湖北省汉川市金益高级中学2025-2026学年高三上学期9月起点考试数学试卷

金益高中高三9月份起点考试 数学试卷 考试时间：2025年9月7日上午7:45-9:45 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. -1 D. 1 3. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 70 B. 126 C. 56 D. 84 5. 已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知定义在上的函数，对任意的实数，都有，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数为偶函数 C. 函数关于点对称 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 其中 9. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 三点共线（其中为坐标原点） D. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 可能单调递增 C. 有最小值，无最大值 D. 当时， 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知，，若，则的值为______. 12. 已知函数，若，则___________. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. （1）求该顾客至少中奖1次的概率； （2）设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 15. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 16. 如图，圆锥的顶点为为底面圆直径，为中点，为母线的中点，点在底面圆周上，且. （1）证明：是等边三角形； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求点到底面的距离. 17. 记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 18. 设函数. （1）当时，讨论的单调区间； （2）已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 金益高中高三9月份起点考试 数学试卷 考试时间：2025年9月7日上午7:45-9:45 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【8题答案】 【答案】ABC 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【14题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为1.3 【15题答案】 【答案】（1） （2） 证：，， ， 又， ， ， ， ， 故. 【16题答案】 【答案】（1） 取为的中点，连接，又为母线的中点，则， 由题意，知，故，又，， 又平面，则平面，平面， 所以，即，为的中点，易知，且， 所以是等边三角形； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【18题答案】 【答案】（1）减区间，增区间 （2）（i）， （ii）当时，等号成立； 下面证明当时，， 当时，有，故，此时，符合题意； 现考虑当时，成立，等价于证明， 不妨先证明，设，则， 故在上单调递增，于是，故， 于是，而， 故， 故当时，成立； 于是当时，成立； 取，当时，， 设， 且， 故是奇函数， 所以是偶函数，于是当时，成立， 综上，，即成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $缺考填涂标记 金益高中高三九月份起点考试数学答题卡 准考证号 姓名： 班级： 0■ 0 ■0 考号： 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔 填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄 破。 9 9☐ 选择题(58分) 1A□B□CD□ 5A□B□CD 91 AOB□C]D 2A□B□CD□ 6 10A]B]C]D] AB□CD 7 11AB☐CD□ 4AB 8 A D 填空题(15分)》 12. 13. 14. 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第1页（共4页） 解答题(77分) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第2页（共4 页) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第3页（共4 页) 17.