福建省莆田市莆田第一中学2025-2026学年九年级上学期返校考数学考卷

莆田一中2025九年级数学暑假返校考试试卷 一、选择题（每小题4分，共10个小题，共40分） 1．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 4.将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若实数满足，则代数式的值是（    ） A． B．2 C．3 D．或2 9．如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 10．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（    ） A．8 B．10 C． D． 二、填空题（每小题4分，共6个小题，共24分） 11.如图，已知，，如果，那么的长为 ． 12.如图，四边形是菱形，已知相交于点O，那么菱形的面积为 ． 13.已知点，在直线上，则m，n的大小关系 ． 14．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是 ． 15.点在线段上，若，那么的值为 ． 16.如下图所示，一个直角三角形里面有一个正方形，且，，求正方形的面积为 . 三、解答题（共9个小题，共86分） 17.（8分）已知．(1)化简P；(2)若a为方程的一个解，求P的值． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式；(2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（8分）课本再现．人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：图1是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有一个点，第2行有两个点．．．第行有个点．．． 小明同学发现，前2行的点数和是，前3行的点数和是，前4行的点数和是．．．前行的点数和是，他有点疑惑，能不能用含的式子把表示出来． 小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的．经过思考后，他发现： 设，① 则，② 由①+②可得．．． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为________，那么，前行的点数之和为________ (2)应用：若图1中三角点阵前行的点数之和为136，求的值为________． 20．（8分）如图，在中，点在边上，，是中点．点与点关于直线对称，且，与交于点．(1)求作点；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)连接，，若，，求的值．    21．（8分）参照例题解决问题 例题：求的最小值, 求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值 拓展应用:(1)直接写出的最小值为______． (2)请求出的值最小时x的值． 22.（10分）.整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如:(1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为,求出x；(2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数y的值． 23.（10分）如图，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接．（1）若时，则 （用含的式子表示）： （2）当和的面积相等时， ． 24.（12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)求该二次函数的解析式； (2)是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)连接， 求四边形面积的最大值． 25．（14分）综合与实践，问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $