=0, (11分) 32-1 所以MA⊥MB,综上，恒有MA⊥MB, 所以费马点I在△MAB内部，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， (12分) 所以+、 21PA1+PB)·PMsm120 1PA1IPBIin 120 =(IPAI+IPBI):IPML IPMI,IPMI IPAI PBI' (13分) IPAI·IPBI 参考答案第8页（共17页) 因为1MA12+IMB2=IAB12, 所以IPAI2+IPMI2+IPAI·IPMI+IPBI2+IPMI2+IPBI·IPMI IPAI2+IPB12+IPAI.IPBI, 所以21PMI2+IPAI·IPMI+IPB·IPMI=IPAI·IPBI, 2+PAL+IPBL-IPAL.IPBI 1PMI+IPMI=1PMIIPMI (14分) 令陆=，=则2+y=w 所以+8-1+1=+=1-2 (15分) S3 x y xy 因为2+x+y=xy≥2+2√xy,当且仅当x=y时等号成立， 所以≥1+5，所以y≥4+25， (16分) 所以当且仅当x=y=疗+1时，3产的最小值为5-1 (17分) 参考答案第9页（共17页) 数学练习卷（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C A B D B A 【解析】 1.复数：满足，产；=-2+i,则：=(1-i)(-2+i)=-1+3i,故=-1-31，故复数：的共轭复 数在复平面内对应的点(-1，-3)位于第三象限，故选C. 2.集合A={-1,1,2,3},集合B=xlInx<1}=xl0<x<e},所以A∩B={1,2},故选C. 3.由已知，向量a+2b=(1,2)+2(m,3)=(1+2m,8),因为a∥(a+2b),所以1×8=2×(1+ 2m),解得m=号，故选C 4.根据题意，化简得圆E:(x-3)2+(y-4)2=25,圆心为E(3,4),半径r1=5,圆F:(x-1)2+ (y-2)2=1,圆心为F(1,2),半径r2=1,圆心距1EF1=√(3-1)+(4-2)2=22<r1-r2 =4,所以两圆内含，故选A. 5.因为函数f(x)满足f八x+2)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于x=2对称，因为Hx,x2∈ (-∞，2](x1≠x2),都有(x1-x2)[f(x)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在(-，2]上单调递 减，结合对称性可知函数f(x)在(2，+∞)上单调递增，因为3<π<4，所以f(3)<(π)< f(4)=f(0),故选B. 6由题意得/x)=5sm2x+2csx-1=2sm2x+）,则)的最小正周期T-2=m,最大 值为2，选项A,B错误；将函数(x)的图象向右平移石个单位长度可得到函数g(x)的图象， 所以g(x)=2sim[2x-）+]=2sim2x-石），g(0)≠0，所以选项C错误；令-受+26m ≤2x-石≤牙+2km,keZ,得-石+km≤x≤写+m,keZ,因为[0，][-石，]，所以 函数g(x)在区间[0，]上单调递增，故选项D正确，故选D, 7.如图所示，取CD,的中点P,连接PQ,PB1,AB,AQ和DC1,因为P,Q分别 是C,D,DD的中点，所以PQL2CD,又AB,∥CD,故PQL2AB,故 A,B1,P,Q四点共面，且四边形ABPQ是过Q,A,B,三点的截面，又因为 四边形ABPQ是梯形，故选B. 参考答案第10页（共17页)■ 数学答题卡 姓名 准考证号 贴条形码区 缺考标记，考 1答题前，考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚。将杀形码 雅确粘贴在条形码风域内。 正确填涂 生转填！由监 考负责用黑色 注2，选择题必须使用2那船笔填接：非选择题必须使用0.5毫米黑色 填 意 字逢的签字笔填写。字体工整、笔速清楚。 涂 字迹的签字笔 3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作容，超出答愿区域书 填涂。 事 写的答案无效：在草德纸、试题卷上答题无效。 样错误填涂 项4，作用可先使用铅笔而出，确定后须用色学的学笔 例☑☒ ▣ 5保持卡面整情，不要折叠。不要弄酸、弄敏，不准使用涂改 】0 藏、利纸刀 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1【A】【B1IC1[D1 5【A1[B1【C1【DJ 2【A】【B1【C1【DJ 6【AJ【B」【C1【D1 3【A1【B1[C1ID1 7【A1【B1【C1【D] 4【A】【B1IC1LD1 8【A1[B1【C1ID] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 9【A】【B1【C1[D1 10【A1【B1IC1ID1 11[A】【B1ICI[D1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12 13. 14. 请勿在此区域内作答 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 视力 性别 近视 不近视 合计 男生 女生 合计 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效数学试卷（一） (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 学 校 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写 在试卷和答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需 考 号 装 改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签 字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知z=2+i,则1z1= A.1 B.√3 C.2 D.5 2.已知集合A={xIxl>1},B={xx2-2x<0,则AUB= A.（-0,0)U(2,+0) B.（1,2) C.(-∞，-1)U(0,+∞) D.(-1,1) 3.若a是第三象限角，且sina-2cosa=1,则tana= 订 B c岛 D.2 4.已知A(1,m)为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到抛物线C焦点的距离为2，则p= A.2 B.1 c D.4 5.已知向量a=(m,4),b=(1,m),若a与b反向共线，则1a-2b1的值为 A.0 B.√13 C.45 D.56 r(2a-1)n(e-x),x<0 6.已知函数f(x)= 2-a2 在R上单调递减，则a的取值范围是 em,x≥0 B.(3] C.[1,2) 线 A.(,1] D.(3,+) 已知数列1a,中，a,=1,且。=2 2a+n 记数列{an-an+1}的前n项和为Sn,则S22s= A. 2025 B.2024 C.2026 D.2025 4051 4049 4051 “4049 8.已知F是椭圆C:号+ +京=1(a>b>0)的左焦点，A,B分别是C的右、上顶点，P是C上一 点，且△OAP和△OBF是全等的三角形(O为坐标原点)，则C的离心率的平方为 A.5-1 B.5-2 c.5-A D.5-2 2 2 数学试卷（一）第1页 (共4页》 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数x)=sin2x,g(x)=cos(ar+p)(w>0,lp<受)，(x)与g(x)的图象关于x=石 对称，若h(x)=f(x)-g(x),则 Ap=-罗 B直线x=沿为(：)图象的一条对称轴 6()在[-牙，-上单润递减 D.函数h(x)在[-π，π]上有5个零点 10.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比 赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规 则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率 都为了，且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时 A甲队积分为9分的概率为易 B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为7 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为， 11.如图，在圆柱OO2中，轴截面ABCD是边长为2的正方形，M是以AO2为直径的圆上一动 点（异于点A,O2),AM与圆柱的底面圆交于点N,则 A.MO2∥平面NBO B.直线NB与直线AO,有可能垂直 C当N为AB的中点时，二面角0，-AN-B的余弦值为号 D.三棱锥M-A0,0,的外接球的体积为35π 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2x+1)0=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a1o(x+1)0,则a3=」 13.已知x>0,y>0,且x+y=1,则+3+1的最小值是 14.设函数f(x)=xe,若曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处(x>0)的切线与抛物线y=ex2有且 仅有一个公共点，则xo的值为 数学试卷（一）第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)》 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB=么=a+b c 2c (1)求C; (2)若a=3,D为AB上靠近点A的三等分点，作BE⊥CD交CD于点E,求cos∠EBD. 16.(15分) 民航招飞是指普通高校飞行技术专业通过高考招收飞行学生.对某校高三在校学生进行 统计，得到如下列联表： 有报名意向 没有报名意向 合计 男学生 70 150 u 女学生 80 100 180 合计 250 400 (1)记该校高三女学生有报名意向的概率为P,求P的值； (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，分享该校高三在校学生是否有报名意向与性别 有关 n(ad-be)2 附：X=(a+b(C+aa+e)(6+0其中n=a+b+c+ a 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 Xa 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.(15分) 已知函数)=2-alnx+(1-a)x,(a>0. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若人)≥一号求心的取值范围 数学试卷（一）第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在△ABC中，AC⊥BC,AB=2BC=6,E为AB的中点，过点E作DE⊥AB交AC于点D, 将△ADE沿DE翻折至△PDE,得到四棱锥P-BCDE,F为棱PB上一动点（不包含端点） (1)若F为棱PB的中点，证明：CF∥平面PDE; (2)若PB=3反2，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为5 0吠祭 ②求点F到平面PCD的距离. 装 19.(17分) 在乎面直角坐标系x0y中，已知双曲线C:多-=1的左、右焦点分别为F,A,M为C卫 一动点，且当△MF,R为等腰三角形时，cos∠P,MR,=子 订 (1)求C的离心率； (2)已知A2(1,0)为C的右顶点，直线1与C的一支交于A,B两点. ①若A2A⊥A,B,试求直线1与x轴交点的坐标； ②“费马点”是十七世纪数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角 形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆 利给出了解答：当△ABC的三个内角均小于120时，使得∠AQB=∠BQC=∠CQA= 120°的点Q即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点 为费马点.当M的坐标为(2,3)，且1过点(-4,6)时，记△MAB的费马点为P,记 △P,△PB,△PHB的面积分别为SS.试米的最小值 线 数学试卷（一）第4页（共4页） 数学试卷（二） （本试卷满分150分，考试时间120分钟) 学 校 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写 在试卷和答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需 考 号 装 改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签 字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数x满足，二；=-2+i,则复数x的共轭复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={-1,1,2,3},集合B=xnx<1},则A∩B= A.{1} B.{-1,18 C.{1,2} D.{-1,1,2} 3.已知向量a=(1,2),b=(m,3),且a∥(a+2b),则m= A方 B.1 c D.2 可 4.已知圆E:x2+y2-6x-8y=0,圆F:x2+y2-2x-4y+4=0,则这两圆的位置关系为 A.内含 B.相切 C.相交 D.外离 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f八2-x),且Hx1,x2∈（-∞，2](x1≠x2),都有 (x1-x2)[f(x)-f八x2)]<0,则f0),f3),π)的大小关系是 A.f0)<f(3)<fπ) B.f(3)<f(π)<f(0) C.f(0)<f(π)<f3) D.f(π)<f(3)<f(0) 6.已知函数八x)=5sin2x+2osx-1,将函数f(a)的图象向右平移石个单位长度可得到函 数g(x)的图象，则下列结论正确的是 A函数人)的最小正周期为罗 B.函数f(x)的最大值为√3 线 C.函数g(x)是奇函数 D.函数g(x)在区间[0，]上单调递增 7.在正方体ABCD-AB,C,D1中，若DD1的中点为Q,则过点Q,A,B,三点的截面是 A.三角形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 8已知椭圆C:号+若=1(a>6>0)的左、右焦点分别为R1,F,左右顶点分别为M,N,过F 的直线I交C于A,B两点（异于点M,N),△AFB的周长为43，且直线AM与AN的斜率 之积为-子，则椭圆C的标准方程为 数学试卷（二）第1页 （共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,且S5=4a4-1,{ 是以1为公 差的等差数列，则下列结论正确的是 A.d=1 B.S5=15 C.a=n D.S=n(n-1) 2 10.某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣， 特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩X~N(70,σ2)，其中不低 于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机 选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为Y,则 A.该知识竞赛的及格率为60% R.PY=2)- 32 C.E(Y)=3 D.D(Y)=0.8 2-（2) ,x<0 11.已知函数f(x)= ,则下列说法正确的是 e-1,x≥0 A.f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(0,1) B.f(x)有3个零点 C.若关于x的方程[f(x)]2+(1-a)f(x)-a=0有四个不同实根，则a∈(0,1) D若x≥0，八)≤m+2m恒成立，则m∈[分e,+∞ 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.二项式(2-2)x+)'的展开式中的常数项为 (用数字作答) 1 13.在数列a.中，a,+a1=2n+1(neN),数列a.的前n项和为S,若6，-5-，则 数列{bn}的前n项和为 14.已知函数f(x)=4-m·2+'+m2-3,若f(x)的图象上存在不同的两个点关于原点对称， 则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=lnx,g(x)=1-4(x>0,aeR). (1)若曲线y=f八x)在点P(1,0)处的切线与曲线y=g(x)也相切，求a的值； (2)若f(x)≥g(x),求a的最小值. 数学试卷（二）第2页（共4页） 16.(15分) 在2025年春晚《秧B0T》节目中，宇树科技的Unitree H1“福兮”机器人采用人工智能(AI) 驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿·米， 节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情.为了了解不同性别的学生对A虹的关注 情况，某校随机抽取了90名学生，调查结果如表： 性别 关注 不关注 合计 男 55 60 女 合计 75 (1)完成上述列联表，根据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与 性别有关？ (2)在这90名学生中随机抽取一位，若事件A表示“该生关注A”,事件B表示“该生为女 生”，求P(A),P(B),P(AUB)及P(BIA)的值 n(ad -be)2 附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d ,其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.7063.841 5.024 6.63510.828 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD上，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥平面 ABCD,Q为AD的中点，M是棱PC上的点（不含端点），PA=PD=2,BC=AD=1,CD=5, (1)求证：平面MQB⊥平面PAD; (2)若二面角MB0C大小为0，求兴的值 数学试卷（二）第3页（共4页） 18.(17分) 已知双曲线C:号-1(@>0.6>0)的离心率为2，点0为坐标原点，过C的右焦点的直 线1交C的右支于P,Q两点，当1⊥x轴时，1PQ1=22. (1)求C的方程； (2)过点P作直线x=1的垂线，垂足为N. ①证明：直线QN过定点； ②求△OQN面积的最小值， 装 19.(17分) 在△ABC中，∠A,∠B,∠C对应的边分别为a,b,c,bsin A+atan Acos B=2 asin C. (1)求角A的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多 订 数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西 不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： (x11+x22+x3y3)2≤(x12+x22+x32)(y2+y22+y32) 其中1，x1,2,为∈R,当且仅当=点=时等号成立.在(1)的条件下，若a=3. y1 y2 y3 2 1 ①求(a2+b2+c2) 的最小值： ②若P是△ABC内一点，过点P作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F,设△ABC 线 的面积为S求T品++的最小值 数学试卷（二）第4页（共4页）