(15分) M B 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第4 页（共4页） 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第5页（共6 页) 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第6页（共6 页)6 9 10 11 B B 0 B C D C ABC ACD ACD 12【答案】-2或1 13【答案】2 14【答案】4+25 14:【分析】根据正弦定理边角化可得2 sin AcosC=2simB+sinC,即可利用正弦和差角公 式求解4-号，利用等面积法可得b+(=c,进而根据基本不等式即可求解 【详解】“cosC=2+ -bacosC-2b+c a 2a .2sin Acos C=2 sin B+sin C, 2sin AcosC=2sin(A+C)+sin C, 2sin A cosC=2sin AcosC+2 cos Asin C+sin C, ∴.2 cos.AsinC=-sinC,.sinC≠0， cosA=-2Ae(0,m4=2亚 1 3 1 &Sso+SAm=Ssc,一c×1xsim60+bx1xsin60_be sin1720,得b+c=bc 2 由bc=b+c≥2bc,得bc≥4，当且仅当b=c=2时，等号成立 又d2=b2+c2-2xcos2π6+c2+bc,a=V厅+c2+beAA8C的周长 3 a+b+c=Vb2+c+bc+bc2√3bc+bc≥4+2W3,当且仅当b=c=2时，等号成立. 故答案为：4+2√5 15.某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖 的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽 取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券 (1)求该顾客至少中奖1次的概率： (2)设该顾客中奖的总次数为X,求X的分布列和数学期望 【答案】(1)0.82 （2)分布列见解析，数学期望为1.3 【解析】 【分析】(1)“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系 求解： (2)确定X的可能取值，求得相应概率即可求解 【小问1详解】 设事件A为“至少中奖1次”，则事件A为“没有一次中奖”. 则P(A)=1-P(A)=1-(1-0.4)°(1-0.5)=0.82 【小问2详解】 由题可得X的取值为0,1,2,3， P(X=0)=0.62×0.5=0.18,P(X=1)=C×0.4×0.6×0.5+0.62×0.5=0.42, P(X=2)=0.42×0.5+C×0.4×0.6×0.5=0.32,P(X=3)=0.42×0.5=0.08, 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.18 0.42 0.32 0.08 数学期望E(X)=0×0.18+1×0.42+2×0.32+3×0.08=1.3 16.已知函数f(x)=x2+3x,f(n)为数列{a}的前n项和， (1)求{a}的通项公式： 1 (2)记数列 af'(2n) 的前”项和为7，证明：< 7 【答案】(1)4=2n+2 (2)答案见解析 【解析】 【分析】(1)利用am=Sn-Sn-1,可求出{an}的通项公式，注意检验4是否满足即可得解； 、1 1 （2)由导数得af(2m2n+1)4n+3)·利用不等式放缩的原理得到 x 得到答案 【小问1详解】 由题意知，{a}的前n项和S,=n+3n, 当n=1时，4=S1=1+3=4, 当n≥2时，a.=Sn-Snm-1=n2+3n-(n-1)-3(n-1)=2n+2, 经检验，4=4满足a4=2n+2, ∴{a}的通项公式为a=21+2: 【小问2详解】 证：：f'(x)=4x+3,.f'(2n)=4n+3 1 1 1 “a,f'(2n)(2n+2)(4+3)2(n+1(4n+3) 1 11111 又20+l(4n+3)2n+1004n)8mn+8nn+) a7】 g时时日可的 1 <1 17.如图，圆锥的顶点为P,AB为底面圆直径，O为AB中点，M为母线PB的中点，点N 在底面圆周上，且N⊥AB M B (1)证明：△OBN是等边三角形； (2)若AB=4,直线AB与平面OMN所成角的正弦值为y66 求点P到底面的距离. 11 【答案】(1)证明见解析； (2)25 【解析】 【分析】(1)若C为OB的中点，连接MC,NC,根据已知、线面垂直的判定、性质定理 得OB⊥NC,结合等腰三角形的性质有ON=BN,结合ON=OB即可证： (2)设OP=2α>0，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出直线AB与平 面ON的方向向量和法向量，根据已知及向量法列方程求参数值，即可得 【小问1详解】 取C为OB的中点，连接MC,NC,又M为母线PB的中点，则MC//OP, 由题意，知OP⊥AB,故MC⊥AB,又N⊥AB,MC∩N=M, 又MC,Nc平面MCN,则AB⊥平面MCN,NCc平面MCN, 所以AB⊥NC,即OB⊥NC,C为OB的中点，易知ON=BN,且ON=OB, 所以△OBN是等边三角形： M 【小问2详解】 由题意，点p到底面的距离，即为OP的长度，设OP=2a>0,则CM=a, 如图构建空间直角坐标系O-x5,AB=4,则 A(0,-2,0),B(0,2,0),M(0,1,a),N(V3,1,0), 所以AB=(0,4,0),0M=(0,1,a),ON=(51,0). m.OM=y+az=0 若m=(x,y,)是平面OMN的一个法向量，则 m.ON=3x+y=0 取x=a,y=-V3a,z=√5，则m=(a-V3a,V5), 令直线AB与平面OMN所成角为8，则sin日= m.AB 4V3a 166 m‖AB| 4×V4a2+311 所以3a,6,可得a=V5,故OP=2N2, 4a2+311 所以点P到底面的距离22 18记双曲线E:Xy 云方=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为乃￡，其上一点A3,2)满 足FA-F4=2 (1)求E的渐近线方程； (2)记E的右顶点为B,射线BA上两点P,O满足BP+BO=4√2 (i)若点P的横坐标为l,求点Q的坐标（用m表示）： (i)已知点M在圆r+(y+a)°=d2上，若aPR的面积为V6 求Mg的取值范围 【答案】(1)y= -X 2 (2)(i)(6-m,5-m)(i)「4V2-1,4W2+1 【解析】 【分析】(1)由双曲线的定义及题中条件可求出4，b的值，从而求得E的渐近线方程： (2)(i)由题意可得B(1,0),由点斜式确定AB的方程，设Q的横坐标为n,再根据两点 之间的距离公式和题中条件|BPI+|BQ=4v2,求得n=6-m,从而可得点Q的坐标为 (6-m,5-m): (i)首先根据双曲线E的方程求出F1F2=V6,再根据(i)中结论及S△FPF2=yplF1F2, 确定Q(4,3),又圆x2+(y+a)2=a2的圆心为N(0,-1),半径为r=1,将M@的取值范 围转化为定点Q(4,3)到圆上一动点的距离问题即可求解。 【小问1详解】 由双曲线的定义知，IF1A-1F2A=2=2a,可得a=1, 将点432代入自线号茶-1则9产=1.故6-分 因此可得E的方程为：x2-2y2=1, 则E的渐近线方程为y=士巨、 2 【小问2详解】 (①显然B(1,0),而4(3,2，故4B的斜率k-?0=1, 3-1 因此可得AB的方程为y=x-1, 故P(m,m-1),设Q的横坐标为n, 则Q(n,n-1),于是IBPI+lBQl=V1+k(Im-1+|m-1I)=√2(m+n-2)=4W2, 故n=6-m, 于是点Q的坐标为(6-m,5-m). (》沿用①的结论，记E的半焦距为c,则c=V+石-y6 (o0 √6 则|F1F2=V6,由己知m≥1， 故Sa,r,=9=F,F2=0m-1)F,F-=6m-1).解得m=2,故O(4,3), 由(1)a=1,所以圆的方程为x2+(y+1)=1,圆心为N(0,-1),半径为r=1, 于是MQ1≤1wQ1+r=4+(-1-3)2+1=4W2+1,且IMQ1≥IwQI-r=4W2-1, 故M@的取值范围为[4W2-1,4W2+1. VA 19.设函数f(x)=sinx-asinx (1)当a=3时，讨论f(x)的单调区间： (2)已知-2≤f(x)≤a. (i)求a的取值范围； (i)证明：f(x)≤2a2x2 【答案】(1)减区间 2a-号2kr+号 2(ksz) (2)(i) 23 (i)证明见详解 【解析】 【分析】(1)求导，判断导数的正负得解： (2)(i)根据题意，只需让f(x)的所有极值均在[-2，a]内即可，求出极值运算得解；(i) 当x=0时，显然成立；当x≥1时，由f(x)≤a≤2a2x可证；当x∈(0,1)时，等价于证明 1 1 sinx≤asinx+2ax,先证明n'x≤2nx+,设h()=术sinx,利用导数证明 sinx<x,得证；当x<0时，取g(x)=x(f(x)-2a2x),可判断g(x)=xy(x)是偶函数， 从而证明xf(x)≤2a2x2成立. 【小问1详解】 当a=3时，f(x)=sin3x-3sinx,则f(x)=3sin2 xcosx-3cosx=-3cos3x, 当xe(2m-2km+)k∈z)时，f'(x)<0, 当xe(2km+2km+)ke2)时，f(x)>0, 所以f(x)的单调增区间为(2kπ+5,2kπ+)k∈2， 单调减区间为(2km-,2km+)(k∈2)， 【小问2详解】 ()f(月=1-a,由-2≤f(份≤a,解得aeB3, f(x)=3sin2xcosx-acosx=3cosx(sin2x-4), 记c0sx=0,sinx1=±1，f(x1)=sin3x1-asinx1=(1-a)sinx1=±士(1-a), 则sinx=± ·fc)=sn6-asm,=后-o小s&=t49 -2≤±(1-a)≤a 因为-2≤f(x)≤a恒成立， 故 -2≤±2y5a≤a, 9 作≤a≤3 a≥-1 1 则{ 0≤a≤2， 解得2≤a≤3， 4 (0≤a≤3 所以a的取值范围是 3 (ii)当x=0时，等号成立； 下面证明当x>0时，f(x)≤2a2x, 当x≥1时，有x≥1≥云故2ax≥a,此时f)≤a≤2a2x,符合题意； 现考虑当x∈(0，l)时，f(x)≤2a2x成立，等价于证明sin3x≤asinx+2ax, 1 1 不纺先证明inx≤inx+方，设()x-sinx,则()=l-cosx之0， 故h(x)在(0,1)上单调递增，于是h(x)>h(0)=0,故sinx<x, 于是sinx<x,而sinx-sinx=six(sin2x-1)<0, 11 故sin3x<sinx<二x+-sinx≤asin x+2ax, 22 故当x∈(0,1)时，f(x)≤2a2x成立： 于是当x≥0时，f(x)≤2a2x成立： 取g(x)=xf()-2a2x),当x≥0时，g(x)≤0， y(x)=f(x)-2a2x=sin3x-asinx-2a2x, Hy(-x)=sin3(-x)-asin(-x)-2a2(-x)=-(sin3x-asinx-2a2x)=-y(x), 故y(x)是奇函数， 所以g(x)=xy(x)是偶函数，于是当x<0时，g(x)=g(-x)≤0成立， 综上，g(x)≤0，即xf(x)≤2a2x2成立.