精品解析：湖北省汉川市金益高级中学2025-2026学年高三上学期9月起点考试数学试卷

金益高中高三9月份起点考试 数学试卷 考试时间：2025年9月7日上午7:45-9:45 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. -1 D. 1 3. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 70 B. 126 C. 56 D. 84 5. 已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知定义在上的函数，对任意的实数，都有，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数为偶函数 C. 函数关于点对称 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 其中 9. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 三点共线（其中为坐标原点） D. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 可能单调递增 C. 有最小值，无最大值 D. 当时， 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知，，若，则的值为______. 12. 已知函数，若，则___________. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. （1）求该顾客至少中奖1次的概率； （2）设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 15. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 16. 如图，圆锥的顶点为为底面圆直径，为中点，为母线的中点，点在底面圆周上，且. （1）证明：是等边三角形； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求点到底面的距离. 17. 记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 18. 设函数. （1）当时，讨论的单调区间； （2）已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金益高中高三9月份起点考试 数学试卷 考试时间：2025年9月7日上午7:45-9:45 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A，解对数不等式求得集合B，再利用交集的定义求解. 【详解】由可得，故， 由可得，解得，故， 所以. 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 3. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 4. 已知，则的值为（ ） A. 70 B. 126 C. 56 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案． 【详解】两项中不存在，对于其余部分， 展开式中的系数为，展开式中的系数为，……，展开式中的系数为， 所以， 故选：B． 5. 已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 6. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 7. 已知定义在上的函数，对任意的实数，都有，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数为偶函数 C. 函数关于点对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得，令，计算可判断B；进而利用平移法可判断C；分析可得是的三次多项式，设，利用导数可判断A，利用赋值法可判断D. 【详解】令，则有，所以， 令，则有，所以， 所以，所以为奇函数，故B错误， 因为为奇函数，所以关于原点对称， 将函数图象向右平移2个单位可得的图象， 再将向上平移1个单位可得的图象， 所以函数关于点对称，故C正确. 设， 则， 故符合题设条件，而， 当时，不恒成立，故A错误； 令，所以， ，可得，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 其中 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出值，再写出的展开式中通项，求出的系数，即可判断A；根据回归直线方程必过样本的中心点，求出，再求出去除异常点后的及，即可判断B；由随机变量，分析出其图象关于对称，找到关于的对称区间，根据正态曲线的对称性得到，即可判断C；根据的计算公式计算即可判断D. 【详解】对于A，将原数据按照从小到大的顺序排序为， 因为上四分位数就是第75百分位数，所以，所以， 因为的二项展开式的通项为 令，解得，所以的展开式中的系数为， 故A正确； 对于B，因为回归直线方程为过样本的中心点， 所以, 所以去除一个异常点后，， 所以新的回归直线必过点，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以其图象关于对称， 所以关于对称轴的对称点为，即， 关于对称轴的对称点为，即， 根据正态曲线的对称性可知 因为，所以， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 对于D，在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 ， 所以变为原来的3倍，故D错误. 故选：ABC 9. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 三点共线（其中为坐标原点） D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 可能单调递增 C. 有最小值，无最大值 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】ABC选项，通过分析和，得到的单调性以及极小值点，并可进一步分析该极小值也是函数最小值，从而逐一判断各选项；D选项，对最小值变形后采用基本不等式判断即可． 【详解】对于A：当时，，定义域， 则，令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，所以时，，递减， 时，，递增，即是的极小值点，故A正确； 对于B：若单调递增，需在上恒成立，又， 令，则，故在上单调递增， 又，，也即对任意所给的a，一定存在的情况，即不可能恒成立，故B错误； 对于C：由B选项可知，单调递增，，，又，，故一定存在，使得， 所以，，递减，时，，递增， 即是的极小值，也是的最小值，且无最大值，故C正确； 对于D：当时，最小值满足，即， 即，所以，其中， 由均值不等式，得，等号成立条件为且， 也即，又因为需满足，但显然，等号不成立， 所以恒成立，故D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知，，若，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由可得，展开代入数据计算即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 所以， 解得或. 故答案为：或 12. 已知函数，若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题可得，即，代入求解即可. 【详解】， ， 所以，则. 故答案为：2. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可利用正弦和差角公式求解，利用等面积法可得，进而根据基本不等式即可求解. 【详解】， ， 即， ， ， . ，得， 由，得，当且仅当时，等号成立. 又的周长，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. （1）求该顾客至少中奖1次的概率； （2）设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为1.3【解析】 【分析】（1）“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【小问1详解】 设事件为“至少中奖1次”，则事件为“没有一次中奖”. 则. 【小问2详解】 由题可得的取值为， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 15. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 证：，， ， 又， ， ， ， ， 故. 【解析】 【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解； （2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案. 【小问1详解】 由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， 的通项公式为； 【小问2详解】 略 16. 如图，圆锥的顶点为为底面圆直径，为中点，为母线的中点，点在底面圆周上，且. （1）证明：是等边三角形； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求点到底面的距离. 【答案】（1） 取为的中点，连接，又为母线的中点，则， 由题意，知，故，又，， 又平面，则平面，平面， 所以，即，为的中点，易知，且， 所以是等边三角形； （2）. 【解析】 【分析】（1）若为的中点，连接，根据已知、线面垂直的判定、性质定理得，结合等腰三角形的性质有，结合即可证； （2）设，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出直线与平面的方向向量和法向量，根据已知及向量法列方程求参数值，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，点到底面的距离，即为的长度，设，则， 如图构建空间直角坐标系，，则， 所以， 若是平面的一个法向量，则， 取，，，则， 令直线与平面所成角为，则， 所以，可得，故， 所以点到底面的距离. 17. 记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义及题中条件可求出的值，从而求得的渐近线方程； （2）（i）由题意可得，由点斜式确定的方程，设的横坐标为，再根据两点之间的距离公式和题中条件，求得，从而可得点的坐标为； （ii）首先根据双曲线的方程求出，再根据（i）中结论及，确定，又圆的圆心为，半径为，将的取值范围转化为定点到圆上一动点的距离问题即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的定义知，，可得， 将点代入双曲线，则，故， 因此可得的方程为：， 则的渐近线方程为. 【小问2详解】 （i）显然，而，故的斜率， 因此可得的方程为， 故，设的横坐标为， 则，于是， 故， 于是点的坐标为. （ii）沿用（i）的结论，记的半焦距为，则， 故，，则，由已知， 故，解得，故， 由（1），所以圆的方程为，圆心为，半径为， 于是，且， 故的取值范围为. 18. 设函数. （1）当时，讨论的单调区间； （2）已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）减区间，增区间 （2）（i）， （ii）当时，等号成立； 下面证明当时，， 当时，有，故，此时，符合题意； 现考虑当时，成立，等价于证明， 不妨先证明，设，则， 故在上单调递增，于是，故， 于是，而， 故， 故当时，成立； 于是当时，成立； 取，当时，， 设， 且， 故是奇函数， 所以是偶函数，于是当时，成立， 综上，，即成立. 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数的正负得解； （2）（i）根据题意，只需让的所有极值均在内即可，求出极值运算得解；（ii）当时，显然成立；当时，由可证；当时，等价于证明，先证明，设，利用导数证明，得证；当时，取，可判断是偶函数，从而证明成立. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间为， 单调减区间为. 【小问2详解】 （i），由，解得， ， 记，，， 记，则，， 因为恒成立，故， 则，解得， 所以的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $